En geometría diferencial , una G -estructura en una variedad n M , para un grupo de estructura dado [1] G , es un G - subfibrado principal del fibrado tangente F M (o GL( M ) ) de M.
La noción de G -estructuras incluye varias estructuras clásicas que pueden definirse en variedades, que en algunos casos son cuerpos tensoriales . Por ejemplo, para el grupo ortogonal , una O( n )-estructura define una métrica de Riemann , y para el grupo lineal especial una SL( n , R )-estructura es lo mismo que una forma de volumen . Para el grupo trivial , una { e }-estructura consiste en un paralelismo absoluto de la variedad.
Si generalizamos esta idea a fibrados principales arbitrarios en espacios topológicos, podemos preguntarnos si un fibrado principal sobre un grupo "viene de" un subgrupo de . Esto se llama reducción del grupo de estructura (a ).
Varias estructuras en variedades, como una estructura compleja , una estructura simpléctica o una estructura de Kähler , son G -estructuras con una condición de integrabilidad adicional .
Se puede preguntar si un fibrado principal sobre un grupo "viene de" un subgrupo de . Esto se llama reducción del grupo de estructura (a ), y tiene sentido para cualquier función , que no necesariamente debe ser una función de inclusión (a pesar de la terminología).
En lo siguiente, sea un espacio topológico , grupos topológicos y un homomorfismo de grupo .
Dado un fibrado principal sobre , una reducción del grupo de estructura (de a ) es un fibrado y un isomorfismo del fibrado asociado al fibrado original.
Dado un mapa , donde es el espacio de clasificación para los fibrados, una reducción del grupo de estructura es un mapa y una homotopía .
No siempre existen reducciones del grupo de estructura. Si existen, normalmente no son esencialmente únicas, ya que el isomorfismo es una parte importante de los datos.
Como ejemplo concreto, todo espacio vectorial real de dimensión par es isomorfo al espacio real subyacente de un espacio vectorial complejo: admite una estructura compleja lineal . Un fibrado vectorial real admite una estructura casi compleja si y sólo si es isomorfo al fibrado real subyacente de un fibrado vectorial complejo. Se trata entonces de una reducción a lo largo de la inclusión GL ( n , C ) → GL (2 n , R )
En términos de mapas de transición , un fibrado G se puede reducir si y solo si se puede tomar que los mapas de transición tienen valores en H. Nótese que el término reducción es engañoso: sugiere que H es un subgrupo de G , lo que suele ser el caso, pero no necesariamente (por ejemplo, para estructuras de espín ): se llama apropiadamente levantamiento .
De manera más abstracta, " G -fibrados sobre X " es un funtor [2] en G : Dado un homomorfismo de grupo de Lie H → G , se obtiene una función de H -fibrados a G -fibrados mediante inducción (como se indicó anteriormente). La reducción del grupo de estructura de un G -fibrado B consiste en elegir un H -fibrado cuya imagen sea B.
La función inductora de los fibrados H a los fibrados G no es, en general, ni sobrexpositiva ni biunívoca, por lo que el grupo estructural no siempre se puede reducir y, cuando se puede, esta reducción no tiene por qué ser única. Por ejemplo, no toda variedad es orientable y las que lo son admiten exactamente dos orientaciones.
Si H es un subgrupo cerrado de G , entonces existe una correspondencia biunívoca natural entre las reducciones de un fibrado G B a H y las secciones globales del fibrado B / H obtenidas mediante el cociente de B por la acción correcta de H . Específicamente, la fibración B → B / H es un fibrado H principal sobre B / H . Si σ : X → B / H es una sección, entonces el fibrado de pullback B H = σ −1 B es una reducción de B . [3]
Todo fibrado vectorial de dimensión tiene un fibrado canónico, el fibrado de marco . En particular, toda variedad suave tiene un fibrado vectorial canónico, el fibrado tangente . Para un grupo de Lie y un homomorfismo de grupo , una estructura es una reducción del grupo de estructura del fibrado de marco a .
Los siguientes ejemplos se definen para fibrados vectoriales reales , particularmente el fibrado tangente de una variedad suave .
