Armónicos esféricos

Special mathematical functions defined on the surface of a sphere

Representaciones visuales de los primeros armónicos esféricos reales. Las partes azules representan regiones donde la función es positiva y las partes amarillas representan donde es negativa. La distancia de la superficie desde el origen indica el valor absoluto de en dirección angular . ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$

En matemáticas y ciencias físicas , los armónicos esféricos son funciones especiales definidas en la superficie de una esfera . Suelen emplearse para resolver ecuaciones diferenciales parciales en muchos campos científicos. La tabla de armónicos esféricos contiene una lista de armónicos esféricos comunes.

Dado que los armónicos esféricos forman un conjunto completo de funciones ortogonales y, por lo tanto, una base ortonormal , cada función definida en la superficie de una esfera se puede escribir como una suma de estos armónicos esféricos. Esto es similar a las funciones periódicas definidas en un círculo que se pueden expresar como una suma de funciones circulares (senos y cosenos) a través de la serie de Fourier . Al igual que los senos y cosenos en la serie de Fourier, los armónicos esféricos se pueden organizar por frecuencia angular (espacial) , como se ve en las filas de funciones en la ilustración de la derecha. Además, los armónicos esféricos son funciones base para representaciones irreducibles de SO(3) , el grupo de rotaciones en tres dimensiones, y, por lo tanto, juegan un papel central en la discusión teórica de grupos de SO(3).

Los armónicos esféricos se originan al resolver la ecuación de Laplace en los dominios esféricos. Las funciones que son soluciones de la ecuación de Laplace se denominan armónicos . A pesar de su nombre, los armónicos esféricos toman su forma más simple en coordenadas cartesianas , donde pueden definirse como polinomios homogéneos de grado en que obedecen a la ecuación de Laplace. La conexión con las coordenadas esféricas surge inmediatamente si se utiliza la homogeneidad para extraer un factor de dependencia radial del polinomio de grado mencionado anteriormente ; el factor restante puede considerarse como una función de las coordenadas angulares esféricas y solo, o equivalentemente, del vector unitario orientacional especificado por estos ángulos. En este contexto, pueden verse como la parte angular de un conjunto de soluciones de la ecuación de Laplace en tres dimensiones, y este punto de vista a menudo se toma como una definición alternativa. Obsérvese, sin embargo, que los armónicos esféricos no son funciones en la esfera que sean armónicas con respecto al operador de Laplace-Beltrami para la métrica redonda estándar en la esfera: las únicas funciones armónicas en este sentido en la esfera son las constantes, ya que las funciones armónicas satisfacen el principio de máximo . Los armónicos esféricos, como funciones en la esfera, son funciones propias del operador de Laplace-Beltrami (véase Dimensiones superiores). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle r^{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Un conjunto específico de armónicos esféricos, denotados o , se conocen como armónicos esféricos de Laplace, ya que fueron introducidos por primera vez por Pierre Simon de Laplace en 1782. ^[1] Estas funciones forman un sistema ortogonal y, por lo tanto, son básicas para la expansión de una función general en la esfera como se mencionó anteriormente. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })}$

Los armónicos esféricos son importantes en muchas aplicaciones teóricas y prácticas, incluida la representación de campos electromagnéticos y electrostáticos multipolares , configuraciones electrónicas , campos gravitacionales , geoides , campos magnéticos de cuerpos planetarios y estrellas, y la radiación cósmica de fondo de microondas . En gráficos de computadora en 3D , los armónicos esféricos juegan un papel en una amplia variedad de temas, incluida la iluminación indirecta ( oclusión ambiental , iluminación global , transferencia de radiancia precalculada , etc.) y el modelado de formas 3D.

