Haz de fibras

Sobreyección continua que satisface una condición de trivialidad local

Un cepillo cilíndrico para el cabello que muestra la intuición detrás del término haz de fibras . Este cepillo para el cabello es como un haz de fibras en el que el espacio de base es un cilindro y las fibras ( cerdas ) son segmentos de línea. El mapeo tomaría un punto en cualquier cerda y lo mapearía a su raíz en el cilindro. ${\displaystyle \pi :E\to B}$

En matemáticas , y particularmente en topología , un fibrado ( en inglés : fibre bundle ) es un espacio que localmente es un espacio producto , pero que globalmente puede tener una estructura topológica diferente . En concreto, la similitud entre un espacio y un espacio producto se define utilizando una función sobreyectiva continua , que en pequeñas regiones de se comporta igual que una proyección desde regiones correspondientes de a La función, llamada proyección o inmersión del fibrado, se considera parte de la estructura del fibrado. El espacio se conoce como el espacio total del fibrado, como el espacio base , y la fibra . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\times F}$ ${\displaystyle \pi :E\to B,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\times F}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$

En el caso trivial , es simplemente y la función es simplemente la proyección desde el espacio del producto al primer factor. Esto se llama fibrado trivial . Ejemplos de fibrados no triviales incluyen la banda de Möbius y la botella de Klein , así como espacios de recubrimiento no triviales . Los fibrados, como el fibrado tangente de una variedad y otros fibrados vectoriales más generales , desempeñan un papel importante en la geometría diferencial y la topología diferencial , al igual que los fibrados principales . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B\times F,}$ ${\displaystyle \pi }$

Las asignaciones entre espacios totales de haces de fibras que "conmutan" con las asignaciones de proyección se conocen como asignaciones de haces , y la clase de haces de fibras forma una categoría con respecto a dichas asignaciones. Una asignación de haces desde el propio espacio base (con la asignación de identidad como proyección) a se denomina sección de Los haces de fibras se pueden especializar de varias maneras, la más común de las cuales es requerir que las asignaciones de transición entre los parches triviales locales se encuentren en un cierto grupo topológico , conocido como grupo de estructura , que actúa sobre la fibra . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle F}$

Historia

En topología , los términos fibra (en alemán: Faser ) y espacio de fibras ( gefaserter Raum ) aparecieron por primera vez en un artículo de Herbert Seifert en 1933, ^{[1] [2] [3]} pero sus definiciones se limitan a un caso muy especial. Sin embargo, la principal diferencia con la concepción actual de un espacio de fibras era que para Seifert lo que ahora se llama el espacio base (espacio topológico) de un espacio de fibras (topológico) E no era parte de la estructura, sino que se derivaba de ella como un espacio cociente de E. La primera definición de espacio de fibras fue dada por Hassler Whitney en 1935 ^[4] bajo el nombre de espacio de esferas , pero en 1940 Whitney cambió el nombre a fibrado de esferas . ^[5]

La teoría de espacios fibrados, de los cuales los fibrados vectoriales , los fibrados principales , las fibraciones topológicas y las variedades fibradas son un caso especial, se atribuye a Herbert Seifert , Heinz Hopf , Jacques Feldbau , ^[6] Whitney, Norman Steenrod , Charles Ehresmann , ^{[7] [8] [9]} Jean-Pierre Serre , ^[10] y otros.

Los haces de fibras se convirtieron en objeto de estudio propio en el período 1935-1940. La primera definición general apareció en los trabajos de Whitney. ^[11]

Whitney llegó a la definición general de un haz de fibras a partir de su estudio de una noción más particular de un haz de esferas , ^[12] es decir, un haz de fibras cuya fibra es una esfera de dimensión arbitraria . ^[13]

Definición formal

Un fibrado es una estructura donde y son espacios topológicos y es una sobreyección continua que satisface una condición de trivialidad local que se describe a continuación. El espacio se denomina ${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F),}$ ${\displaystyle E,B,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle B}$espacio base del haz,el ${\displaystyle E}$espacio total , yel ${\displaystyle F}$fibra . El mapase llama ${\displaystyle \pi }$mapa de proyección (oproyección de paquete ). Supondremos en lo que sigue que el espacio baseesconexo. ${\displaystyle B}$

Requerimos que para cada , exista un entorno abierto de (que se llamará entorno trivializante) tal que exista un homeomorfismo (donde se da la topología del subespacio , y es el espacio producto) de tal manera que concuerde con la proyección sobre el primer factor. Es decir, el siguiente diagrama debe conmutar : ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle U\subseteq B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U\times F}$ ${\displaystyle \pi }$

Condición de trivialidad local

donde es la proyección natural y es un homeomorfismo. El conjunto de todos se llama ${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U}$ ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$ ${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}}$trivialización local del paquete.

