Proceso de Poisson mixto

En teoría de probabilidad , un proceso de Poisson mixto es un proceso puntual especial que es una generalización de un proceso de Poisson . Los procesos de Poisson mixtos son un ejemplo simple de los procesos de Cox .

Definición

Sea una medida localmente finita en y sea una variable aleatoria con casi seguridad . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\geq 0}$

Entonces, una medida aleatoria en se denomina proceso de Poisson mixto basado en y solo si, condicionalmente, en es un proceso de Poisson con medida de intensidad . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle X=x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\mu }$

Comentario

Los procesos Poisson mixtos son doblemente estocásticos en el sentido de que en un primer paso se determina el valor de la variable aleatoria . Este valor determina luego la "estocasticidad de segundo orden" aumentando o disminuyendo la medida de intensidad original . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$

Propiedades

Condicional a los procesos mixtos de Poisson tenemos la medida de intensidad y la transformada de Laplace ${\displaystyle X=x}$ ${\displaystyle x\mu }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(f)=\exp \left(-\int 1-\exp(-f(y))\;(x\mu )(\mathrm {d} y)\right)}$.

Fuentes

• Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.