Historia

Pierre-Simon Laplace , 1749-1827

Los armónicos esféricos se investigaron por primera vez en relación con el potencial newtoniano de la ley de gravitación universal de Newton en tres dimensiones. En 1782, Pierre-Simon de Laplace había determinado , en su Mécanique Céleste , que el potencial gravitatorio en un punto x asociado con un conjunto de masas puntuales m _i ubicadas en los puntos x _i estaba dado por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.}$$

Cada término de la suma anterior es un potencial newtoniano individual para una masa puntual. Justo antes de esa fecha, Adrien-Marie Legendre había investigado la expansión del potencial newtoniano en potencias de r = | x | y r ₁ = | x ₁ | . Descubrió que si r ≤ r ₁ entonces

$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots }$$

donde γ es el ángulo entre los vectores x y x ₁ . Las funciones son los polinomios de Legendre y pueden derivarse como un caso especial de armónicos esféricos. Posteriormente, en sus memorias de 1782, Laplace investigó estos coeficientes utilizando coordenadas esféricas para representar el ángulo γ entre x ₁ y x . (Véase Polinomios de Legendre § Aplicaciones para más detalles.) ${\displaystyle P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R} }$

En 1867, William Thomson (Lord Kelvin) y Peter Guthrie Tait introdujeron los armónicos esféricos sólidos en su Tratado de filosofía natural , y también introdujeron por primera vez el nombre de "armónicos esféricos" para estas funciones. Los armónicos sólidos eran soluciones polinómicas homogéneas de la ecuación de Laplace . Al examinar la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, Thomson y Tait recuperaron los armónicos esféricos de Laplace. (Véase Representación polinómica armónica.) El término "coeficientes de Laplace" fue empleado por William Whewell para describir el sistema particular de soluciones introducido a lo largo de estas líneas, mientras que otros reservaron esta designación para los armónicos esféricos zonales que habían sido introducidos correctamente por Laplace y Legendre. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$$

El desarrollo de las series de Fourier en el siglo XIX hizo posible la solución de una amplia variedad de problemas físicos en dominios rectangulares, como la solución de la ecuación del calor y la ecuación de onda . Esto se podía lograr mediante la expansión de funciones en series de funciones trigonométricas . Mientras que las funciones trigonométricas en una serie de Fourier representan los modos fundamentales de vibración en una cuerda , los armónicos esféricos representan los modos fundamentales de vibración de una esfera de la misma manera. Muchos aspectos de la teoría de las series de Fourier se podían generalizar tomando expansiones en armónicos esféricos en lugar de funciones trigonométricas. Además, de manera análoga a cómo las funciones trigonométricas pueden escribirse de manera equivalente como exponenciales complejas , los armónicos esféricos también poseían una forma equivalente como funciones de valor complejo. Esto fue una bendición para los problemas que poseían simetría esférica , como los de la mecánica celeste estudiados originalmente por Laplace y Legendre.

La prevalencia de los armónicos esféricos ya en la física preparó el terreno para su importancia posterior en el siglo XX, cuando nació la mecánica cuántica . Los armónicos esféricos (de valor complejo) son funciones propias del cuadrado del operador de momento angular orbital y, por lo tanto, representan las diferentes configuraciones cuantizadas de los orbitales atómicos . ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle -i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,}$$

Armónicos esféricos de Laplace

Armónicos esféricos reales (de Laplace) para (de arriba a abajo) y (de izquierda a derecha). Los armónicos zonales, sectoriales y tesserales se representan a lo largo de la columna más a la izquierda, la diagonal principal y en otros lugares, respectivamente. (Los armónicos de orden negativo se mostrarían rotados sobre el eje z con respecto a los de orden positivo). ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ ${\displaystyle \ell =0,\dots ,4}$ ${\displaystyle m=0,\dots ,\ell }$ ${\displaystyle Y_{\ell (-m)}}$ ${\displaystyle 90^{\circ }/m}$

Imagen alternativa para los armónicos esféricos reales . ${\displaystyle Y_{\ell m}}$

La ecuación de Laplace impone que el laplaciano de un campo escalar f sea cero. (Aquí se entiende que el campo escalar es complejo, es decir, que corresponde a una función (suave) ). En coordenadas esféricas esto es: ^[2] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

