Paquete circular

Haz de fibras principal

En matemáticas , un haz circular es un haz de fibras donde la fibra es el círculo . ${\displaystyle S^{1}}$

Los fibrados circulares orientados también se conocen como fibrados U (1) principales o, equivalentemente, como fibrados SO (2) principales. En física , los fibrados circulares son el marco geométrico natural del electromagnetismo . Un fibrado circular es un caso especial de fibrado esférico .

Como 3-variedades

Los fibrados circulares sobre superficies son un ejemplo importante de 3-variedades . Una clase más general de 3-variedades son los espacios de fibras de Seifert , que pueden considerarse como una especie de fibrado circular "singular" o como una fibrado circular sobre un orbifold bidimensional .

Relación con la electrodinámica

Las ecuaciones de Maxwell corresponden a un campo electromagnético representado por una 2-forma F , siendo cohomóloga a cero, es decir exacta . En particular, siempre existe una 1-forma A , la tetrapotencial electromagnética , (equivalentemente, la conexión afín ) tal que ${\displaystyle \pi ^{\!*}F}$

${\displaystyle \pi ^{*}F=dA.}$

Dado un fibrado circular P sobre M y su proyección

${\displaystyle \pi :P\to M}$

uno tiene el homomorfismo

${\displaystyle \pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )}$

donde es el pullback . Cada homomorfismo corresponde a un monopolo de Dirac ; los grupos de cohomología entera corresponden a la cuantificación de la carga eléctrica . El efecto Aharonov-Bohm puede entenderse como la holonomía de la conexión en el fibrado de líneas asociado que describe la función de onda del electrón. En esencia, el efecto Aharonov-Bohm no es un efecto mecánico cuántico (contrariamente a la creencia popular), ya que no hay cuantificación involucrada o requerida en la construcción de los fibrados o conexiones. ${\displaystyle \pi ^{*}}$

Ejemplos

• La fibración de Hopf es un ejemplo de un haz circular no trivial.
• El fibrado tangente unitario de una superficie es otro ejemplo de fibrado circular.
• El fibrado tangente unitario de una superficie no orientable es un fibrado circular que no es un fibrado principal. Sólo las superficies orientables tienen fibrados tangentes unitarios principales. ${\displaystyle U(1)}$
• Otro método para construir fibrados circulares es utilizar un fibrado lineal complejo y tomar el fibrado esférico (círculo en este caso) asociado. Dado que este fibrado tiene una orientación inducida por tenemos que es un fibrado principal. ^[1] Además, las clases características de la teoría de Chern-Weil del fibrado coinciden con las clases características de . ${\displaystyle L\to X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle L}$
• Por ejemplo, considere la analitificación de una curva plana compleja . Como y las clases características se retraen de manera no trivial, tenemos que el fibrado lineal asociado al haz tiene clase de Chern . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)}$ ${\displaystyle H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}=a\in H^{2}(X)}$

Clasificación

Las clases de isomorfismo de los fibrados principales sobre una variedad M están en correspondencia biunívoca con las clases de homotopía de las funciones , donde se denomina espacio de clasificación para U(1) . Nótese que es el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita , y que es un ejemplo del espacio de Eilenberg-Maclane Dichos fibrados se clasifican por un elemento del segundo grupo de cohomología integral de M , ya que ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle M\to BU(1)}$ ${\displaystyle BU(1)}$ ${\displaystyle BU(1)=\mathbb {C} P^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2).}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)}$.

Este isomorfismo se realiza mediante la clase de Euler ; equivalentemente, es la primera clase de Chern de un fibrado lineal complejo suave (esencialmente porque un círculo es homotópicamente equivalente a , el plano complejo con el origen eliminado; y por lo tanto un fibrado lineal complejo con la sección cero eliminada es homotópicamente equivalente a un fibrado circular). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Un fibrado circular es un fibrado principal si y solo si el mapeo asociado es nulo-homotópico, lo cual es cierto si y solo si el fibrado es orientable a lo largo de las fibras. Por lo tanto, para el caso más general, donde el fibrado circular sobre M podría no ser orientable, las clases de isomorfismo están en correspondencia biunívoca con las clases de homotopía de los mapeos . Esto se deduce de la extensión de los grupos, , donde . ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle M\to B\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle M\to BO_{2}}$ ${\displaystyle SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle SO_{2}\equiv U(1)}$

Complejos de Deligne

La clasificación anterior sólo se aplica a los fibrados circulares en general; la clasificación correspondiente para fibrados circulares lisos, o, por ejemplo, los fibrados circulares con una conexión afín, requiere una teoría de cohomología más compleja. Los resultados incluyen que los fibrados circulares lisos se clasifican por la segunda cohomología de Deligne ; los fibrados circulares con una conexión afín se clasifican por mientras que clasifica fibrados lineales gerbes . ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))}$ ${\displaystyle H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )}$

Véase también

• Secuencia de Wang

Referencias

1. "¿Todo fibrado circular orientable es principal? - MathOverflow".

• Chern, Shiing-shen (1977), "Circle bundles", Lecture Notes in Mathematics , vol. 597/1977, Springer Berlin/Heidelberg, págs. 114–131, doi :10.1007/BFb0085351, ISBN 978-3-540-08345-0.