En matemáticas , el fibrado universal en la teoría de fibrados con grupo de estructura un grupo topológico dado G , es un fibrado específico sobre un espacio clasificador BG , tal que todo fibrado con el grupo de estructura dado G sobre M es un pullback mediante una función continua M → BG .
Cuando la definición del espacio de clasificación tiene lugar dentro de la categoría de homotopía de los complejos CW , los teoremas de existencia para fibrados universales surgen del teorema de representabilidad de Brown .
Primero demostraremos:
Demostración. Existe una inyección de G en un grupo unitario U ( n ) para n suficientemente grande. [1] Si encontramos EU ( n ) entonces podemos tomar EG como EU ( n ) . La construcción de EU ( n ) se da en el espacio de clasificación para U ( n ) .
El siguiente Teorema es un corolario de la Proposición anterior.
Demostración. Por un lado, el pull-back del fibrado π : EG → BG por la proyección natural P × G EG → BG es el fibrado P × EG . Por otro lado, el pull-back del fibrado principal G P → M por la proyección p : P × G EG → M es también P × EG
Como p es una fibración con fibra contráctil EG , existen secciones de p . [2] A dicha sección s le asociamos la composición con la proyección P × G EG → BG . La función que obtenemos es la f que buscábamos.
Para la unicidad hasta la homotopía, nótese que existe una correspondencia biunívoca entre las funciones f : M → BG tales que f ∗ ( EG ) → M es isomorfa a P → M y secciones de p . Acabamos de ver cómo asociar una f a una sección. Inversamente, supongamos que f está dada. Sea Φ : f ∗ ( EG ) → P un isomorfismo:
Ahora, simplemente defina una sección por
Debido a que todas las secciones de p son homotópicas, la clase de homotopía de f es única.
El espacio total de un fibrado universal se escribe habitualmente EG . Estos espacios son de interés por sí mismos, a pesar de ser típicamente contráctiles . Por ejemplo, al definir el cociente de homotopía o el espacio de órbita de homotopía de una acción de grupo de G , en los casos en que el espacio de órbita es patológico (en el sentido de ser un espacio no Hausdorff , por ejemplo). La idea, si G actúa sobre el espacio X , es considerar en cambio la acción sobre Y = X × EG , y el cociente correspondiente. Véase cohomología equivariante para una discusión más detallada.
Si EG es contráctil, entonces X e Y son espacios homotópicamente equivalentes . Pero la acción diagonal sobre Y , es decir, donde G actúa sobre las coordenadas X y EG , puede comportarse bien cuando la acción sobre X no lo es.