Consideremos el problema de hallar soluciones de la forma f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) . Mediante la separación de variables , resultan dos ecuaciones diferenciales imponiendo la ecuación de Laplace: La segunda ecuación se puede simplificar bajo el supuesto de que Y tiene la forma Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Aplicando nuevamente la separación de variables a la segunda ecuación se obtiene el par de ecuaciones diferenciales $${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$$ $${\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}$$

para algún número m . A priori, m es una constante compleja, pero como Φ debe ser una función periódica cuyo período divide exactamente a 2 π , m es necesariamente un entero y Φ es una combinación lineal de las exponenciales complejas e ^{± imφ} . La función solución Y ( θ , φ ) es regular en los polos de la esfera, donde θ = 0, π . Imponer esta regularidad en la solución Θ de la segunda ecuación en los puntos límite del dominio es un problema de Sturm–Liouville que obliga al parámetro λ a tener la forma λ = ℓ ( ℓ + 1) para algún entero no negativo con ℓ ≥ | m | ; esto también se explica a continuación en términos del momento angular orbital . Además, un cambio de variables t = cos θ transforma esta ecuación en la ecuación de Legendre , cuya solución es un múltiplo del polinomio de Legendre asociado P^metro
_​(cos θ ) . Finalmente, la ecuación para R tiene soluciones de la forma R ( r ) = A r ^ℓ + B r ^{− ℓ − 1} ; requiriendo que la solución sea regular en todo R ³ fuerzas B = 0 . ^[3]

Aquí se supuso que la solución tenía la forma especial Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Para un valor dado de ℓ , hay 2 ℓ + 1 soluciones independientes de esta forma, una para cada entero m con − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Estas soluciones angulares son un producto de funciones trigonométricas , aquí representadas como una exponencial compleja , y polinomios de Legendre asociados: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$$

que cumplen $${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Aquí se denomina función armónica esférica de grado ℓ y orden m , es un polinomio de Legendre asociado , N es una constante de normalización, ^[4] y θ y φ representan la colatitud y la longitud, respectivamente. En particular, la colatitud θ , o ángulo polar, varía de 0 en el Polo Norte, a π /2 en el Ecuador, a π en el Polo Sur, y la longitud φ , o acimut , puede asumir todos los valores con 0 ≤ φ < 2 π . Para un entero fijo ℓ , cada solución Y ( θ , φ ) , , del problema de valor propio es una combinación lineal de . De hecho, para cualquier solución de este tipo, r ^ℓ Y ( θ , φ ) es la expresión en coordenadas esféricas de un polinomio homogéneo que es armónico (ver más abajo), y por lo tanto el conteo de dimensiones muestra que hay 2 ℓ + 1 polinomios linealmente independientes de este tipo. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y:S^{2}\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y}$$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

La solución general de la ecuación de Laplace en una bola centrada en el origen es una combinación lineal de las funciones armónicas esféricas multiplicadas por el factor de escala apropiado r ^ℓ , ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta f=0}$

$${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$

donde son constantes y los factores r ^ℓ Y _ℓ ^m se conocen como armónicos sólidos ( regulares ) . Tal expansión es válida en la esfera ${\displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.}$$

Para , se eligen en cambio los armónicos sólidos con potencias negativas de (los armónicos sólidos irregulares ). En ese caso, es necesario expandir la solución de las regiones conocidas en la serie de Laurent (aproximadamente ), en lugar de la serie de Taylor (aproximadamente ) utilizada anteriormente, para hacer coincidir los términos y encontrar los coeficientes de expansión de la serie . ${\displaystyle r>R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C} }$

Momento angular orbital

En mecánica cuántica, los armónicos esféricos de Laplace se entienden en términos del momento angular orbital ^[5] El ħ es convencional en mecánica cuántica; es conveniente trabajar en unidades en las que ħ = 1. Los armónicos esféricos son funciones propias del cuadrado del momento angular orbital Los armónicos esféricos de Laplace son las funciones propias conjuntas del cuadrado del momento angular orbital y el generador de rotaciones sobre el eje azimutal: $${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } )=L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

