Banda de Möbius

Superficie no orientable con un borde

Una banda de Möbius hecha con papel y cinta adhesiva

En matemáticas , una banda de Möbius , cinta de Möbius o bucle de Möbius ^[a] es una superficie que se puede formar uniendo los extremos de una tira de papel con una media torsión. Como objeto matemático, fue descubierto por Johann Benedict Listing y August Ferdinand Möbius en 1858, pero ya había aparecido en mosaicos romanos del siglo III d. C. La banda de Möbius es una superficie no orientable , lo que significa que dentro de ella no se pueden distinguir consistentemente los giros en el sentido de las agujas del reloj de los giros en el sentido contrario. Toda superficie no orientable contiene una banda de Möbius.

Como espacio topológico abstracto, la banda de Möbius se puede incrustar en el espacio euclidiano tridimensional de muchas maneras diferentes: un medio giro en el sentido de las agujas del reloj es diferente de un medio giro en el sentido contrario a las agujas del reloj, y también se puede incrustar con un número impar de giros mayor que uno, o con una línea central anudada . Dos incrustaciones cualesquiera con el mismo nudo para la línea central y el mismo número y dirección de giros son topológicamente equivalentes . Todas estas incrustaciones tienen solo un lado, pero cuando se incrustan en otros espacios, la banda de Möbius puede tener dos lados. Solo tiene una única curva límite .

Varias construcciones geométricas de la banda de Möbius le proporcionan una estructura adicional. Puede ser barrida como una superficie reglada por un segmento de línea que gira en un plano giratorio, con o sin autocruzamientos. Una tira fina de papel con sus extremos unidos para formar una banda de Möbius puede doblarse suavemente como una superficie desarrollable o doblarse plana ; las bandas de Möbius aplanadas incluyen el trihexaflexágono . La banda de Möbius sudanesa es una superficie mínima en una hiperesfera , y la banda de Möbius de Meeks es una superficie mínima autointersecante en el espacio euclidiano ordinario. Tanto la banda de Möbius sudanesa como otra banda de Möbius autointersecante, la tapa cruzada, tienen un límite circular. Una banda de Möbius sin su límite, llamada banda de Möbius abierta, puede formar superficies de curvatura constante . Ciertos espacios altamente simétricos cuyos puntos representan líneas en el plano tienen la forma de una banda de Möbius.

Las numerosas aplicaciones de las bandas de Möbius incluyen correas mecánicas que se desgastan de manera uniforme en ambos lados, montañas rusas de doble vía cuyos vagones se alternan entre las dos vías y mapas del mundo impresos de modo que las antípodas aparezcan una frente a la otra. Las bandas de Möbius aparecen en moléculas y dispositivos con propiedades eléctricas y electromecánicas novedosas, y se han utilizado para demostrar resultados de imposibilidad en la teoría de la elección social . En la cultura popular, las bandas de Möbius aparecen en obras de arte de MC Escher , Max Bill y otros, y en el diseño del símbolo de reciclaje . Muchos conceptos arquitectónicos se han inspirado en la banda de Möbius, incluido el diseño del edificio del Salón de la Fama de NASCAR . Artistas como Harry Blackstone Sr. y Thomas Nelson Downs han basado trucos de magia en el escenario en las propiedades de la banda de Möbius. Los cánones de JS Bach se han analizado utilizando bandas de Möbius. Muchas obras de ficción especulativa presentan bandas de Möbius; De manera más general, una estructura de trama basada en la cinta de Möbius, de eventos que se repiten con un giro, es común en la ficción.

Historia

El descubrimiento de la cinta de Möbius como objeto matemático se atribuye de forma independiente a los matemáticos alemanes Johann Benedict Listing y August Ferdinand Möbius en 1858. ^[2] Sin embargo, ya se conocía mucho antes, tanto como objeto físico como en representaciones artísticas; en particular, se puede ver en varios mosaicos romanos del siglo III d. C. ^{[3] [4]} En muchos casos, estos simplemente representan cintas enrolladas como límites. Cuando el número de bobinas es impar, estas cintas son cintas de Möbius, pero para un número par de bobinas son topológicamente equivalentes a anillos sin torcer . Por lo tanto, si la cinta es una cinta de Möbius puede ser una coincidencia, en lugar de una elección deliberada. En al menos un caso, una cinta con diferentes colores en diferentes lados fue dibujada con un número impar de bobinas, lo que obligó a su artista a hacer una corrección torpe en el punto donde los colores no coincidían. ^[3] Otro mosaico de la ciudad de Sentinum (en la imagen) muestra el zodíaco , sostenido por el dios Aión , como una banda con un solo giro. No hay evidencia clara de que la unilateralidad de esta representación visual del tiempo celestial fuera intencional; podría haber sido elegida simplemente como una forma de hacer que todos los signos del zodíaco aparecieran en el lado visible de la banda. También se alega que otras representaciones antiguas del uróboros o de decoraciones en forma de ocho representan bandas de Möbius, pero no está claro si estaban destinadas a representar bandas planas de cualquier tipo . ^[4]

