Proceso de renovación generalizado

En la teoría matemática de la probabilidad , un proceso de renovación generalizado (GRP) o proceso de renovación G es un proceso puntual estocástico utilizado para modelar el comportamiento de falla/reparación de sistemas reparables en ingeniería de confiabilidad . El proceso de puntos de Poisson es un caso particular de GRP.

modelo probabilístico

era virtual

Kijima y Sumita introducen el proceso de renovación G a través de la noción de era virtual . ^[1]

${\displaystyle y_{i}=qt_{i}}$

dónde:

${\displaystyle t_{i}}$y es la edad real y virtual (respectivamente) del sistema en/después de la i ^a reparación, ${\displaystyle y_{i}}$

${\displaystyle q}$es el factor de restauración (también conocido como factor de efectividad de reparación),

${\displaystyle q=0}$, representa la condición de una reparación perfecta, donde la antigüedad del sistema se restablece a cero después de la reparación. Esta condición corresponde al Proceso de Renovación Ordinario .

${\displaystyle q=1}$, representa la condición de una reparación mínima, donde la condición del sistema después de la reparación sigue siendo la misma que justo antes de la reparación. Esta condición corresponde al Proceso de Poisson No Homogéneo .

${\displaystyle 0<q<1}$, representa la condición de una reparación general, donde la condición del sistema está entre reparación perfecta y reparación mínima. Esta condición corresponde al Proceso de Renovación Generalizada .

Kaminskiy y Krivtsov ^[2] ampliaron los modelos de Kijima permitiendo q  > 1, de modo que la reparación daña (envejece) el sistema en un grado mayor que justo antes de la falla respectiva.

Ecuación de renovación G

Matemáticamente, el proceso de renovación G se cuantifica mediante la solución de la ecuación de renovación G:

${\displaystyle W(t)=\int _{0}^{t}(g(\tau \mid 0)+\int _{0}^{\tau }w(x)\cdot (g(\tau -x\mid x)\,dx)\,d\tau }$

dónde,

${\displaystyle g(\tau \mid x)={\frac {(t+qx,\theta )}{1-F(qx,\theta )}}}$ ${\displaystyle t,x\geq 0}$

${\displaystyle w(x)={\frac {dW(x)}{dx}}}$

f ( t ) es la función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución del tiempo de falla subyacente,

F ( t ) es la función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución del tiempo de falla subyacente,

q es el factor de restauración,

${\displaystyle {\theta }}$es el vector de parámetros de la distribución subyacente del tiempo de falla.

No es posible una solución cerrada a la ecuación de renovación G. Además, las aproximaciones numéricas son difíciles de obtener debido a las series infinitas recurrentes. Kaminiskiy y Krivtsov desarrollaron un enfoque basado en Monte Carlo para resolver la ecuación de renovación G. ^{[2] [3]}

Estimación estadística

El proceso de renovación G ganó popularidad práctica en la ingeniería de confiabilidad sólo después de que estuvieron disponibles los métodos para estimar sus parámetros.

Enfoque de Montecarlo

La estimación no lineal LSQ del proceso de renovación G fue propuesta por primera vez por Kaminskiy & Krivtsov. ^[2] Un tiempo aleatorio entre llegadas de un proceso de Renovación G parametrizado viene dado por:

${\displaystyle X_{i}=F^{-1}(1-U_{i}[1-F(qS_{i-1})])-qS_{i-1}}$

dónde,

${\displaystyle S_{i-1}}$es la edad real acumulada antes de la i- ^ésima entre llegadas,

${\displaystyle U_{i}}$es una variable aleatoria distribuida uniformemente,

${\displaystyle F}$es la CDF de la distribución de tiempo de falla subyacente.

Posteriormente, la solución Monte Carlo se mejoró ^[4] y se implementó como recurso web. ^[5]

Enfoque de máxima verosimilitud

Los procedimientos de máxima verosimilitud fueron discutidos posteriormente por Yañez, et al., ^[6] y Mettas & Zhao. ^[7] Kahle & Love abordaron en detalle la estimación del factor de restauración de renovación G. ^[8]

Método de regularización en la estimación de parámetros GRP.

