En geometría , la noción de conexión precisa la idea de transportar objetos geométricos locales, como vectores tangentes o tensores en el espacio tangente, a lo largo de una curva o familia de curvas de manera paralela y consistente. Existen varios tipos de conexiones en la geometría moderna, según el tipo de datos que se desee transportar. Por ejemplo, una conexión afín , el tipo de conexión más elemental, proporciona un medio para el transporte paralelo de vectores tangentes en una variedad desde un punto a otro a lo largo de una curva. Una conexión afín se da típicamente en forma de derivada covariante , que proporciona un medio para tomar derivadas direccionales de campos vectoriales, midiendo la desviación de un campo vectorial de ser paralelo en una dirección dada.
Las conexiones son de importancia central en la geometría moderna en gran parte porque permiten una comparación entre la geometría local en un punto y la geometría local en otro punto. La geometría diferencial abarca varias variaciones sobre el tema de la conexión, que se dividen en dos grupos principales: la teoría infinitesimal y la teoría local. La teoría local se ocupa principalmente de las nociones de transporte paralelo y holonomía . La teoría infinitesimal se ocupa de la diferenciación de datos geométricos. Por lo tanto, una derivada covariante es una forma de especificar una derivada de un campo vectorial a lo largo de otro campo vectorial en una variedad. Una conexión de Cartan es una forma de formular algunos aspectos de la teoría de la conexión utilizando formas diferenciales y grupos de Lie . Una conexión de Ehresmann es una conexión en un haz de fibras o un haz principal mediante la especificación de las direcciones permitidas de movimiento del campo. Una conexión de Koszul es una conexión que define la derivada direccional para secciones de un haz vectorial más general que el haz tangente.
Las conexiones también conducen a formulaciones convenientes de invariantes geométricos , como la curvatura (véase también tensor de curvatura y forma de curvatura ) y el tensor de torsión .
Consideremos el siguiente problema. Supongamos que se da un vector tangente a la esfera S en el polo norte y que vamos a definir una manera de mover consistentemente este vector a otros puntos de la esfera: un medio para el transporte paralelo . Ingenuamente, esto podría hacerse utilizando un sistema de coordenadas particular . Sin embargo, a menos que se aplique el cuidado adecuado, el transporte paralelo definido en un sistema de coordenadas no concordará con el de otro sistema de coordenadas. Un sistema de transporte paralelo más apropiado explota la simetría de la esfera bajo rotación. Dado un vector en el polo norte, se puede transportar este vector a lo largo de una curva rotando la esfera de tal manera que el polo norte se mueva a lo largo de la curva sin rodadura axial. Este último medio de transporte paralelo es la conexión de Levi-Civita en la esfera. Si se dan dos curvas diferentes con el mismo punto inicial y terminal, y un vector v se mueve rígidamente a lo largo de la primera curva mediante una rotación, el vector resultante en el punto terminal será diferente del vector resultante de mover rígidamente v a lo largo de la segunda curva. Este fenómeno refleja la curvatura de la esfera. Un dispositivo mecánico simple que puede utilizarse para visualizar el transporte paralelo es el carro que apunta hacia el sur .
Por ejemplo, supongamos que S es una esfera cuyas coordenadas se dan en la proyección estereográfica . Consideremos que S está formada por vectores unitarios en R 3 . Entonces S lleva un par de parches de coordenadas correspondientes a las proyecciones del polo norte y del polo sur. Las asignaciones
cubren un entorno U 0 del polo norte y U 1 del polo sur, respectivamente. Sean X , Y , Z las coordenadas ambientales en R 3 . Entonces φ 0 y φ 1 tienen inversas
De modo que la función de transición de coordenadas es inversión en el círculo :
Representemos ahora un campo vectorial en S (una asignación de un vector tangente a cada punto en S) en coordenadas locales. Si P es un punto de U 0 ⊂ S , entonces un campo vectorial puede representarse mediante el avance de un campo vectorial v 0 en R 2 mediante :
donde denota la matriz jacobiana de φ 0 ( ), y v 0 = v 0 ( x , y ) es un campo vectorial en R 2 determinado únicamente por v (ya que el empuje hacia delante de un difeomorfismo local en cualquier punto es invertible). Además, en la superposición entre los gráficos de coordenadas U 0 ∩ U 1 , es posible representar el mismo campo vectorial con respecto a las coordenadas φ 1 :
Para relacionar los componentes v 0 y v 1 , aplicamos la regla de la cadena a la identidad φ 1 = φ 0 o φ 01 :
Aplicando ambos lados de esta ecuación matricial al vector componente v 1 (φ 1 −1 ( P )) e invocando ( 1 ) y ( 2 ) se obtiene
Llegamos ahora a la cuestión principal de definir cómo transportar un campo vectorial paralelamente a lo largo de una curva. Supongamos que P ( t ) es una curva en S . Ingenuamente, se puede considerar un campo vectorial paralelo si los componentes de coordenadas del campo vectorial son constantes a lo largo de la curva. Sin embargo, surge una ambigüedad inmediata: ¿en qué sistema de coordenadas deberían ser constantes estos componentes?
Por ejemplo, supongamos que v ( P ( t )) tiene componentes constantes en el sistema de coordenadas U 1 . Es decir, las funciones v 1 ( φ 1 −1 ( P ( t ))) son constantes. Sin embargo, al aplicar la regla del producto a ( 3 ) y usar el hecho de que d v 1 / dt = 0 se obtiene
Pero siempre es una matriz no singular (siempre que la curva P ( t ) no sea estacionaria), por lo que v 1 y v 0 nunca pueden ser simultáneamente constantes a lo largo de la curva.