Estos operadores conmutan y son operadores autoadjuntos densamente definidos en el espacio de Hilbert ponderado de funciones f integrables al cuadrado con respecto a la distribución normal como la función de peso en R ³ : Además, L ² es un operador positivo . $${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .}$$

Si Y es una función propia conjunta de L ² y L _z , entonces, por definición, para algunos números reales m y λ . Aquí, de hecho, m debe ser un entero, ya que Y debe ser periódica en la coordenada φ con período un número que divida exactamente a 2 π . Además, dado que y cada uno de L _x , L _y , L _z son autoadjuntos, se deduce que λ ≥ m ² . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$$

Denotemos este espacio propio conjunto por E _{λ , m} , y definamos los operadores de elevación y descenso por Entonces L ₊ y L ₋ conmutan con L ² , y el álgebra de Lie generada por L ₊ , L ₋ , L _z es el álgebra de Lie lineal especial de orden 2, , con relaciones de conmutación Por lo tanto L ₊  : E _{λ , m} → E _{λ , m +1} (es un "operador de elevación") y L ₋  : E _{λ , m} → E _{λ , m −1} (es un "operador de descenso"). En particular, L $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle [L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.}$$^k
₊ : E _{λ , m} → E _{λ , m + k} debe ser cero para k suficientemente grande, porque la desigualdad λ ≥ m ² debe cumplirse en cada uno de los espacios propios conjuntos no triviales. Sea Y ∈ E _{λ , m} una función propia conjunta distinta de cero, y sea k el menor entero tal que Entonces, puesto que se sigue que Por lo tanto λ = ℓ ( ℓ + 1) para el entero positivo ℓ = m + k . $${\displaystyle L_{+}^{k}Y=0.}$$ $${\displaystyle L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}}$$ $${\displaystyle 0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.}$$

Todo lo anterior se ha resuelto en la representación de coordenadas esféricas, pero se puede expresar de forma más abstracta en la base esférica ortonormal completa . ${\displaystyle \langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$

Representación polinómica armónica

Los armónicos esféricos se pueden expresar como la restricción a la esfera unitaria de ciertas funciones polinómicas . Específicamente, decimos que una función polinómica (de valor complejo) es homogénea de grado si para todos los números reales y todos . Decimos que es armónica si donde es el laplaciano . Luego, para cada , definimos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \Delta p=0,}$$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }=\left\{{\text{harmonic polynomials }}\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} {\text{ that are homogeneous of degree }}\ell \right\}.}$$

Por ejemplo, cuando , es simplemente el espacio tridimensional de todas las funciones lineales , ya que cualquier función de este tipo es automáticamente armónica. Mientras tanto, cuando , tenemos un espacio de cinco dimensiones: ${\displaystyle \ell =1}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \ell =2}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\operatorname {span} _{\mathbb {C} }(x_{1}x_{2},\,x_{1}x_{3},\,x_{2}x_{3},\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\,x_{1}^{2}-x_{3}^{2}).}$$

Para cualquier , el espacio de armónicos esféricos de grado es simplemente el espacio de restricciones a la esfera de los elementos de . ^[6] Como se sugiere en la introducción, esta perspectiva es presumiblemente el origen del término “armónico esférico” (es decir, la restricción a la esfera de una función armónica ). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }}$

Por ejemplo, para cualquier la fórmula define un polinomio homogéneo de grado con dominio y codominio , que resulta ser independiente de . Se ve fácilmente que este polinomio es armónico. Si escribimos en coordenadas esféricas y luego restringimos a , obtenemos que puede reescribirse como Después de usar la fórmula para el polinomio de Legendre asociado , podemos reconocer esto como la fórmula para el armónico esférico ^[7] (Ver Casos especiales). ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle p(x_{1},x_{2},x_{3})=c(x_{1}+ix_{2})^{\ell }}$$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle r=1}$ $${\displaystyle p(\theta ,\varphi )=c\sin(\theta )^{\ell }(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{\ell },}$$ $${\displaystyle p(\theta ,\varphi )=c\left({\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}\right)^{\ell }e^{i\ell \varphi }.}$$ ${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).}$