Independientemente de la tradición matemática, los maquinistas saben desde hace tiempo que las correas mecánicas se desgastan la mitad de rápido cuando forman bandas de Möbius, porque utilizan toda la superficie de la correa en lugar de solo la superficie interior de una correa sin torcer. ^[3] Además, una correa de este tipo puede ser menos propensa a curvarse de un lado a otro. Una de las primeras descripciones escritas de esta técnica data de 1871, que es posterior a las primeras publicaciones matemáticas sobre la banda de Möbius. Mucho antes, una imagen de una bomba de cadena en una obra de Ismail al-Jazari de 1206 muestra una configuración de banda de Möbius para su cadena de transmisión. ^[4] Otro uso de esta superficie lo hicieron las costureras de París (en una fecha no especificada): iniciaban a las novicias pidiéndoles que cosieran una banda de Möbius como cuello en una prenda. ^[3]

Propiedades

Un objeto 2D que recorre una vez la banda de Möbius regresa en forma reflejada

La banda de Möbius tiene varias propiedades curiosas. Es una superficie no orientable : si un objeto bidimensional asimétrico se desliza una vez alrededor de la banda, vuelve a su posición inicial como su imagen especular. En particular, una flecha curva que apunta en el sentido de las agujas del reloj (↻) volvería como una flecha que apunta en el sentido contrario a las agujas del reloj (↺), lo que implica que, dentro de la banda de Möbius, es imposible definir de manera consistente qué significa ser en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj. Es la superficie no orientable más simple: cualquier otra superficie es no orientable si y solo si tiene una banda de Möbius como subconjunto. ^[5] De manera relacionada, cuando se incrusta en el espacio euclidiano , la banda de Möbius tiene solo un lado. Un objeto tridimensional que se desliza una vez alrededor de la superficie de la banda no se refleja, sino que regresa al mismo punto de la banda en lo que parece ser localmente su otro lado, lo que muestra que ambas posiciones son realmente parte de un solo lado. Este comportamiento es diferente de las superficies orientables familiares en tres dimensiones, como las modeladas por hojas planas de papel, pajitas cilíndricas para beber o bolas huecas, para las cuales un lado de la superficie no está conectado al otro. ^[6] Sin embargo, esta es una propiedad de su incrustación en el espacio en lugar de una propiedad intrínseca de la propia banda de Möbius: existen otros espacios topológicos en los que la banda de Möbius puede incrustarse de modo que tenga dos lados. ^[7] Por ejemplo, si las caras frontal y posterior de un cubo se pegan entre sí con una reflexión especular izquierda-derecha, el resultado es un espacio topológico tridimensional (el producto cartesiano de una banda de Möbius con un intervalo) en el que las mitades superior e inferior del cubo pueden separarse entre sí por una banda de Möbius de dos lados. ^[b] A diferencia de los discos, esferas y cilindros, para los cuales es posible incrustar simultáneamente un conjunto incontable de copias disjuntas en el espacio tridimensional, solo se puede incrustar simultáneamente un número contable de tiras de Möbius. ^{[9] [10] [11]}

Un camino a lo largo del borde de una banda de Möbius, trazado hasta que regresa a su punto de inicio en el borde, incluye todos los puntos límite de la banda de Möbius en una única curva continua. Para una banda de Möbius formada al pegar y torcer un rectángulo, tiene el doble de longitud de la línea central de la banda. En este sentido, la banda de Möbius es diferente de un anillo sin torcer y como un disco circular en que tiene solo un límite. ^[6] Una banda de Möbius en el espacio euclidiano no se puede mover o estirar en su imagen especular; es un objeto quiral con lateralidad derecha o izquierda. ^[12] Las bandas de Möbius con un número impar de medias torsiones mayor que uno, o que se anudan antes de pegar, son distintas como subconjuntos incrustados del espacio tridimensional, aunque todas son equivalentes como superficies topológicas bidimensionales. ^[13] Más precisamente, dos bandas de Möbius están incrustadas de manera equivalente en el espacio tridimensional cuando sus líneas centrales determinan el mismo nudo y tienen el mismo número de giros entre sí . ^[14] Sin embargo, con un número par de giros, se obtiene una superficie topológica diferente, llamada anillo . ^[15]

La banda de Möbius puede transformarse continuamente en su línea central, haciéndola más estrecha mientras se fijan los puntos en la línea central. Esta transformación es un ejemplo de una retracción de deformación , y su existencia significa que la banda de Möbius tiene muchas de las mismas propiedades que su línea central, que topológicamente es un círculo. En particular, su grupo fundamental es el mismo que el grupo fundamental de un círculo, un grupo cíclico infinito . Por lo tanto, los caminos en la banda de Möbius que comienzan y terminan en el mismo punto se pueden distinguir topológicamente (hasta la homotopía ) solo por el número de veces que dan vueltas alrededor de la banda. ^[16]

Al cortar una cinta de Möbius a lo largo de la línea central con un par de tijeras se obtiene una tira larga con cuatro medias vueltas (en relación con un anillo o cilindro sin torcer) en lugar de dos tiras separadas. Dos de las medias vueltas se deben al hecho de que esta tira más delgada pasa dos veces por la media vuelta de la cinta de Möbius original, y las otras dos se deben a la forma en que las dos mitades de la cinta más delgada se envuelven una alrededor de la otra. El resultado no es una cinta de Möbius, sino que es topológicamente equivalente a un cilindro. Al cortar esta tira doblemente torcida a lo largo de su línea central se obtienen dos tiras doblemente torcidas unidas. Si, en cambio, se corta una cinta de Möbius a lo largo, un tercio de su ancho, se obtienen dos tiras unidas. Una de las dos es una cinta de Möbius central, más delgada, mientras que la otra tiene dos medias vueltas. ^[6] Estas formas interconectadas, formadas por cortes longitudinales de tiras de Möbius con anchos variables, a veces se denominan anillos paradrómicos . ^{[17] [18]}