Algunas estructuras se definen en términos de otras: dada una métrica de Riemann en una variedad orientada, una estructura para la cubierta doble es una estructura de espín . (Tenga en cuenta que el homomorfismo de grupo aquí no es una inclusión).
Aunque la teoría de los fibrados principales desempeña un papel importante en el estudio de las G -estructuras, las dos nociones son diferentes. Una G -estructura es un subfibrado principal del fibrado de marcos tangentes , pero el hecho de que el fibrado de la G -estructura consista de marcos tangentes se considera parte de los datos. Por ejemplo, considere dos métricas de Riemann sobre R n . Las O( n )-estructuras asociadas son isomorfas si y solo si las métricas son isométricas. Pero, dado que R n es contráctil, los O( n )-fibrados subyacentes siempre serán isomorfos como fibrados principales porque los únicos fibrados sobre espacios contráctiles son fibrados triviales.
Esta diferencia fundamental entre las dos teorías se puede captar proporcionando un dato adicional sobre el fibrado G subyacente de una estructura G : la forma de soldadura . La forma de soldadura es lo que vincula el fibrado principal subyacente de la estructura G a la geometría local de la propia variedad especificando un isomorfismo canónico del fibrado tangente de M a un fibrado vectorial asociado . Aunque la forma de soldadura no es una forma de conexión , a veces se la puede considerar precursora de una.
En detalle, supongamos que Q es el fibrado principal de una G -estructura. Si Q se realiza como una reducción del fibrado de marco de M , entonces la forma de soldadura está dada por el retroceso de la forma tautológica del fibrado de marco a lo largo de la inclusión. De manera abstracta, si uno considera a Q como un fibrado principal independientemente de su realización como una reducción del fibrado de marco, entonces la forma de soldadura consiste en una representación ρ de G en R n y un isomorfismo de fibrados θ : TM → Q × ρ R n .
Varias estructuras en variedades, como una estructura compleja, una estructura simpléctica o una estructura de Kähler , son G -estructuras (y por lo tanto pueden ser obstruidas), pero necesitan satisfacer una condición de integrabilidad adicional . Sin la condición de integrabilidad correspondiente, la estructura se denomina en cambio una estructura "casi", como en una estructura casi compleja , una estructura casi simpléctica o una estructura casi de Kähler .
En concreto, una estructura de variedad simpléctica es un concepto más fuerte que una estructura G para el grupo simpléctico . Una estructura simpléctica en una variedad es una ω de 2 formas en M que no es degenerada (lo que es una estructura o casi una estructura simpléctica), junto con la condición adicional de que d ω = 0; esta última se denomina condición de integrabilidad .
De manera similar, las foliaciones corresponden a G -estructuras provenientes de matrices de bloques , junto con condiciones de integrabilidad para que se aplique el teorema de Frobenius .
Una G -estructura plana es una G -estructura P que tiene una sección global ( V 1 ,..., V n ) que consiste en campos vectoriales conmutativos . Una G -estructura es integrable (o localmente plana ) si es localmente isomorfa a una G -estructura plana.
El conjunto de difeomorfismos de M que preservan una estructura G se denomina grupo de automorfismos de esa estructura. Para una estructura O( n ) son el grupo de isometrías de la métrica de Riemann y para una estructura SL( n , R ) son las funciones que preservan el volumen.
Sea P una G -estructura en una variedad M , y Q una G -estructura en una variedad N . Entonces un isomorfismo de las G -estructuras es un difeomorfismo f : M → N tal que el empuje hacia delante de los marcos lineales f * : FM → FN restringe para dar una aplicación de P en Q . (Nótese que es suficiente que Q esté contenido dentro de la imagen de f * .) Las G -estructuras P y Q son localmente isomorfas si M admite un cubrimiento por conjuntos abiertos U y una familia de difeomorfismos f U : U → f ( U ) ⊂ N tales que f U induce un isomorfismo de P | U → Q | f ( U ) .
