Solenoide (matemáticas)

Clase de espacios topológicos conectados compactos.

Esta página analiza una clase de grupos topológicos. Para el bucle de cable envuelto, consulte Solenoide .

El solenoide de Smale-Williams.

En matemáticas , un solenoide es un espacio topológico conectado compacto (es decir, un continuo ) que puede obtenerse como el límite inverso de un sistema inverso de grupos topológicos y homomorfismos continuos .

${\displaystyle f_{i}:S_{i+1}\to S_{i}\quad \forall i\geq 0}$

donde cada uno es un círculo y f _i es el mapa que envuelve uniformemente el círculo por veces ( ) alrededor del círculo . ^{[1] : Cap. 2 Def. (10.12)} Esta construcción se puede realizar geométricamente en el espacio euclidiano tridimensional R ³ . Un solenoide es un continuo unidimensional homogéneo indescomponible que tiene la estructura de un grupo topológico compacto abeliano . ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i+1}}$ ${\displaystyle n_{i+1}}$ ${\displaystyle n_{i+1}\geq 2}$ ${\displaystyle S_{i}}$

Los solenoides fueron introducidos por primera vez por Vietoris para el caso, ^[2] y por van Dantzig para el caso, donde está arreglado. ^{[3] Tal solenoide surge como un} atractor en expansión unidimensional , o atractor de Smale-Williams , y forma un ejemplo importante en la teoría de los sistemas dinámicos hiperbólicos . ${\displaystyle n_{i}=2}$ ${\displaystyle n_{i}=n}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Construcción

Construcción geométrica y el atractor de Smale-Williams

Un toro sólido enrollado dos veces dentro de otro toro sólido en R ³

Los primeros seis pasos en la construcción del atractor de Smale-Williams.

Cada solenoide puede construirse como la intersección de un sistema anidado de toros sólidos incrustados en R ³ .

Fijar una secuencia de números naturales { n _i }, n _i ≥ 2. Sea T ₀ = S ¹ × D un toro sólido . Para cada i ≥ 0 , elija _un toro sólido Ti ₊₁ que esté envuelto longitudinalmente n _i veces dentro del toro sólido Ti _. Entonces su intersección

${\displaystyle \Lambda =\bigcap _{i\geq 0}T_{i}}$

es homeomorfo al solenoide construido como el límite inverso del sistema de círculos con los mapas determinados por la secuencia { n _i }.

Aquí hay una variante de esta construcción aislada por Stephen Smale como ejemplo de un atractor en expansión en la teoría de sistemas dinámicos suaves. Denote la coordenada angular en el círculo S ¹ por t (se define mod 2π) y considere la coordenada compleja z en el disco unitario bidimensional D . Sea f la función del toro sólido T = S ¹ × D en sí mismo dada por la fórmula explícita

${\displaystyle f(t,z)=\left(2t,{\tfrac {1}{4}}z+{\tfrac {1}{2}}e^{it}\right).}$

Este mapa es una incrustación suave de T en sí mismo que preserva la foliación por discos meridionales (las constantes 1/2 y 1/4 son algo arbitrarias, pero es esencial que 1/4 < 1/2 y 1/4 + 1/ 2 < 1). Si imaginamos a T como un tubo de goma, el mapa f lo estira en dirección longitudinal, contrae cada disco meridional y envuelve el tubo deformado dos veces dentro de T con torsión, pero sin autointersecciones. El conjunto hiperbólico Λ del sistema dinámico discreto ( T , f ) es la intersección de la secuencia de toros sólidos anidados descrita anteriormente, donde Ti es la imagen de T _bajo la i- ésima iteración del mapa f . Este conjunto es un atractor unidimensional (en el sentido de dimensión topológica ) , y la dinámica de f en Λ tiene las siguientes propiedades interesantes:

• Los discos meridionales son las variedades estables , cada una de las cuales intersecta a Λ sobre un conjunto de Cantor.
• los puntos periódicos de f son densos en Λ
• el mapa f es topológicamente transitivo en Λ

La teoría general de los solenoides y los atractores en expansión, no necesariamente unidimensionales, fue desarrollada por RF Williams e involucra un sistema proyectivo de infinitas copias de una variedad ramificada compacta en lugar del círculo, junto con una autoinmersión en expansión .

Construcción en coordenadas toroidales.

