Proceso binomial mixto

Un proceso binomial mixto es un proceso puntual especial en la teoría de la probabilidad . Surgen naturalmente de restricciones de intervalos acotados de procesos de Poisson ( mixtos ) .

Definición

Sea una distribución de probabilidad y sean variables aleatorias iid con distribución . Sea una variable aleatoria tomando como (casi seguramente) valores en . Supongamos que son independientes y denotemos la medida de Dirac en el punto . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X_{i},X_{2},\dots }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}$ ${\displaystyle K,X_{1},X_{2},\dots }$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$

Entonces una medida aleatoria se llama proceso binomial mixto si tiene una representación como ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi =\sum _{i=0}^{K}\delta _{X_{i}}}$

Esto equivale a condicionalmente a que sea un proceso binomial basado en y . ^[1] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \{K=n\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$

Propiedades

transformada de Laplace

Condicional a , un proceso Binomial mixto tiene la transformada de Laplace ${\displaystyle K=n}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=\left(\int \exp(-f(x))\;P(\mathrm {d} x)\right)^{n}}$

para cualquier función positiva y medible . ${\displaystyle f}$

Restricción a conjuntos acotados

Para un proceso puntual y un conjunto mensurable acotado, defina la restricción de on como ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \xi _{B}(\cdot )=\xi (B\cap \cdot )}$.

Los procesos binomiales mixtos son estables bajo restricciones en el sentido de que si es un proceso binomial mixto basado en y , entonces es un proceso binomial mixto basado en ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \xi _{B}}$

${\displaystyle P_{B}(\cdot )={\frac {P(B\cap \cdot )}{P(B)}}}$

y alguna variable aleatoria . ${\displaystyle {\tilde {K}}}$

Además, si es un proceso de Poisson o un proceso de Poisson mixto , entonces es un proceso binomial mixto. ^[2] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi _{B}}$

Ejemplos

Las medidas aleatorias de tipo Poisson son una familia de tres medidas de conteo aleatorias que están cerradas bajo restricción a un subespacio, es decir, cerradas bajo adelgazamiento, que son ejemplos de procesos binomiales mixtos. Son las únicas distribuciones de la familia de distribuciones canónicas de series de potencias no negativas que poseen esta propiedad e incluyen la distribución de Poisson , la distribución binomial negativa y la distribución binomial . Las medidas aleatorias de tipo Poisson (PT) incluyen la medida aleatoria de Poisson , la medida aleatoria binomial negativa y la medida aleatoria binomial. ^[3]

Referencias

1. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pag. 72. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
2. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pag. 77. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
3. Caleb Bastián, Gregory Rempala. Lanzar piedras y recolectar huesos: buscando medidas aleatorias similares a las de Poisson, Métodos matemáticos en las ciencias aplicadas, 2020. doi:10.1002/mma.6224