Convenciones

Ortogonalidad y normalización

Se utilizan habitualmente varias normalizaciones diferentes para las funciones armónicas esféricas de Laplace . A lo largo de la sección, utilizamos la convención estándar que para (ver polinomios de Legendre asociados ) que es la normalización natural dada por la fórmula de Rodrigues. ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle m>0}$ $${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$$

Gráfico de la armónica esférica con y y en el plano complejo de a con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1 ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \ell =2}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle \varphi =\pi }$ ${\displaystyle -2-2i}$ ${\displaystyle 2+2i}$

En acústica , ^[8] los armónicos esféricos de Laplace se definen generalmente como (esta es la convención utilizada en este artículo) mientras que en mecánica cuántica : ^{[9] [10]} $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$ $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

donde están asociados los polinomios de Legendre sin la fase Condon-Shortley (para evitar contar la fase dos veces). ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$

En ambas definiciones, los armónicos esféricos son ortonormales , donde δ _ij es el delta de Kronecker y d Ω = sin( θ ) dφ dθ . Esta normalización se utiliza en mecánica cuántica porque garantiza que la probabilidad esté normalizada, es decir, $${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},}$$ $${\displaystyle \int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.}$$

Las disciplinas de la geodesia ^[11] y el análisis espectral utilizan

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

que poseen potencia unitaria

$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$$

La comunidad del magnetismo ^[11] , por el contrario, utiliza armónicos seminormalizados de Schmidt.

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

que tienen la normalización

$${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$$

En mecánica cuántica a veces también se utiliza esta normalización y se denomina normalización de Racah en honor a Giulio Racah .

Se puede demostrar que todas las funciones armónicas esféricas normalizadas anteriores satisfacen

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{-m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),}$$

donde el superíndice * denota conjugación compleja. Alternativamente, esta ecuación se deduce de la relación de las funciones armónicas esféricas con la matriz D de Wigner .

Fase Condon-Shortley

Una fuente de confusión con la definición de las funciones armónicas esféricas se refiere a un factor de fase de , comúnmente denominado fase de Condon -Shortley en la literatura de mecánica cuántica. En la comunidad de mecánica cuántica, es una práctica común incluir este factor de fase en la definición de los polinomios de Legendre asociados o agregarlo a la definición de las funciones armónicas esféricas. No hay ningún requisito para usar la fase de Condon-Shortley en la definición de las funciones armónicas esféricas, pero incluirla puede simplificar algunas operaciones de mecánica cuántica, especialmente la aplicación de operadores de elevación y descenso . Las comunidades de geodesia ^[12] y magnetismo nunca incluyen el factor de fase de Condon-Shortley en sus definiciones de las funciones armónicas esféricas ni en las de los polinomios de Legendre asociados. ^[13] ${\displaystyle (-1)^{m}}$

Forma real

Se puede definir una base real de armónicos esféricos en términos de sus análogos complejos estableciendo La convención de fase de Condon-Shortley se utiliza aquí para lograr coherencia. Las ecuaciones inversas correspondientes que definen los armónicos esféricos complejos en términos de los armónicos esféricos reales son ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}}$$

Los armónicos esféricos reales se conocen a veces como armónicos esféricos tesserales . ^[14] Estas funciones tienen las mismas propiedades de ortonormalidad que las complejas anteriores. Se dice que los armónicos esféricos reales con m > 0 son de tipo coseno, y aquellos con m < 0 de tipo seno. La razón de esto se puede ver escribiendo las funciones en términos de los polinomios de Legendre como ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ $${\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}}$$

Los mismos factores seno y coseno se pueden ver también en la siguiente subsección que trata de la representación cartesiana.