Por lo tanto, para cualquier , la preimagen es homeomorfa a (ya que esto es cierto para ) y se llama fibra sobre Todo fibrado es una función abierta , ya que las proyecciones de productos son funciones abiertas. Por lo tanto, lleva la topología cociente determinada por la función ${\displaystyle p\in B}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{p\})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi .}$

Un haz de fibras a menudo se denota ${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$

que, en analogía con una secuencia corta y exacta , indica cuál espacio es la fibra, el espacio total y el espacio base, así como la función del espacio total al espacio base.

AUn haz de fibras liso es un haz de fibras de lacategoríadevariedades lisas. Es decir,ydeben ser variedades lisas y todas lasfuncionesanteriores deben sermapas lisos. ${\displaystyle E,B,}$ ${\displaystyle F}$

Ejemplos

Paquete trivial

Sea y sea la proyección sobre el primer factor. Entonces es un haz de fibras (de ) sobre Aquí no es solo un producto local sino global . Cualquier haz de fibras de este tipo se llama ${\displaystyle E=B\times F}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle E}$Fibra trivial . Cualquier fibra sobre uncomplejo CWcontráctil es trivial.

Paquetes no triviales

Banda de Möbius

La banda de Möbius es un conjunto no trivial sobre el círculo.

Tal vez el ejemplo más simple de un fibrado no trivial es la banda de Möbius . Tiene el círculo que corre longitudinalmente a lo largo del centro de la banda como base y un segmento de línea para la fibra , por lo que la banda de Möbius es un fibrado del segmento de línea sobre el círculo. Un entorno de (donde ) es un arco ; en la imagen, esta es la longitud de uno de los cuadrados. La preimagen en la imagen es una porción (algo retorcida) de la banda de cuatro cuadrados de ancho y uno de largo (es decir, todos los puntos que se proyectan a ). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi (x)\in B}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$

Existe un homeomorfismo ( en § Definición formal) que asigna la preimagen de (el vecindario trivializador) a una porción de un cilindro: curvada, pero no torcida. Este par trivializa localmente la tira. El fibrado trivial correspondiente sería un cilindro , pero la banda de Möbius tiene una "torsión" general. Esta torsión es visible solo globalmente; localmente, la banda de Möbius y el cilindro son idénticos (hacer un solo corte vertical en cualquiera de ellos da el mismo espacio). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B\times F}$

Botella Klein

Un fibrado no trivial similar es la botella de Klein , que puede verse como un fibrado circular "retorcido" sobre otro círculo. El fibrado no retorcido (trivial) correspondiente es el toro de 2 , . ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

Mapa de cobertura

Un espacio de recubrimiento es un fibrado tal que la proyección del fibrado es un homeomorfismo local . De ello se deduce que la fibra es un espacio discreto .

Fibrados vectoriales y principales

Una clase especial de fibrados, llamados fibrados vectoriales , son aquellos cuyas fibras son espacios vectoriales (para calificar como fibrado vectorial, el grupo de estructura del fibrado —ver más abajo— debe ser un grupo lineal ). Ejemplos importantes de fibrados vectoriales incluyen el fibrado tangente y el fibrado cotangente de una variedad lisa. A partir de cualquier fibrado vectorial, se puede construir el fibrado de marco de bases , que es un fibrado principal (ver más abajo).

Otra clase especial de fibrados, llamados fibrados principales , son los fibrados sobre cuyas fibras se da una acción libre y transitiva por parte de un grupo , de modo que cada fibra es un espacio homogéneo principal . El fibrado se especifica a menudo junto con el grupo haciendo referencia a él como fibrado principal. El grupo es también el grupo de estructura del fibrado. Dada una representación de en un espacio vectorial , se puede construir un fibrado vectorial con como grupo de estructura, conocido como fibrado asociado . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho (G)\subseteq {\text{Aut}}(V)}$

Haces de esferas

Un fibrado esférico es un fibrado de fibras cuya fibra es una n -esfera . Dado un fibrado vectorial con una métrica (como el fibrado tangente a una variedad de Riemann ) se puede construir el fibrado esférico unitario asociado , para el cual la fibra sobre un punto es el conjunto de todos los vectores unitarios en . Cuando el fibrado vectorial en cuestión es el fibrado tangente , el fibrado esférico unitario se conoce como fibrado tangente unitario . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle TM}$