La banda de Möbius se puede cortar en seis regiones adyacentes entre sí, lo que muestra que los mapas en la superficie de la banda de Möbius a veces pueden requerir seis colores, en contraste con el teorema de los cuatro colores para el plano. ^[19] Seis colores son siempre suficientes. Este resultado es parte del teorema de Ringel-Youngs , que establece cuántos colores necesita cada superficie topológica. ^[20] Los bordes y vértices de estas seis regiones forman el grafo de Tietze , que es un grafo dual en esta superficie para el grafo completo de seis vértices , pero no se puede dibujar sin cruces en un plano . Otra familia de grafos que se pueden incrustar en la banda de Möbius, pero no en el plano, son las escaleras de Möbius , los límites de las subdivisiones de la banda de Möbius en rectángulos que se encuentran de extremo a extremo. ^[21] Entre ellos se incluye el grafo de utilidad, un grafo bipartito completo de seis vértices cuya incrustación en la banda de Möbius muestra que, a diferencia de lo que ocurre en el plano, el problema de las tres utilidades se puede resolver en una banda de Möbius transparente. ^[22] La característica de Euler de la banda de Möbius es cero , lo que significa que para cualquier subdivisión de la banda por vértices y aristas en regiones, los números , , y de vértices, aristas y regiones satisfacen . Por ejemplo, el grafo de Tietze tiene vértices, aristas y regiones; . ^[19] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V-E+F=0}$ ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 18}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 12-18+6=0}$

Construcciones

Hay muchas formas diferentes de definir superficies geométricas con la topología de la banda de Möbius, produciendo realizaciones con propiedades geométricas adicionales.

Barrido de un segmento de línea

Una forma de incrustar la banda de Möbius en el espacio euclidiano tridimensional es barrerla con un segmento de línea que gira en un plano, que a su vez gira alrededor de una de sus líneas. ^[23] Para que la superficie barrida se encuentre consigo misma después de un medio giro, el segmento de línea debe girar alrededor de su centro a la mitad de la velocidad angular de la rotación del plano. Esto puede describirse como una superficie paramétrica definida por ecuaciones para las coordenadas cartesianas de sus puntos, para y , donde un parámetro describe el ángulo de rotación del plano alrededor de su eje central y el otro parámetro describe la posición de un punto a lo largo del segmento de línea giratorio. Esto produce una banda de Möbius de ancho 1, cuyo círculo central tiene radio 1, se encuentra en el plano y está centrado en . ^[24] El mismo método puede producir bandas de Möbius con cualquier número impar de medios giros, girando el segmento más rápidamente en su plano. El segmento giratorio barre un disco circular en el plano en el que gira y la banda de Möbius que genera forma un corte a través del toro sólido barrido por este disco. Debido a la unilateralidad de este corte, el toro cortado permanece conectado. ^[25] $${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u\\y(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u\\z(u,v)&={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 0\leq u<2\pi }$ ${\displaystyle -1\leq v\leq 1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle (0,0,0)}$

Una línea o segmento de línea barrido en un movimiento diferente, girando en un plano horizontal alrededor del origen mientras se mueve hacia arriba y hacia abajo, forma el conoide o cilindroide de Plücker , una superficie reglada algebraica en forma de una banda de Möbius autocruzada . ^[26] Tiene aplicaciones en el diseño de engranajes . ^[27]

Superficies poliédricas y pliegues planos

Trihexaflexágono en flexión

Una tira de papel puede formar una banda de Möbius aplanada en el plano doblándola en ángulos de modo que su línea central se encuentre a lo largo de un triángulo equilátero y uniendo los extremos. La tira más corta para la que esto es posible consta de tres triángulos equiláteros, doblados en los bordes donde se encuentran dos triángulos. Su relación de aspecto  (la relación entre la longitud de la tira ^[c] y su ancho) es , y el mismo método de plegado funciona para cualquier relación de aspecto mayor. ^{[28] [29]} Para una tira de nueve triángulos equiláteros, el resultado es un trihexaflexágono , que se puede flexionar para revelar diferentes partes de su superficie. ^[30] Para tiras demasiado cortas para aplicar este método directamente, primero se puede "doblar en acordeón" la tira en su dirección ancha hacia adelante y hacia atrás usando un número par de pliegues. Con dos pliegues, por ejemplo, una tira se convertiría en una tira doblada cuya sección transversal tiene la forma de una 'N' y seguiría siendo una 'N' después de una media torsión. La tira más estrecha doblada en acordeón se puede luego doblar y unir de la misma manera que se haría una tira más larga. ^{[28] [29]} ${\displaystyle 60^{\circ }}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle 1\times {\tfrac {1}{3}}}$