Consulte aquí una lista de armónicos esféricos reales hasta inclusive , que pueden considerarse consistentes con el resultado de las ecuaciones anteriores. ${\displaystyle \ell =4}$

Uso en química cuántica

Como se sabe a partir de las soluciones analíticas para el átomo de hidrógeno, las funciones propias de la parte angular de la función de onda son armónicos esféricos. Sin embargo, las soluciones de la ecuación de Schrödinger no relativista sin términos magnéticos pueden hacerse reales. Por eso, las formas reales se utilizan ampliamente en las funciones base de la química cuántica, ya que los programas no necesitan utilizar álgebra compleja. En este caso, las funciones reales abarcan el mismo espacio que las complejas.

Por ejemplo, como se puede ver en la tabla de armónicos esféricos , las funciones p habituales ( ) son complejas y mezclan direcciones de ejes, pero las versiones reales son esencialmente solo x , y y z . ${\displaystyle \ell =1}$

Armónicos esféricos en forma cartesiana

Los armónicos esféricos complejos dan lugar a los armónicos sólidos al extenderse desde a todos como una función homogénea de grado , es decir, estableciendo Resulta que es base del espacio de polinomios armónicos y homogéneos de grado . Más específicamente, es la base de Gelfand-Tsetlin (única hasta la normalización) de esta representación del grupo rotacional y se puede derivar una fórmula explícita para en coordenadas cartesianas a partir de ese hecho. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(v):=\|v\|^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)}$$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle SO(3)}$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}}$

La función generadora de Herglotz

Si se adopta la convención mecánica cuántica para , entonces Aquí, es el vector con componentes , , y es un vector con coordenadas complejas: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$ $${\displaystyle {\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i{\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat {y}} }\right).}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({\frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].}$

La propiedad esencial de es que es nula: ${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.}$$

Basta con tomar y como parámetros reales. Al nombrar esta función generadora en honor a Herglotz , seguimos a Courant y Hilbert 1962, §VII.7, quienes atribuyen su descubrimiento a notas inéditas suyas. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$

Esencialmente todas las propiedades de los armónicos esféricos pueden derivarse de esta función generadora. ^[15] Un beneficio inmediato de esta definición es que si el vector se reemplaza por el operador de vector de espín mecánico cuántico , de modo que es el operador análogo del armónico sólido , ^[16] se obtiene una función generadora para un conjunto estandarizado de operadores tensoriales esféricos , : ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })}$ ${\displaystyle r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)}$ ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })}$

$${\displaystyle e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).}$$

El paralelismo de las dos definiciones asegura que las de se transformen bajo rotaciones (ver más abajo) de la misma manera que las de , lo que a su vez garantiza que sean operadores tensoriales esféricos, , con y , que obedecen todas las propiedades de tales operadores, como el teorema de composición de Clebsch-Gordan y el teorema de Wigner-Eckart . Son, además, un conjunto estandarizado con una escala fija o normalización. ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$ ${\displaystyle k={\ell }}$ ${\displaystyle q=m}$

Forma cartesiana separada

La definición herglotziana produce polinomios que, si se desea, pueden factorizarse en un polinomio de y otro de y , como sigue (fase de Condon-Shortley): y para m = 0 : Aquí y Para esto se reduce a ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\left(-1\right)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$ $${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$$ $${\displaystyle A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),}$$ $${\displaystyle B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),}$$ $${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$$ ${\displaystyle m=0}$ $${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}.}$$

El factor es esencialmente el polinomio de Legendre asociado , y los factores son esencialmente . ${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)}$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle (A_{m}\pm iB_{m})}$ ${\displaystyle e^{\pm im\varphi }}$

Ejemplos

Utilizando las expresiones para , , y enumeradas explícitamente arriba obtenemos: ${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)}$ ${\displaystyle A_{m}(x,y)}$ ${\displaystyle B_{m}(x,y)}$ $${\displaystyle Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \theta e^{i\varphi }\right)}$$

$${\displaystyle Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)}$$Se puede verificar que esto concuerda con la función enumerada aquí y aquí .