Un fibrado esférico se caracteriza parcialmente por su clase de Euler , que es una clase de cohomología de grado en el espacio total del fibrado. En este caso, el fibrado esférico se denomina fibrado circular y la clase de Euler es igual a la primera clase de Chern , que caracteriza la topología del fibrado por completo. Para cualquier , dada la clase de Euler de un fibrado, se puede calcular su cohomología utilizando una secuencia exacta larga llamada secuencia de Gysin . ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n}$

Mapeo de toros

Si es un espacio topológico y es un homeomorfismo , entonces el toro de mapeo tiene una estructura natural de un haz de fibras sobre el círculo con fibras . Los toros de mapeo de homeomorfismos de superficies son de particular importancia en la topología de 3 variedades . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle X.}$

Espacios cocientes

Si es un grupo topológico y es un subgrupo cerrado , entonces, bajo ciertas circunstancias, el espacio cociente junto con la función cociente es un fibrado, cuya fibra es el espacio topológico . Una condición necesaria y suficiente para que ( ) forme un fibrado es que la función admita secciones transversales locales (Steenrod 1951, §7). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle \pi :G\to G/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G,\,G/H,\,\pi ,\,H}$ ${\displaystyle \pi }$

Las condiciones más generales bajo las cuales la función cociente admitirá secciones eficaces locales no se conocen, aunque si es un grupo de Lie y un subgrupo cerrado (y por lo tanto un subgrupo de Lie por el teorema de Cartan ), entonces la función cociente es un fibrado. Un ejemplo de esto es la fibración de Hopf , , que es un fibrado sobre la esfera cuyo espacio total es . Desde la perspectiva de los grupos de Lie, se puede identificar con el grupo unitario especial . El subgrupo abeliano de matrices diagonales es isomorfo al grupo del círculo , y el cociente es difeomorfo a la esfera. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle SU(2)/U(1)}$

De manera más general, si es cualquier grupo topológico y un subgrupo cerrado que también es un grupo de Lie, entonces es un haz de fibras. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\to G/H}$

Secciones

ALa sección (osección transversal) de un haz de fibrases una función continuatal quepara todoxenB. Dado que los haces en general no tienen secciones definidas globalmente, uno de los propósitos de la teoría es dar cuenta de su existencia. Laobstruccióna la existencia de una sección a menudo se puede medir mediante una clase de cohomología, lo que conduce a la teoría declases característicasentopología algebraica. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle f:B\to E}$ ${\displaystyle \pi (f(x))=x}$

El ejemplo más conocido es el teorema de la bola peluda , donde la clase de Euler es la obstrucción al fibrado tangente de la 2-esfera que tiene una sección que no se desvanece en ninguna parte.

A menudo, uno quisiera definir secciones solo localmente (especialmente cuando no existen secciones globales). Una sección local de un haz de fibras es una función continua donde U es un conjunto abierto en B y para todo x en U . Si es una tabla de trivialización local , entonces siempre existen secciones locales sobre U . Dichas secciones están en correspondencia 1-1 con funciones continuas . Las secciones forman un haz . ${\displaystyle f:U\to E}$ ${\displaystyle \pi (f(x))=x}$ ${\displaystyle (U,\,\varphi )}$ ${\displaystyle U\to F}$

Grupos de estructura y funciones de transición

Los fibrados suelen venir con un grupo de simetrías que describen las condiciones de coincidencia entre los gráficos de trivialización locales superpuestos. Específicamente, sea G un grupo topológico que actúa continuamente sobre el espacio de fibras F a la izquierda. No perdemos nada si requerimos que G actúe fielmente sobre F de modo que pueda considerarse como un grupo de homeomorfismos de F . Un G - atlas para el fibrado es un conjunto de gráficos de trivialización locales tales que para cualquier para los gráficos superpuestos y la función está dada por donde es una función continua llamada ${\displaystyle (E,B,\pi ,F)}$ ${\displaystyle \{(U_{k},\,\varphi _{k})\}}$ ${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$ ${\displaystyle (U_{i},\,\varphi _{i})}$ ${\displaystyle (U_{j},\,\varphi _{j})}$ $${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F}$$ $${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)}$$ ${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G}$Función de transición . DosG-atlas son equivalentes si su unión es también unG-atlas. Unhaz G es un haz de fibras con una clase de equivalencia deG-atlas. El grupoGse denominagrupo estructural del haz; el término análogo enfísicaesgrupo de calibración.