Bandas de Möbius poliédricas de cinco vértices y plegadas de forma plana

La banda de Möbius también puede ser incrustada como una superficie poliédrica en el espacio o plegada en el plano, con solo cinco caras triangulares que comparten cinco vértices. En este sentido, es más simple que el cilindro , que requiere seis triángulos y seis vértices, incluso cuando se representa de manera más abstracta como un complejo simplicial . ^{[31] [d]} Una banda de Möbius de cinco triángulos puede ser representada de manera más simétrica por cinco de los diez triángulos equiláteros de un simplex regular de cuatro dimensiones . Esta banda de Möbius poliédrica de cuatro dimensiones es la única banda de Möbius ajustada , una que es completamente de cuatro dimensiones y para la cual todos los cortes por hiperplanos la separan en dos partes que son topológicamente equivalentes a discos o círculos. ^[32]

Otras incrustaciones poliédricas de bandas de Möbius incluyen una con cuatro cuadriláteros convexos como caras, otra con tres caras cuadriláteras no convexas , ^[33] y una que usa los vértices y el punto central de un octaedro regular , con un límite triangular. ^[34] Cada triangulación abstracta del plano proyectivo se puede incrustar en 3D como una banda de Möbius poliédrica con un límite triangular después de eliminar una de sus caras; ^[35] un ejemplo es el plano proyectivo de seis vértices obtenido agregando un vértice a la banda de Möbius de cinco vértices, conectado por triángulos a cada uno de los bordes de su límite. ^[31] Sin embargo, no todas las triangulaciones abstractas de la banda de Möbius se pueden representar geométricamente, como una superficie poliédrica. ^[36] Para que sea realizable, es necesario y suficiente que no haya dos 3-ciclos no contráctiles disjuntos en la triangulación. ^[37]

Rectángulos incrustados suavemente

Una tira de Möbius rectangular, hecha uniendo los extremos de un rectángulo de papel, se puede incrustar suavemente en el espacio tridimensional siempre que su relación de aspecto sea mayor que , la misma relación que para la versión de triángulo equilátero doblado plano de la tira de Möbius. ^{[38] Esta incrustación triangular plana puede elevarse a una incrustación [e]} suave en tres dimensiones, en la que la tira se encuentra plana en tres planos paralelos entre tres rodillos cilíndricos, cada uno tangente a dos de los planos. ^[38] Matemáticamente, una hoja de papel incrustada suavemente se puede modelar como una superficie desarrollable , que se puede doblar pero no estirar. ^{[39] [40]} A medida que su relación de aspecto disminuye hacia , todas las incrustaciones suaves parecen aproximarse a la misma forma triangular . ^[41] ${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Los pliegues longitudinales de una banda de Möbius plana plegada en acordeón evitan que forme una incrustación tridimensional en la que las capas están separadas entre sí y se doblan suavemente sin arrugarse ni estirarse lejos de los pliegues. ^[29] En cambio, a diferencia del caso de plegado plano, existe un límite inferior para la relación de aspecto de las bandas de Möbius rectangulares lisas. Su relación de aspecto no puede ser menor que , incluso si se permiten autointersecciones. Existen bandas de Möbius lisas autointersecantes para cualquier relación de aspecto por encima de este límite. ^{[29] [42]} Sin autointersecciones, la relación de aspecto debe ser al menos ^[43] ${\displaystyle \pi /2\approx 1.57}$ $${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}\approx 1.695.}$$

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Es posible pegar  un rectángulo de papel de un extremo a otro para formar una tira de Möbius lisa incrustada en el espacio? ^[f] ${\displaystyle 12\times 7}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Para las relaciones de aspecto entre este límite y , ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ha sido un problema abierto si existen incrustaciones suaves, sin autointersección . ^{[29] [42] [43]} En 2023, Richard Schwartz anunció una prueba de que no existen, pero este resultado aún espera revisión por pares y publicación. ^{[44] [45]} Si el requisito de suavidad se relaja para permitir superficies continuamente diferenciables , el teorema de Nash-Kuiper implica que dos bordes opuestos cualesquiera de cualquier rectángulo se pueden pegar para formar una banda de Möbius incrustada, sin importar cuán pequeña sea la relación de aspecto. ^[g] El caso límite, una superficie obtenida a partir de una franja infinita del plano entre dos líneas paralelas, pegadas con orientación opuesta entre sí, se llama banda de Möbius ilimitada o fibrado de líneas tautológico real . ^{[46] Aunque no tiene una incrustación suave y cerrada en el espacio tridimensional, se puede incrustar suavemente como un subconjunto cerrado del} espacio euclidiano de cuatro dimensiones . ^[47]

La forma de energía mínima de una tira de Möbius lisa pegada a partir de un rectángulo no tiene una descripción analítica conocida, pero se puede calcular numéricamente y ha sido objeto de mucho estudio en la teoría de placas desde el trabajo inicial sobre este tema en 1930 por Michael Sadowsky . ^{[39] [40]} También es posible encontrar superficies algebraicas que contengan tiras de Möbius desarrollables rectangulares . ^{[48] [49]}

