Paquete afín

Tipo de haz de fibras

En matemáticas, un fibrado afín es un fibrado cuya fibra típica, fibras, morfismos de trivialización y funciones de transición son afines. ^[1]

Definición formal

Sea un fibrado vectorial con una fibra típica un espacio vectorial . Un fibrado afín modelado sobre un fibrado vectorial es un fibrado cuya fibra típica es un espacio afín modelado sobre tal que se cumplan las siguientes condiciones: ${\displaystyle {\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle {\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X}$ ${\displaystyle \pi :Y\to X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$

(i) Cada fibra de es un espacio afín modelado sobre las fibras correspondientes de un fibrado vectorial . ${\displaystyle Y_{x}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}_{x}}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}}$

(ii) Existe un atlas de fibrados afines cuyos morfismos de trivializaciones locales y funciones de transición son isomorfismos afines . ${\displaystyle Y\to X}$

Al tratar con haces afines, se utilizan únicamente coordenadas de haces afines que poseen funciones de transición afines. ${\displaystyle (x^{\mu },y^{i})}$

${\displaystyle y'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu })y^{j}+b^{i}(x^{\nu }).}$

Existen los morfismos de haz

${\displaystyle Y\times _{X}{\overline {Y}}\longrightarrow Y,\qquad (y^{i},{\overline {y}}^{i})\longmapsto y^{i}+{\overline {y}}^{i},}$

${\displaystyle Y\times _{X}Y\longrightarrow {\overline {Y}},\qquad (y^{i},y'^{i})\longmapsto y^{i}-y'^{i},}$

donde son las coordenadas del fibrado lineal en un fibrado vectorial , que posee funciones de transición lineal . ${\displaystyle ({\overline {y}}^{i})}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}}$ ${\displaystyle {\overline {y}}'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu }){\overline {y}}^{j}}$

Propiedades

Un fibrado afín tiene una sección global , pero a diferencia de los fibrados vectoriales, no existe una sección global canónica de un fibrado afín. Sea un fibrado afín modelado sobre un fibrado vectorial . Cada sección global de un fibrado afín produce los morfismos del fibrado ${\displaystyle \pi :Y\to X}$ ${\displaystyle {\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle Y\to X}$

${\displaystyle Y\ni y\to y-s(\pi (y))\in {\overline {Y}},\qquad {\overline {Y}}\ni {\overline {y}}\to s(\pi (y))+{\overline {y}}\in Y.}$

En particular, cada fibrado vectorial tiene una estructura natural de fibrado afín debido a estos morfismos donde es la sección canónica de valor cero de . Por ejemplo, el fibrado tangente de una variedad es naturalmente un fibrado afín. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle X}$

Un fibrado afín es un fibrado con un grupo de estructura afín general de transformaciones afines de su fibra típica de dimensión . Este grupo de estructura siempre es reducible a un grupo lineal general , es decir, un fibrado afín admite un atlas con funciones de transición lineales. ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle GA(m,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle GL(m,\mathbb {R} )}$

Por morfismo de fibrados afines se entiende un morfismo de fibrado cuya restricción a cada fibra de es una función afín. Todo morfismo de fibrado afín de un fibrado afín modelado sobre un fibrado vectorial a un fibrado afín modelado sobre un fibrado vectorial produce un único morfismo de fibrado lineal. ${\displaystyle \Phi :Y\to Y'}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Phi :Y\to Y'}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}'}$

${\displaystyle {\overline {\Phi }}:{\overline {Y}}\to {\overline {Y}}',\qquad {\overline {y}}'^{i}={\frac {\partial \Phi ^{i}}{\partial y^{j}}}{\overline {y}}^{j},}$

llamada derivada lineal de . ${\displaystyle \Phi }$

Véase también

• Haz de fibras
• Colector de fibra
• Paquete de vectores
• Espacio afín

Notas

1. Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) el 2017-03-30 , consultado el 2013-05-28. (pagina 60)

Referencias

• S. Kobayashi, K. Nomizu, Fundamentos de geometría diferencial , vols. 1 y 2, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-15733-3 . 
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) el 2017-03-30 , consultado el 2013-05-28
• Sardanashvily, G. , Geometría diferencial avanzada para teóricos. Haces de fibras, variedades de chorro y teoría de Lagrange , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv :0908.1886. 
• Saunders, DJ (1989), La geometría de los haces jet , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7