En la categoría suave, un haz G es un haz de fibras suave donde G es un grupo de Lie y la acción correspondiente sobre F es suave y las funciones de transición son todas aplicaciones suaves.

Las funciones de transición satisfacen las siguientes condiciones ${\displaystyle t_{ij}}$

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1\,}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,}$

La tercera condición se aplica a superposiciones triples U _i ∩ U _j ∩ U _k y se denomina condición de cociclo (véase cohomología de Čech ). La importancia de esto es que las funciones de transición determinan el haz de fibras (si se supone la condición de cociclo de Čech).

Un fibrado principal G es un fibrado G en el que la fibra F es un espacio homogéneo principal para la acción izquierda de la propia G (equivalentemente, se puede especificar que la acción de G sobre la fibra F es libre y transitiva, es decir, regular ). En este caso, suele ser una cuestión de conveniencia identificar F con G y así obtener una acción (derecha) de G sobre el fibrado principal.

Mapas en paquete

Es útil tener nociones de una aplicación entre dos haces de fibras. Supongamos que M y N son espacios base, y y son haces de fibras sobre M y N , respectivamente. ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}:F\to N}$mapa del paquete oEl morfismo de haz consiste en un par defunciones^[14]tales que Es decir, el siguiente diagrama esconmutativo: $${\displaystyle \varphi :E\to F,\quad f:M\to N}$$ ${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}.}$

Para los haces de fibras con grupo estructural G y cuyos espacios totales son (derecha) G -espacios (como un fibrado principal), también se requiere que los morfismos de fibrado sean G - equivariantes en las fibras. Esto significa que también hay G -morfismo de un G -espacio a otro, es decir, para todos y ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle \varphi (xs)=\varphi (x)s}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle s\in G.}$

En caso de que los espacios base M y N coincidan, entonces un morfismo de fibrado sobre M desde el fibrado hasta es una función tal que Esto significa que la función de fibrado cubre la identidad de M . Es decir, y el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$ ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle \pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi .}$ ${\displaystyle \varphi :E\to F}$ ${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$

Supóngase que tanto y están definidos sobre el mismo espacio base M . Un isomorfismo de fibrado es una función de fibrado entre y tal que y tal que también es un homeomorfismo. ^[15] ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$ ${\displaystyle (\varphi ,\,f)}$ ${\displaystyle \pi _{E}:E\to M}$ ${\displaystyle \pi _{F}:F\to M}$ ${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Haces de fibras diferenciables

En la categoría de variedades diferenciables , los fibrados surgen naturalmente como inmersiones de una variedad en otra. No toda inmersión (diferenciable) de una variedad diferenciable M en otra variedad diferenciable N da lugar a un fibrado diferenciable. Por un lado, la función debe ser sobreyectiva, y se denomina variedad fibrada . Sin embargo, esta condición necesaria no es del todo suficiente, y hay una variedad de condiciones suficientes de uso común. ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle (M,N,f)}$

Si M y N son compactos y conexos , entonces cualquier inmersión da lugar a un fibrado en el sentido de que hay un espacio de fibras F difeomorfo a cada una de las fibras tal que es un fibrado. (La sobreyectividad de se deduce de las suposiciones ya dadas en este caso). De manera más general, la suposición de compacidad se puede relajar si se supone que la inmersión es una función propia sobreyectiva , lo que significa que es compacta para cada subconjunto compacto K de N. Otra condición suficiente, debida a Ehresmann (1951), es que si es una inmersión sobreyectiva con M y N variedades diferenciables tales que la preimagen es compacta y conexa para todos entonces admite una estructura de fibrado compatible (Michor 2008, §17). ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle (E,B,\pi ,F)=(M,N,f,F)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f^{-1}(K)}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f^{-1}\{x\}}$ ${\displaystyle x\in N,}$ ${\displaystyle f}$

Generalizaciones

• La noción de haz se aplica a muchas más categorías en matemáticas, a expensas de modificar apropiadamente la condición de trivialidad local; cf. espacio homogéneo principal y torsor (geometría algebraica) .
• En topología, una fibración es una aplicación que tiene ciertas propiedades homotópicas en común con los haces de fibras. En concreto, bajo supuestos técnicos moderados, un haz de fibras siempre tiene la propiedad de elevación de homotopía o la propiedad de cobertura de homotopía (véase Steenrod (1951, 11.7) para más detalles). Esta es la propiedad definitoria de una fibración. ${\displaystyle \pi :E\to B}$
• Una sección de un haz de fibras es una "función cuyo rango de salida depende continuamente de la entrada". Esta propiedad se refleja formalmente en la noción de tipo dependiente .