Hacer el límite circular

El borde, o límite , de una banda de Möbius es topológicamente equivalente a un círculo . En formas comunes de la banda de Möbius, tiene una forma diferente a la de un círculo, pero no está anudada y, por lo tanto, toda la banda se puede estirar sin cruzarse para hacer que el borde sea perfectamente circular. ^[50] Un ejemplo de esto se basa en la topología de la botella de Klein , una superficie de un solo lado sin límite que no se puede incrustar en el espacio tridimensional, pero se puede sumergir (lo que permite que la superficie se cruce a sí misma de ciertas formas restringidas). Una botella de Klein es la superficie que resulta cuando dos bandas de Möbius se pegan borde con borde y, invirtiendo ese proceso, una botella de Klein se puede cortar a lo largo de un corte cuidadosamente elegido para producir dos bandas de Möbius. ^[51] Para una forma de la botella de Klein conocida como la botella de Klein de Lawson, la curva a lo largo de la cual se corta se puede hacer circular, lo que da como resultado bandas de Möbius con bordes circulares. ^[52]

La botella de Klein de Lawson es una superficie mínima autocruzada en la hiperesfera unitaria del espacio de 4 dimensiones, el conjunto de puntos de la forma para . ^[53] La mitad de esta botella de Klein, el subconjunto con , da una banda de Möbius incrustada en la hiperesfera como una superficie mínima con un círculo máximo como límite. ^[54] Esta incrustación a veces se denomina "banda de Möbius sudanesa" en honor a los topólogos Sue Goodman y Daniel Asimov, quienes la descubrieron en la década de 1970. ^[55] Geométricamente, la botella de Klein de Lawson se puede construir barriendo un círculo máximo a través de un movimiento circular máximo en la 3-esfera, y la banda de Möbius sudanesa se obtiene barriendo un semicírculo en lugar de un círculo, o equivalentemente cortando la botella de Klein a lo largo de un círculo que es perpendicular a todos los círculos barridos. ^{[52] [56]} La proyección estereográfica transforma esta forma de un espacio esférico tridimensional en un espacio euclidiano tridimensional, conservando la circularidad de su límite. ^[52] La proyección más simétrica se obtiene utilizando un punto de proyección que se encuentra en ese gran círculo que pasa por el punto medio de cada uno de los semicírculos, pero produce una incrustación ilimitada con el punto de proyección eliminado de su línea central. ^[54] En cambio, dejar la banda de Möbius sudanesa sin proyectar, en la 3-esfera, la deja con un grupo infinito de simetrías isomorfas al grupo ortogonal , el grupo de simetrías de un círculo. ^[53] $${\displaystyle (\cos \theta \cos \phi ,\sin \theta \cos \phi ,\cos 2\theta \sin \phi ,\sin 2\theta \sin \phi )}$$ ${\displaystyle 0\leq \theta <\pi ,0\leq \phi <2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq \phi <\pi }$ ${\displaystyle \mathrm {O} (2)}$

Representación esquemática de una tapa en forma de cruz con el fondo abierto, en la que se muestran sus niveles . Esta superficie se cruza consigo misma a lo largo del segmento de línea vertical.

La banda de Möbius sudanesa se extiende por todos los lados de su círculo límite, inevitablemente si se quiere evitar que la superficie se cruce consigo misma. Otra forma de la banda de Möbius, llamada tapa cruzada o tapa cruzada , también tiene un límite circular, pero por lo demás se mantiene en un solo lado del plano de este círculo, ^[57] lo que la hace más conveniente para adherirse a agujeros circulares en otras superficies. Para ello, se cruza consigo misma. Se puede formar quitando un cuadrilátero de la parte superior de un hemisferio, orientando los bordes del cuadrilátero en direcciones alternas y luego pegando pares opuestos de estos bordes de manera consistente con esta orientación. ^[58] Las dos partes de la superficie formadas por los dos pares de bordes pegados se cruzan entre sí con un punto de pinza como el de un paraguas Whitney en cada extremo del segmento cruzado, ^[59] la misma estructura topológica que se observa en el conoide de Plücker . ^[26]

Superficies de curvatura constante

La banda de Möbius abierta es el interior relativo de una banda de Möbius estándar, formada omitiendo los puntos en su borde límite. Se le puede dar una geometría de Riemann con curvatura Gaussiana constante positiva, negativa o cero . Los casos de curvatura negativa y cero forman superficies geodésicas completas, lo que significa que todas las geodésicas ("líneas rectas" en la superficie) pueden extenderse indefinidamente en cualquier dirección.

Curvatura cero

Una tira abierta con curvatura cero se puede construir pegando los lados opuestos de una tira plana entre dos líneas paralelas, descritas anteriormente como el fibrado de líneas tautológico. ^[46] La métrica resultante convierte la banda de Möbius abierta en una superficie plana (geodésicamente) completa (es decir, que tiene una curvatura gaussiana cero en todas partes). Esta es la única métrica en la banda de Möbius, hasta el escalamiento uniforme, que es a la vez plana y completa. Es el espacio cociente de un plano por una reflexión de deslizamiento y (junto con el plano, el cilindro , el toro y la botella de Klein ) es una de las cinco únicas variedades planas completas bidimensionales . ^[60]