En las coordenadas toroidales con radio , el solenoide se puede parametrizar como ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}}$$

${\displaystyle \omega _{k}={\frac {1}{n_{1}\cdots n_{k}}},\quad r_{k}=R\delta _{1}\cdots \delta _{k}}$

Aquí hay parámetros de forma ajustables, con restricción . En particular, funciona. ${\displaystyle \delta _{k}}$ ${\displaystyle 0<\delta <1-{\frac {1}{1+\sin {\frac {\pi }{n_{k}}}}}}$ ${\displaystyle \delta ={\frac {1}{2n_{k}}}}$

Sea el solenoide construido de esta manera, entonces la topología del solenoide es solo la topología de subconjunto inducida por la topología euclidiana en . ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Dado que la parametrización es biyectiva, podemos retirar la topología a , que se convierte en el solenoide. Esto nos permite construir explícitamente los mapas de límites inversos: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle g_{k}:\mathbb {R} \to S_{k},\quad g_{k}(t)=(r,\theta ,\zeta ){\text{ in toroidal coordinates, where }}\zeta =2\pi t,\quad re^{i\theta }=\sum _{k=1}^{k}r_{k}e^{2\pi i\omega _{k}t}}$$

Construcción por dinámica simbólica

Visto como un conjunto, el solenoide es simplemente un continuo de círculos de Cantor, conectados entre sí de una manera particular. Esto nos sugiere la construcción mediante dinámica simbólica , donde comenzamos con un círculo como una "pista de carreras" y agregamos un "odómetro" para realizar un seguimiento de en qué círculo estamos.

Defina como el solenoide. A continuación, defina la suma en el odómetro , de la misma manera que los números p-ádicos. A continuación, defina la suma en el solenoide mediante ${\displaystyle S=S^{1}\times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}\to \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$ ${\displaystyle +:\mathbb {R} \times S\to S}$

$${\displaystyle r+(\theta ,n)=((r+\theta \mod 1),\lfloor r+\theta \rfloor +n)}$$

${\displaystyle S'\times Z'_{(m_{1},...,m_{k})}}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle Z'_{(m_{1},...,m_{k})}}$ ${\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\mathbb {Z} _{n_{k}}}$ ${\displaystyle (m_{1},...,m_{k})}$

Propiedades patológicas

Los solenoides son espacios metrizables compactos que están conectados , pero no conectados localmente ni conectados en ruta . Esto se refleja en su comportamiento patológico con respecto a diversas teorías de homología , en contraste con las propiedades estándar de la homología para complejos simpliciales . En la homología de Čech , se puede construir una secuencia de homología larga no exacta utilizando un solenoide. En las teorías de homología al estilo de Steenrod , ^[4] el grupo de homología 0 de un solenoide puede tener una estructura bastante complicada, aunque un solenoide sea un espacio conectado.

Ver también

• Protorus , una clase de grupos topológicos que incluye los solenoides
• Dualidad de Pontryagin
• Límite inverso
• número p-ádico
• Entero finito

Referencias

1. Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979). Resumen Análisis Armónico I: Estructura de Grupos Topológicos Teoría de Integración Representaciones de Grupos . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 115. Berlín-Nueva York: Springer. doi :10.1007/978-1-4419-8638-2. ISBN 978-0-387-94190-5.
2. Vietoris, L. (diciembre de 1927). "Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen". Annalen Matemáticas . 97 (1): 454–472. doi :10.1007/bf01447877. ISSN  0025-5831. S2CID  121172198.
3. van Dantzig, D. (1930). "Ueber topologisch homogene Kontinua". Fundamentos Mathematicae . 15 : 102-125. doi : 10.4064/fm-15-1-102-125 . ISSN  0016-2736.
4. "Homología de Steenrod-Sitnikov - Enciclopedia de Matemáticas".

• D. van Dantzig, Ueber topologisch homogene Kontinua , Fondo. Matemáticas. 15 (1930), págs. 102-125
• "Solenoide", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Clark Robinson, Sistemas dinámicos: estabilidad, dinámica simbólica y caos , segunda edición, CRC Press, 1998 ISBN 978-0-8493-8495-0 
• S. Smale, Sistemas dinámicos diferenciables, Bull. de la AMS , 73 (1967), 747 – 817.
• L. Vietoris, Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen , Math. Ana. 97 (1927), págs. 454–472
• Robert F. Williams, Atractores en expansión, Publ. Matemáticas. IHÉS, t. 43 (1974), pág. 169–203

Otras lecturas

• Semmes, Stephen (12 de enero de 2012), Algunas observaciones sobre solenoides , arXiv : 1201.2647 , Bibcode :2012arXiv1201.2647S