Un automorfismo de una G -estructura es un isomorfismo de una G -estructura P consigo misma. Los automorfismos surgen con frecuencia [6] en el estudio de grupos de transformación de estructuras geométricas, ya que muchas de las estructuras geométricas importantes en una variedad pueden realizarse como G -estructuras.
En el lenguaje de las G -estructuras se puede formular una amplia clase de problemas de equivalencia . Por ejemplo, un par de variedades de Riemann son (localmente) equivalentes si y solo si sus fibrados de marcos ortonormales son G -estructuras (localmente) isomorfas . Desde este punto de vista, el procedimiento general para resolver un problema de equivalencia es construir un sistema de invariantes para la G -estructura que sean suficientes para determinar si un par de G -estructuras son localmente isomorfas o no.
Sea Q una G -estructura sobre M . Una conexión principal sobre el fibrado principal Q induce una conexión sobre cualquier fibrado vectorial asociado: en particular sobre el fibrado tangente. Una conexión lineal ∇ sobre TM que surge de esta manera se dice que es compatible con Q . Las conexiones compatibles con Q también se denominan conexiones adaptadas .
Hablando concretamente, las conexiones adaptadas pueden entenderse en términos de un marco móvil . [7] Supóngase que V i es una base de secciones locales de TM (es decir, un marco en M ) que define una sección de Q . Cualquier conexión ∇ determina un sistema de 1-formas dependientes de la base ω mediante
donde, como matriz de 1-formas, ω ∈ Ω 1 (M)⊗ gl ( n ). Una conexión adaptada es aquella para la cual ω toma sus valores en el álgebra de Lie g de G .
A cualquier G -estructura se le asocia una noción de torsión, relacionada con la torsión de una conexión. Nótese que una G -estructura dada puede admitir muchas conexiones compatibles diferentes que a su vez pueden tener diferentes torsiones, pero a pesar de esto es posible dar una noción independiente de torsión de la G-estructura como sigue. [8]
La diferencia de dos conexiones adaptadas es una 1-forma en M con valores en el fibrado adjunto Ad Q . Es decir, el espacio A Q de conexiones adaptadas es un espacio afín para Ω 1 (Ad Q ).
La torsión de una conexión adaptada define un mapa
a 2-formas con coeficientes en TM . Esta función es lineal; su linealización
se llama mapa de torsión algebraico . Dadas dos conexiones adaptadas ∇ y ∇′, sus tensores de torsión T ∇ , T ∇′ difieren en τ(∇−∇′). Por lo tanto, la imagen de T ∇ en coker(τ) es independiente de la elección de ∇.
La imagen de T ∇ en coker(τ) para cualquier conexión adaptada ∇ se denomina torsión de la G -estructura. Se dice que una G -estructura está libre de torsión si su torsión se anula. Esto sucede precisamente cuando Q admite una conexión adaptada libre de torsión.
Un ejemplo de una G -estructura es una estructura casi compleja , es decir, una reducción de un grupo de estructuras de una variedad de dimensión par a GL( n , C ). Tal reducción está determinada únicamente por un endomorfismo C ∞ -lineal J ∈ End( TM ) tal que J 2 = −1. En esta situación, la torsión se puede calcular explícitamente de la siguiente manera.
Un sencillo recuento de dimensiones muestra que
donde Ω 2,0 ( TM ) es un espacio de formas B ∈ Ω 2 ( TM ) que satisfacen
Por lo tanto, la torsión de una estructura casi compleja puede considerarse como un elemento en Ω 2,0 ( TM ). Es fácil comprobar que la torsión de una estructura casi compleja es igual a su tensor de Nijenhuis .
La imposición de condiciones de integrabilidad en una G -estructura particular (por ejemplo, con el caso de una forma simpléctica) se puede tratar mediante el proceso de prolongación . En tales casos, la G -estructura prolongada no se puede identificar con un G -subfibrado del fibrado de marcos lineales. En muchos casos, sin embargo, la prolongación es un fibrado principal por derecho propio, y su grupo de estructura se puede identificar con un subgrupo de un grupo jet de orden superior . En cuyo caso, se llama G -estructura de orden superior [Kobayashi]. En general, el método de equivalencia de Cartan se aplica a tales casos.