Curvatura negativa

La banda de Möbius abierta también admite métricas completas de curvatura negativa constante. Una forma de ver esto es comenzar con el modelo de semiplano superior (Poincaré) del plano hiperbólico , una geometría de curvatura constante cuyas líneas están representadas en el modelo por semicírculos que se encuentran con el eje en ángulos rectos. Tome el subconjunto del semiplano superior entre dos semicírculos anidados cualesquiera e identifique el semicírculo externo con la inversión izquierda-derecha del semicírculo interno. El resultado es topológicamente una banda de Möbius completa y no compacta con curvatura negativa constante. Es una superficie hiperbólica completa "no estándar" en el sentido de que contiene un semiplano hiperbólico completo (en realidad dos, en lados opuestos del eje de deslizamiento-reflexión), y es una de las únicas 13 superficies no estándar. ^[61] Nuevamente, esto puede entenderse como el cociente del plano hiperbólico por una reflexión de deslizamiento. ^[62] ${\displaystyle x}$

Curvatura positiva

Una banda de Möbius de curvatura positiva constante no puede ser completa, ya que se sabe que las únicas superficies completas de curvatura positiva constante son la esfera y el plano proyectivo . ^[60] Sin embargo, en cierto sentido está a solo un punto de ser una superficie completa, ya que la banda de Möbius abierta es homeomorfa al plano proyectivo una vez perforado , la superficie obtenida al eliminar cualquier punto del plano proyectivo. ^[63]

Las superficies mínimas se describen como que tienen una curvatura media cero constante en lugar de una curvatura gaussiana constante. La banda de Möbius sudanesa se construyó como una superficie mínima limitada por un gran círculo en una 3-esfera, pero también hay una única superficie mínima completa (sin límites) inmersa en el espacio euclidiano que tiene la topología de una banda de Möbius abierta. Se llama banda de Möbius de Meeks, ^[64] después de su descripción de 1982 por William Hamilton Meeks, III . ^[65] Aunque globalmente inestable como superficie mínima, pequeños parches de ella, limitados por curvas no contráctiles dentro de la superficie, pueden formar bandas de Möbius incrustadas estables como superficies mínimas. ^[66] Tanto la banda de Möbius de Meeks como cualquier superficie mínima de dimensión superior con la topología de la banda de Möbius se pueden construir utilizando soluciones al problema de Björling , que define una superficie mínima únicamente a partir de su curva límite y los planos tangentes a lo largo de esta curva. ^[67]

Espacios de lineas

A la familia de líneas en el plano se le puede dar la estructura de un espacio liso, con cada línea representada como un punto en este espacio. El espacio de líneas resultante es topológicamente equivalente a la banda abierta de Möbius . ^[68] Una forma de ver esto es extender el plano euclidiano al plano proyectivo real agregando una línea más, la línea en el infinito . Por dualidad proyectiva, el espacio de líneas en el plano proyectivo es equivalente a su espacio de puntos, el plano proyectivo mismo. Quitar la línea en el infinito, para producir el espacio de líneas euclidianas, perfora este espacio de líneas proyectivas. ^[69] Por lo tanto, el espacio de líneas euclidianas es un plano proyectivo perforado, que es una de las formas de la banda abierta de Möbius. ^[63] El espacio de líneas en el plano hiperbólico puede parametrizarse mediante pares no ordenados de puntos distintos en un círculo, los pares de puntos en el infinito de cada línea. Este espacio, nuevamente, tiene la topología de una banda de Möbius abierta. ^[70]

Estos espacios de líneas son altamente simétricos. Las simetrías de las líneas euclidianas incluyen las transformaciones afines , y las simetrías de las líneas hiperbólicas incluyen las transformaciones de Möbius . ^[71] Las transformaciones afines y las transformaciones de Möbius forman grupos de Lie de 6 dimensiones , espacios topológicos que tienen una estructura algebraica compatible que describe la composición de las simetrías. ^{[72] [73]} Debido a que cada línea en el plano es simétrica a cada otra línea, la banda de Möbius abierta es un espacio homogéneo , un espacio con simetrías que llevan cada punto a cada otro punto. Los espacios homogéneos de los grupos de Lie se denominan solvvariedades , y la banda de Möbius se puede utilizar como un contraejemplo , mostrando que no toda solvvariedad es una nilvariedad , y que no toda solvvariedad se puede factorizar en un producto directo de una solvvariedad compacta con . Estas simetrías también proporcionan otra forma de construir la propia banda de Möbius, como un modelo de grupo de estos grupos de Lie. Un modelo de grupo consta de un grupo de Lie y un subgrupo estabilizador de su acción; contrayendo las clases laterales del subgrupo a puntos se produce un espacio con la misma topología que el espacio homogéneo subyacente. En el caso de las simetrías de las líneas euclidianas, el estabilizador del eje y consta de todas las simetrías que toman el eje hacia sí mismo. Cada línea corresponde a una clase lateral, el conjunto de simetrías que se asignan al eje y. Por lo tanto, el espacio cociente , un espacio que tiene un punto por clase lateral y hereda su topología del espacio de simetrías, es el mismo que el espacio de líneas, y es nuevamente una banda de Möbius abierta . ^[74] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle x}$

Aplicaciones

Flujo eléctrico en una resistencia de Möbius

Además de las aplicaciones ya comentadas de las tiras de Möbius al diseño de correas mecánicas que se desgastan uniformemente en toda su superficie, y del conoide de Plücker al diseño de engranajes, otras aplicaciones de las tiras de Möbius incluyen:

• Cintas de grafeno retorcidas para formar bandas de Möbius con nuevas características electrónicas, incluido el magnetismo helicoidal ^[75]
• Aromaticidad de Möbius , una propiedad de los productos químicos orgánicos cuya estructura molecular forma un ciclo, con orbitales moleculares alineados a lo largo del ciclo en el patrón de una banda de Möbius ^{[76] [77]}
• La resistencia de Möbius , una tira de material conductor que cubre un solo lado de una tira de Möbius dieléctrica , de manera que cancela su propia autoinducción ^{[78] [79]}
• Resonadores con un diseño compacto y una frecuencia de resonancia que es la mitad de la de las bobinas lineales construidas de manera idéntica ^{[80] [81]}
• Patrones de polarización en la luz que emerge de una placa q ^[82]
• Una prueba de la imposibilidad de reglas de agregación bipartidista continuas, anónimas y unánimes en la teoría de la elección social ^[83]
• Montañas rusas de bucle de Möbius , una forma de montaña rusa de doble vía en la que las dos vías giran en espiral una alrededor de la otra un número impar de veces, de modo que los vagones regresan a la vía opuesta a la que comenzaron ^{[84] [85]}
• Mapas del mundo proyectados sobre una banda de Möbius con las convenientes propiedades de que no hay límites este-oeste y que el antípoda de cualquier punto del mapa se puede encontrar en el otro lado impreso de la superficie en el mismo punto de la banda de Möbius ^{[86] [87]}

Los científicos también han estudiado la energía de las películas de jabón con forma de tiras de Möbius, ^{[88] [89]} la síntesis química de moléculas con forma de tira de Möbius, ^{[90] [91] y la formación de tiras de Möbius} a nanoescala más grandes utilizando origami de ADN . ^[92]

En la cultura popular

Giro sin fin , Max Bill , 1956, del Museo de Esculturas al Aire Libre de Middelheim

Las obras de arte bidimensionales que presentan la banda de Möbius incluyen una pintura sin título de 1947 de Corrado Cagli (conmemorada en un poema de Charles Olson ), ^{[93] [94]} y dos grabados de MC Escher : Banda de Möbius I (1961), que representa a tres peces planos plegados mordiéndose la cola; y Banda de Möbius II (1963), que representa a hormigas arrastrándose alrededor de una banda de Möbius con forma de lemniscata . ^{[95] [96]} También es un tema popular de la escultura matemática , incluidas las obras de Max Bill ( Cinta sin fin , 1953), José de Rivera ( Infinito , 1967) y Sebastián . ^[93] Una banda de Möbius con nudos de trébol se utilizó en La inmortalidad (1982) de John Robinson . ^[97] Continuum (1976) de Charles O. Perry es una de varias piezas de Perry que exploran variaciones de la banda de Möbius. ^[98]

Debido a su forma fácilmente reconocible, las tiras de Möbius son un elemento común del diseño gráfico . ^[97] El conocido logotipo de tres flechas para el reciclaje , diseñado en 1970, se basa en la forma triangular suave de la tira de Möbius, ^[99] al igual que el logotipo de la Expo '74 con temática ambiental . ^[100] Algunas variaciones del símbolo de reciclaje usan una incrustación diferente con tres medios giros en lugar de uno, ^[99] y la versión original del logotipo de Google Drive usó una tira de Möbius de tres giros doblada plana, al igual que otros diseños similares. ^[101] El Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) brasileño usa una tira de Möbius suave y estilizada como su logotipo, y tiene una gran escultura a juego de una tira de Möbius en exhibición en su edificio. ^[102] La tira de Möbius también ha aparecido en las ilustraciones de sellos postales de países como Brasil, Bélgica, los Países Bajos y Suiza. ^{[103] [104]}

Entrada al Salón de la Fama de NASCAR

Las bandas de Möbius han sido una inspiración frecuente para el diseño arquitectónico de edificios y puentes. Sin embargo, muchos de estos son proyectos o diseños conceptuales en lugar de objetos construidos, o extienden su interpretación de la banda de Möbius más allá de su reconocibilidad como una forma matemática o una parte funcional de la arquitectura. ^{[105] [106]} Un ejemplo es la Biblioteca Nacional de Kazajstán , para la que se planificó un edificio con la forma de una banda de Möbius engrosada, pero se reacondicionó con un diseño diferente después de que los arquitectos originales se retiraran del proyecto. ^[107] Un edificio notable que incorpora una banda de Möbius es el Salón de la Fama de NASCAR , que está rodeado por una gran cinta retorcida de acero inoxidable que actúa como fachada y marquesina, y evoca las formas curvas de las pistas de carreras. ^[108] A menor escala, Moebius Chair (2006) de Pedro Reyes es un banco de cortejo cuya base y lados tienen la forma de una banda de Möbius. ^[109] Como una forma de matemáticas y artes de fibra , las bufandas se han tejido en tiras de Möbius desde el trabajo de Elizabeth Zimmermann a principios de la década de 1980. ^[110] En el estilismo de alimentos , las tiras de Möbius se han utilizado para cortar bagels , ^[111] hacer bucles de tocino , ^[112] y crear nuevas formas para la pasta . ^[113]

