Proceso de Cox

Proceso de puntos de Poisson

En teoría de la probabilidad , un proceso de Cox , también conocido como proceso de Poisson doblemente estocástico , es un proceso puntual que es una generalización de un proceso de Poisson donde la intensidad que varía a lo largo del espacio matemático subyacente (a menudo espacio o tiempo) es en sí misma un proceso estocástico. El proceso recibe su nombre del estadístico David Cox , quien publicó el modelo por primera vez en 1955. ^[1]

Los procesos de Cox se utilizan para generar simulaciones de trenes de picos (la secuencia de potenciales de acción generados por una neurona ), ^[2] y también en matemáticas financieras donde producen un "marco útil para modelar precios de instrumentos financieros en los que el riesgo crediticio es un factor significativo". ^[3]

Definición

Sea una medida aleatoria . ${\displaystyle \xi }$

Una medida aleatoria se denomina proceso de Cox dirigido por , si es un proceso de Poisson con medida de intensidad . ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\eta \mid \xi =\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$

Aquí, está la distribución condicional de , dado . ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\eta \mid \xi =\mu )}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \{\xi =\mu \}}$

Transformada de Laplace

Si es un proceso de Cox dirigido por , entonces tiene la transformada de Laplace ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\eta }(f)=\exp \left(-\int 1-\exp(-f(x))\;\xi (\mathrm {d} x)\right)}$

para cualquier función positiva y medible . ${\displaystyle f}$

Véase también

• Modelo oculto de Markov de Poisson
• Modelo doblemente estocástico
• Proceso de Poisson no homogéneo , donde λ ( t ) está restringido a una función determinista
• La conjetura de Ross
• Proceso gaussiano
• Proceso de Poisson mixto

Referencias

Notas

1. Cox, DR (1955). "Algunos métodos estadísticos relacionados con series de eventos". Revista de la Royal Statistical Society . 17 (2): 129–164. doi :10.1111/j.2517-6161.1955.tb00188.x.
2. Krumin, M.; Shoham, S. (2009). "Generación de trenes de picos con funciones controladas de autocorrelación y correlación cruzada". Neural Computation . 21 (6): 1642–1664. doi :10.1162/neco.2009.08-08-847. PMID  19191596.
3. Lando, David (1998). "Sobre los procesos de Cox y los títulos de riesgo crediticio". Review of Derivatives Research . 2 (2–3): 99–120. doi :10.1007/BF01531332.

Bibliografía

• Cox, DR e Isham, V. Procesos puntuales , Londres: Chapman & Hall, 1980 ISBN 0-412-21910-7 
• Donald L. Snyder y Michael I. Miller Procesos puntuales aleatorios en el tiempo y el espacio Springer-Verlag, 1991 ISBN 0-387-97577-2 (Nueva York) ISBN 3-540-97577-2 (Berlín)