En la teoría matemática de los nudos , el desanudado , no nudo , o nudo trivial , es el menos anudado de todos los nudos. Intuitivamente, el desanudado es un lazo cerrado de cuerda sin un nudo atado, sin anudar. Para un teórico de nudos, un desanudado es cualquier círculo topológico incrustado en las 3 esferas que es isotópico ambiental (es decir, deformable) con respecto a un círculo geométricamente redondo , el desanudado estándar .
El desanudado es el único nudo que es el límite de un disco incrustado , lo que da la caracterización de que solo los desanudos tienen género Seifert 0. De manera similar, el desanudado es el elemento de identidad con respecto a la operación de suma de nudos .
Decidir si un nudo en particular es el desanudado fue una fuerza impulsora importante detrás de los invariantes de nudos , ya que se pensó que este enfoque posiblemente proporcionaría un algoritmo eficiente para reconocer el desanudado a partir de alguna presentación como un diagrama de nudos . Se sabe que el reconocimiento sin nudos se produce tanto en NP como en co-NP .
Se sabe que la homología de Floer del nudo y la homología de Khovanov detectan el desanudado, pero no se sabe que sean computables de manera eficiente para este propósito. No se sabe si el polinomio de Jones o los invariantes de tipo finito pueden detectar el desanudado.
Puede ser difícil encontrar una manera de desenredar la cuerda, aunque el hecho de que comenzó desenredada demuestra que la tarea es posible. Thistlethwaite y Ochiai proporcionaron muchos ejemplos de diagramas de desanudos que no tienen una forma obvia de simplificarlos, lo que requiere aumentar temporalmente el número de cruces del diagrama .
Si bien la cuerda generalmente no tiene la forma de un bucle cerrado, a veces existe una forma canónica de imaginar los extremos unidos. Desde este punto de vista, muchos nudos prácticos y útiles son en realidad desanudados, incluidos aquellos que se pueden atar en una ensenada . [1]
Cada nudo domesticado se puede representar como un vínculo , que es una colección de segmentos de línea rígidos conectados por juntas universales en sus puntos finales. El número de barra es el número mínimo de segmentos necesarios para representar un nudo como un vínculo, y un nudo atascado es un vínculo particular sin anudar que no se puede reconfigurar en un polígono convexo plano. [2] Al igual que el número de cruce, es posible que sea necesario hacer un vínculo más complejo subdividiendo sus segmentos antes de poder simplificarlo.
El polinomio de Alexander-Conway y el polinomio de Jones del desanudado son triviales:
Ningún otro nudo con 10 cruces o menos tiene un polinomio trivial de Alexander, pero el nudo Kinoshita-Terasaka y el nudo Conway (ambos tienen 11 cruces) tienen los mismos polinomios de Alexander y Conway que el nudo sin nudo. Es un problema abierto si algún nudo no trivial tiene el mismo polinomio de Jones que el desanudado.
El desanudado es el único nudo cuyo grupo de nudos es un grupo cíclico infinito , y su complemento de nudo es homeomorfo a un toro sólido .