La estimación de los parámetros del proceso de renovación de G es un problema inverso mal planteado y, por lo tanto, la solución puede no ser única y es sensible a los datos de entrada. Krivtsov y Yevkin ^{[9] [10]} sugirieron primero estimar los parámetros de distribución subyacentes utilizando únicamente el tiempo transcurrido hasta el primer fallo. Luego, los parámetros obtenidos se utilizan como valores iniciales para el segundo paso, en el que todos los parámetros del modelo (incluidos los factores de restauración) se estiman simultáneamente. Este enfoque permite, por un lado, evitar soluciones irrelevantes (máximos o mínimos locales incorrectos de la función objetivo) y, por otro lado, mejorar la velocidad computacional, ya que el número de iteraciones depende significativamente de los valores iniciales seleccionados.

Limitaciones

Una limitación del Proceso de Renovación Generalizada es que no puede contabilizar reparaciones "mejor que nuevas". ^[11] Se ha desarrollado el proceso de renovación G1 que aplica el factor de restauración al parámetro de vida útil de una distribución a escala de ubicación para poder contabilizar la reparación "mejor que nueva" además de otros tipos de reparación.

Referencias

1. Kijima, Masaaki; Sumita, Ushio (1986). "Una generalización útil de la teoría de la renovación: procesos de conteo regidos por incrementos markovianos no negativos". Revista de probabilidad aplicada . 23 (1). Fideicomiso de probabilidad aplicada: 71–88. doi :10.2307/3214117. JSTOR  3214117. S2CID  222275620.
2. Kaminskiy, diputado; Krivtsov, VV (1998). "Un enfoque de Monte Carlo para el análisis de confiabilidad de sistemas reparables". Evaluación y Gestión Probabilística de la Seguridad. Londres: Springer-Verlag. págs. 1063-1068.
3. Krivtsov, VV (2000). Modelado y estimación del proceso de renovación generalizada en análisis de confiabilidad de sistemas reparables (Doctor). Universidad de Maryland, College Park, ISBN/ISSN: 0599725877.
4. Yevkin, A. (2011). "Enfoque de Monte Carlo para la evaluación de la disponibilidad y la intensidad de fallas bajo el modelo de proceso de renovación G". En Berenguer, Christophe; Grall, Antoine; Guedes Soares, Carlos (eds.). Avances en Seguridad, Confiabilidad y Gestión de Riesgos. Londres: CRC Press. págs. 1015-1020. doi :10.1201/b11939. ISBN 9780429217265.
5. Yevkin, A. "Calculadora del proceso de renovación G" . Consultado el 13 de mayo de 2021 .
6. Yáñez, M.; Joglar, F.; Modarres, M. (agosto de 2002). "Proceso de renovación generalizado para el análisis de sistemas reparables con experiencia limitada en fallas". Ingeniería de confiabilidad y seguridad de sistemas . 77 (2): 167–180. doi :10.1016/S0951-8320(02)00044-3.
7. Mettas, A.; Zhao, W. (24 de enero de 2005). Modelado y análisis de sistemas reparables con reparación general. Simposio anual sobre confiabilidad y mantenibilidad 2005. Alexandria, VA.
8. Kahle, W.; Amor, C. (2003). "Modelado de la influencia de las acciones de mantenimiento". Métodos matemáticos y estadísticos en confiabilidad . Serie sobre Estadísticas de Calidad, Confiabilidad e Ingeniería. 7 : 387–399. doi :10.1142/9789812795250_0025. ISBN 978-981-238-321-1.
9. Krivtsov, VV; Yevkin, O. (julio de 2013). "Estimación de los parámetros del proceso de renovación G como un problema inverso mal planteado". Ingeniería de confiabilidad y seguridad de sistemas . 115 : 10-18. doi :10.1016/j.ress.2013.02.005.
10. Krivtsov, Vasiliy; Yevkin, Alex (2017). Técnicas de regularización para la predicción de fallas recurrentes bajo modelos de Kijima. Simposio Anual de Confiabilidad y Mantenibilidad 2017. Orlando, FL.
11. Kaminskiy, diputado; Krivtsov, VV (junio de 2010). "Proceso de renovación G1 como modelo de sistema reparable". arXiv : 1006.3718 [estad.ME].