Véase también

• Paquete afín
• Paquete de álgebra
• Clase característica
• Mapa de cobertura
• Paquete equivariante
• Colector de fibra
• Fibración
• Teoría de calibre
• Paquete de Hopf
• Paquete I
• Paquete natural
• Paquete principal
• Haz proyectivo
• Paquete de retroceso
• Cuasifibración
• Paquete universal
• Paquete de vectores
• Diccionario Wu-Yang

Notas

1. Seifert, Herbert (1933). "Topología dreidimensionaler gefaserter Räume". Acta Matemática . 60 : 147–238. doi : 10.1007/bf02398271 .
2. "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" en el Proyecto Euclid .
3. Seifert, H. (1980). Seifert y Threlfall, Un libro de texto de topología. W. Threlfall, Joan S. Birman, Julian Eisner. Nueva York: Academic Press. ISBN 0-12-634850-2.OCLC 5831391  .
4. Whitney, Hassler (1935). "Espacios esféricos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 21 (7): 464–468. Bibcode :1935PNAS...21..464W. doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC 1076627 . PMID  16588001. 
5. Whitney, Hassler (1940). "Sobre la teoría de los haces esféricos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 26 (2): 148–153. Bibcode :1940PNAS...26..148W. doi : 10.1073/pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID  16588328. 
6. Feldbau, Jacques (1939). "Sobre la clasificación de espacios de fibras". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 208 : 1621-1623.
7. Ehresmann, Charles (1947). "Sur la théorie des espaces fibrés". Col. Arriba. Álg. París . CNRS: 3-15.
8. Ehresmann, Charles (1947). "Sur les espaces fibrés différentiables". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 224 : 1611-1612.
9. Ehresmann, Charles (1955). "Les prolongements d'un espace fibré différentiable". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 240 : 1755-1757.
10. Serre, Jean-Pierre (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Aplicaciones". Anales de Matemáticas . 54 (3): 425–505. doi :10.2307/1969485. JSTOR  1969485.
11. Véase Steenrod (1951, prefacio)
12. En sus primeros trabajos, Whitney se refirió a los haces de esferas como "espacios de esferas". Véase, por ejemplo:
    • Whitney, Hassler (1935). "Espacios esféricos". Proc. Natl. Sci . 21 (7): 462–468. Bibcode :1935PNAS...21..464W. doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC  1076627 . PMID  16588001.
    • Whitney, Hassler (1937). "Propiedades topológicas de variedades diferenciables" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 43 (12): 785–805. doi : 10.1090/s0002-9904-1937-06642-0 .
13. Whitney, Hassler (1940). "Sobre la teoría de los haces esféricos" (PDF) . Proc. Natl. Sci . 26 (2): 148–153. Bibcode :1940PNAS...26..148W. doi : 10.1073/pnas.26.2.148 . PMC 1078023 . PMID  16588328. 
14. Dependiendo de la categoría de espacios involucrados, se puede suponer que las funciones tienen propiedades distintas a la continuidad. Por ejemplo, en la categoría de variedades diferenciables, se supone que las funciones son suaves. En la categoría de variedades algebraicas, son morfismos regulares.
15. O es, al menos, invertible en la categoría apropiada; por ejemplo, un difeomorfismo.

Referencias

• Steenrod, Norman (1951), La topología de los haces de fibras , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
• Steenrod, Norman (5 de abril de 1999). Topología de haces de fibras . Princeton Mathematical Series. Vol. 14. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5.OCLC 40734875  .
• Bleecker, David (1981), Teoría de calibre y principios variacionales , Reading, Mass: Addison-Wesley publishing, ISBN 978-0-201-10096-9
• Ehresmann, Charles (1951). "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable". Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Bruselas, 1950 . París: Georges Thone, Lieja; Masson et Cie. págs. 29–55.
• Husemoller, Dale (1994), Haces de fibras , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
• Michor, Peter W. (2008), Temas de geometría diferencial , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 93, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2003-2
• Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Espacio de fibra", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Enlaces externos

• Paquete de fibra, PlanetMath
• Rowland, Todd. "Haz de fibras". MathWorld .
• La creación de la simbólica escultura 'Eternidad' de John Robinson
• Sardanashvily, Gennadi , Fibras, variedades de chorro y teoría de Lagrange. Lecciones para teóricos, arXiv :0908.1886