El problema observado anteriormente es que la derivada direccional habitual del cálculo vectorial no se comporta bien ante cambios en el sistema de coordenadas cuando se aplica a los componentes de los campos vectoriales. Esto hace que sea bastante difícil describir cómo trasladar los campos vectoriales de manera paralela, si es que tal noción tiene algún sentido. Hay dos formas fundamentalmente diferentes de resolver este problema.
El primer enfoque consiste en examinar qué se requiere para que una generalización de la derivada direccional se "comporte bien" en las transiciones de coordenadas. Esta es la táctica adoptada por el enfoque de la derivada covariante para las conexiones: el buen comportamiento se equipara con la covariancia . Aquí se considera una modificación de la derivada direccional mediante un determinado operador lineal , cuyos componentes se denominan símbolos de Christoffel , que no implica ninguna derivada en el propio campo vectorial. La derivada direccional D u v de los componentes de un vector v en un sistema de coordenadas φ en la dirección u se sustituye por una derivada covariante :
donde Γ depende del sistema de coordenadas φ y es bilineal en u y v . En particular, Γ no implica ninguna derivada en u o v . En este enfoque, Γ debe transformarse de una manera prescrita cuando el sistema de coordenadas φ se cambia a un sistema de coordenadas diferente. Esta transformación no es tensorial , ya que involucra no solo la primera derivada de la transición de coordenadas, sino también su segunda derivada . Especificar la ley de transformación de Γ no es suficiente para determinar Γ de forma única. Se deben imponer algunas otras condiciones de normalización, generalmente dependiendo del tipo de geometría en consideración. En la geometría de Riemann , la conexión de Levi-Civita requiere compatibilidad de los símbolos de Christoffel con la métrica (así como una cierta condición de simetría). Con estas normalizaciones, la conexión se define de forma única.
El segundo enfoque consiste en utilizar grupos de Lie para intentar capturar algún vestigio de simetría en el espacio. Este es el enfoque de las conexiones de Cartan . El ejemplo anterior, en el que se utilizan rotaciones para especificar el transporte paralelo de vectores en la esfera, se inscribe en esta línea.
Históricamente, las conexiones se estudiaban desde una perspectiva infinitesimal en la geometría de Riemann . El estudio infinitesimal de las conexiones comenzó en cierta medida con Elwin Christoffel . Esto fue retomado más a fondo por Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita (Levi-Civita & Ricci 1900) quienes observaron en parte que una conexión en el sentido infinitesimal de Christoffel también permitía una noción de transporte paralelo .
El trabajo de Levi-Civita se centró exclusivamente en considerar las conexiones como una especie de operador diferencial cuyos desplazamientos paralelos eran entonces las soluciones de las ecuaciones diferenciales . A medida que avanzaba el siglo XX, Élie Cartan desarrolló una nueva noción de conexión. Buscó aplicar las técnicas de los sistemas pfaffianos a las geometrías del programa de Erlangen de Felix Klein . En estas investigaciones, descubrió que una cierta noción infinitesimal de conexión (una conexión de Cartan ) podía aplicarse a estas geometrías y más: su concepto de conexión permitía la presencia de curvatura que de otro modo estaría ausente en una geometría clásica de Klein. (Véase, por ejemplo, (Cartan 1926) y (Cartan 1983).) Además, utilizando la dinámica de Gaston Darboux , Cartan pudo generalizar la noción de transporte paralelo para su clase de conexiones infinitesimales. Esto estableció otro hilo conductor importante en la teoría de las conexiones: que una conexión es un cierto tipo de forma diferencial .
Las dos corrientes de la teoría de la conexión han persistido hasta nuestros días: una conexión como operador diferencial y una conexión como forma diferencial. En 1950, Jean-Louis Koszul (Koszul 1950) dio un marco algebraico para considerar una conexión como operador diferencial por medio de la conexión de Koszul . La conexión de Koszul era más general que la de Levi-Civita y era más fácil trabajar con ella porque finalmente fue capaz de eliminar (o al menos ocultar) los incómodos símbolos de Christoffel del formalismo de la conexión. Las operaciones de desplazamiento paralelo concomitantes también tenían interpretaciones algebraicas naturales en términos de la conexión. La definición de Koszul fue adoptada posteriormente por la mayor parte de la comunidad de geometría diferencial, ya que convirtió efectivamente la correspondencia analítica entre la diferenciación covariante y la traslación paralela en una algebraica .
En ese mismo año, Charles Ehresmann (Ehresmann 1950), un estudiante de Cartan, presentó una variación de la conexión como una visión de forma diferencial en el contexto de los fibrados principales y, más generalmente, de los fibrados de fibras . Las conexiones de Ehresmann no eran, estrictamente hablando, una generalización de las conexiones de Cartan. Las conexiones de Cartan estaban bastante rígidamente ligadas a la topología diferencial subyacente de la variedad debido a su relación con el método de equivalencia de Cartan . Las conexiones de Ehresmann fueron más bien un marco sólido para ver el trabajo fundacional de otros geómetras de la época, como Shiing-Shen Chern , que ya había comenzado a alejarse de las conexiones de Cartan para estudiar lo que podría llamarse conexiones de calibre . En el punto de vista de Ehresmann, una conexión en un fibrado principal consiste en una especificación de campos vectoriales horizontales y verticales en el espacio total del fibrado. Una traslación paralela es entonces un levantamiento de una curva desde la base a una curva en el fibrado principal que es horizontal. Este punto de vista ha demostrado ser especialmente valioso en el estudio de la holonomía .
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {X}{Z+1}},{\frac {Y}{Z+1}}\right),\\[8pt]\varphi _{1}^{-1}(X,Y,Z)&=\left({\frac {-X}{Z-1}},{\frac {-Y}{Z-1}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b825d23a2ec8d51523747ea1ae9e9efc678180)