Aunque matemáticamente la banda de Möbius y la cuarta dimensión son conceptos puramente espaciales, a menudo se han invocado en la ficción especulativa como base para un bucle temporal en el que las víctimas incautas pueden quedar atrapadas. Ejemplos de este tropo incluyen "No-Sided Professor" (1946) de Martin Gardner, " A Subway Named Mobius " (1950) de Armin Joseph Deutsch y la película Moebius (1996) basada en ella. Un mundo entero con forma de banda de Möbius es el escenario de "The Wall of Darkness" (1946) de Arthur C. Clarke , mientras que las bandas de Möbius convencionales se utilizan como inventos inteligentes en múltiples historias de William Hazlett Upson de la década de 1940. ^[114] Se han analizado otras obras de ficción por tener una estructura similar a la de una banda de Möbius, en la que los elementos de la trama se repiten con un giro; Entre ellas se incluyen En busca del tiempo perdido (1913-1927) de Marcel Proust, Seis personajes en busca de un autor (1921) de Luigi Pirandello , ¡ Qué bello es vivir! (1946) de Frank Capra , Perdidos en la casa de la risa (1968) de John Barth, Dhalgren ( 1975 ) de Samuel R. Delany y la película Donnie Darko (2001). ^[115]

Uno de los cánones musicales de J. S. Bach , el quinto de los 14 cánones ( BWV 1087 ) descubierto en 1974 en la copia de Bach de las Variaciones Goldberg , presenta una simetría de deslizamiento-reflexión en la que cada voz del canon repite, con notas invertidas , el mismo motivo de dos compases anteriores. Debido a esta simetría, se puede pensar que este canon tiene su partitura escrita en una cinta de Möbius. ^{[116] [h]} En teoría musical , los tonos que difieren en una octava generalmente se consideran notas equivalentes, y el espacio de notas posibles forma un círculo, el círculo cromático . Debido a que la cinta de Möbius es el espacio de configuración de dos puntos no ordenados en un círculo, el espacio de todos los acordes de dos notas toma la forma de una cinta de Möbius. Esta concepción, y las generalizaciones a más puntos, es una aplicación significativa de los orbifolds a la teoría musical . ^{[117] [118]} Entre los grupos musicales modernos que toman su nombre de la cinta de Möbius se incluyen el trío de rock electrónico estadounidense Mobius Band ^[119] y la banda noruega de rock progresivo Ring Van Möbius . ^[120]

Las bandas de Möbius y sus propiedades se han utilizado en el diseño de magia escénica . Uno de estos trucos, conocido como las bandas afganas, utiliza el hecho de que la banda de Möbius permanece en una sola pieza como una sola tira cuando se corta longitudinalmente. Se originó en la década de 1880 y fue muy popular en la primera mitad del siglo XX. Existen muchas versiones de este truco y han sido realizadas por ilusionistas famosos como Harry Blackstone Sr. y Thomas Nelson Downs . ^{[121] [122]}

Véase también

• Contador de Möbius , un registro de desplazamiento cuyo bit de salida se complementa antes de ser devuelto al bit de entrada.
• Triángulo de Penrose , una figura imposible cuyo límite parece envolverla en una banda de Möbius
• Teoría de la cinta , teoría matemática de tiras infinitesimalmente delgadas que siguen curvas espaciales anudadas.
• Atractor de Smale-Williams , un fractal formado al engrosar repetidamente una curva espacial hasta formar una banda de Möbius y luego reemplazarla con el borde límite.
• Toro umbilical

Notas

1. Pronunciado en EE. UU.: /ˈm oʊb i ə s, ˈm eɪ-/ MOH - bee - əs , MAY- , Reino Unido : / ˈm ɜːb i ə s / ; [ 1 ] Alemán : [ ˈmøːbi̯ʊs ] . Como ^es común en las palabras que contienen diéresis , también se suele escribir Mobius o Moebius .
2. Básicamente, este ejemplo, pero para una botella de Klein en lugar de una cinta de Möbius, lo da Blackett (1982). ^[8]
3. La longitud de una tira se puede medir en su línea central o cortando la tira de Möbius resultante perpendicularmente a su límite de modo que forme un rectángulo.
4. La banda de Möbius plegada plana formada por tres triángulos equiláteros no proviene de un complejo simplicial abstracto , porque los tres triángulos comparten los mismos tres vértices, mientras que los complejos simpliciales abstractos requieren que cada triángulo tenga un conjunto diferente de vértices.
5. Esta incrustación cilíndrica y plana por partes tiene una clase de suavidad y se puede aproximar con precisión arbitraria mediante incrustaciones infinitamente diferenciables (de clase ) . ^[39] ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$
6. 12/7 es el número racional más simple en el rango de relaciones de aspecto, entre 1,695 y 1,73, para el que se desconoce la existencia de una incrustación suave.
7. Estas superficies tienen una clase de suavidad . Para un análisis más detallado de los supuestos de suavidad que obligan a que una incrustación sea desarrollable frente a los supuestos bajo los cuales el teorema de Nash-Kuiper permite incrustaciones arbitrariamente flexibles, véanse las observaciones de Bartels y Hornung (2015), pág. 116, a continuación del teorema 2.2. ^[39] ${\displaystyle C^{1}}$
8. Las tiras de Möbius también se han utilizado para analizar muchos otros cánones de Bach y otros, pero en la mayoría de estos casos se podrían haber utilizado igualmente otras superficies de bucle, como un cilindro. ^[116]

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Enlaces externos

• Medios relacionados con la cinta de Moebius en Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "La franja de Möbius". MundoMatemático .