Laplace funcional

En teoría de la probabilidad , un funcional de Laplace se refiere a una de dos posibles funciones matemáticas de funciones o, más precisamente, funcionales que sirven como herramientas matemáticas para estudiar procesos puntuales o concentraciones de propiedades de medida de espacios métricos . Un tipo de funcional de Laplace, ^{[1] [2],} también conocido como funcional característico ^[a], se define en relación con un proceso puntual, que puede interpretarse como medidas de conteo aleatorias y tiene aplicaciones para caracterizar y derivar resultados en procesos puntuales. . ^[5] Su definición es análoga a una función característica de una variable aleatoria .

El otro funcional de Laplace es para espacios de probabilidad equipados con métricas y se utiliza para estudiar la concentración de propiedades de medida del espacio.

Definición de procesos puntuales

Para un proceso puntual general definido en , el funcional de Laplace se define como: ^[6] ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle L_{N}(f)=E[e^{-\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)}],}$

¿Dónde está cualquier función no negativa medible en y ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}).}$

donde la notación interpreta el proceso de puntos como una medida de conteo aleatoria ; consulte Notación de proceso de puntos . ${\displaystyle N(dx)}$

Aplicaciones

El funcional de Laplace caracteriza un proceso puntual y, si se conoce para un proceso puntual, se puede utilizar para probar varios resultados. ^{[2] [6]}

Definición de medidas de probabilidad

Para algún espacio de probabilidad métrico ( X ,  d ,  μ ), donde ( X ,  d ) es un espacio métrico y μ es una medida de probabilidad en los conjuntos de Borel de ( X ,  d ), el funcional de Laplace :

${\displaystyle E_{(X,d,\mu )}(\lambda ):=\sup \left\{\left.\int _{X}e^{\lambda f(x)}\,\mathrm {d} \mu (x)\right|f\colon X\to \mathbb {R} {\text{ is bounded, 1-Lipschitz and has }}\int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=0\right\}.}$

El funcional de Laplace se asigna desde la línea real positiva a la línea real positiva (extendida), o en notación matemática:

${\displaystyle E_{(X,d,\mu )}\colon [0,+\infty )\to [0,+\infty ]}$

Aplicaciones

El funcional de Laplace de ( X ,  d ,  μ ) se puede utilizar para limitar la función de concentración de ( X ,  d ,  μ ), que se define para r  > 0 por

${\displaystyle \alpha _{(X,d,\mu )}(r):=\sup\{1-\mu (A_{r})\mid A\subseteq X{\text{ and }}\mu (A)\geq {\tfrac {1}{2}}\},}$

dónde

${\displaystyle A_{r}:=\{x\in X\mid d(x,A)\leq r\}.}$

El funcional de Laplace de ( X ,  d ,  μ ) luego conduce al límite superior:

${\displaystyle \alpha _{(X,d,\mu )}(r)\leq \inf _{\lambda \geq 0}e^{-\lambda r/2}E_{(X,d,\mu )}(\lambda ).}$

Notas

1. Kingman ^[3] lo llama "característica funcional", pero Daley y Vere-Jones ^[2] y otros lo llaman "funcional de Laplace", ^{[1] [4]} reservando el término "característica funcional" para cuando es imaginario. ${\displaystyle \theta }$

Referencias

1. D. Stoyan, WS Kendall y J. Mecke. Geometría estocástica y sus aplicaciones , volumen 2. Wiley, 1995.
2. DJ Daley y D. Vere-Jones. Introducción a la teoría de los procesos puntuales: Volumen I: Teoría y métodos elementales , Springer, Nueva York, segunda edición, 2003.
3. Kingman, Juan (1993). Procesos de Poisson . Publicaciones científicas de Oxford. pag. 28.ISBN​ 0-19-853693-3.
4. Baccelli, FO (2009). "Geometría estocástica y redes inalámbricas: teoría del volumen I" (PDF) . Fundamentos y Tendencias en Networking . 3 (3–4): 249–449. doi :10.1561/1300000006.
5. Barrett JF El uso de funcionales característicos y funcionales generadores acumulativos para analizar el efecto del ruido en sistemas lineales, J. Sound & Vibration 1964 vol.1, no.3, págs.
6. F. Baccelli y B. B{\l}aszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, Volumen I - Teoría , volumen 3, No 3-4 de Fundamentos y tendencias en redes . Editores ahora, 2009.

• Ledoux, Michel (2001). "El fenómeno de la concentración de la medida" . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 89. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs.x+181. ISBN 0-8218-2864-9. Señor 1849347