Formas reales

Utilizando las ecuaciones anteriores para formar los armónicos esféricos reales, se ve que solo se incluyen los términos (cosenos), y solo se incluyen los términos (cosenos): ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle m<0}$ ${\displaystyle B_{m}}$

$${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$y para m = 0: $${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$$

Casos y valores especiales

1. Cuando , los armónicos esféricos se reducen a los polinomios de Legendre ordinarios : ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle Y_{\ell }^{0}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$$
2. Cuando , o más simplemente en coordenadas cartesianas, ${\displaystyle m=\pm \ell }$ $${\displaystyle Y_{\ell }^{\pm \ell }(\theta ,\varphi )={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}\sin ^{\ell }\theta \,e^{\pm i\ell \varphi },}$$ $${\displaystyle r^{\ell }Y_{\ell }^{\pm \ell }({\mathbf {r} })={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}(x\pm iy)^{\ell }.}$$
3. En el polo norte, donde , y no está definido, todos los armónicos esféricos excepto aquellos con se desvanecen: ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle m=0}$ $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}\delta _{m0}.}$$

Propiedades de simetría

Los armónicos esféricos tienen propiedades profundas y consecuentes bajo las operaciones de inversión espacial (paridad) y rotación.

Paridad

Los armónicos esféricos tienen paridad definida. Es decir, son pares o impares con respecto a la inversión sobre el origen. La inversión se representa mediante el operador . Entonces, como se puede ver de muchas maneras (quizás la más simple a partir de la función generadora de Herglotz), al ser un vector unitario, ${\displaystyle P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).}$$

En términos de los ángulos esféricos, la paridad transforma un punto con coordenadas en . El enunciado de la paridad de los armónicos esféricos es entonces (Esto se puede ver de la siguiente manera: Los polinomios de Legendre asociados dan (−1) ^{ℓ + m} y de la función exponencial tenemos (−1) ^m , dando en conjunto para los armónicos esféricos una paridad de (−1) ^ℓ .) ${\displaystyle \{\theta ,\varphi \}}$ ${\displaystyle \{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}}$ $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

La paridad sigue siendo válida para los armónicos esféricos reales y para los armónicos esféricos en dimensiones superiores: aplicar una reflexión puntual a un armónico esférico de grado ℓ cambia el signo en un factor de (−1) ^ℓ .

Rotaciones

La rotación de una función esférica real con m = 0 y ℓ = 3. Los coeficientes no son iguales a las D-matrices de Wigner, ya que se muestran funciones reales, pero se pueden obtener al volver a descomponer las funciones complejas.

Consideremos una rotación sobre el origen que envía el vector unitario a . Bajo esta operación, un armónico esférico de grado y orden se transforma en una combinación lineal de armónicos esféricos del mismo grado. Es decir, donde es una matriz de orden que depende de la rotación . Sin embargo, esta no es la forma estándar de expresar esta propiedad. En la forma estándar se escribe, ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),}$$ ${\displaystyle A_{mm'}}$ ${\displaystyle (2\ell +1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),}$$donde es el conjugado complejo de un elemento de la matriz D de Wigner . En particular, cuando es una rotación del acimut obtenemos la identidad, ${\displaystyle D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \phi _{0}}$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0}}.}$$

El comportamiento rotacional de los armónicos esféricos es quizás su característica por excelencia desde el punto de vista de la teoría de grupos. Las de grado proporcionan un conjunto básico de funciones para la representación irreducible del grupo SO(3) de dimensión . Muchos hechos sobre los armónicos esféricos (como el teorema de la adición) que se demuestran laboriosamente utilizando los métodos de análisis adquieren pruebas más simples y un significado más profundo utilizando los métodos de simetría. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (2\ell +1)}$

Expansión de armónicos esféricos

Los armónicos esféricos de Laplace forman un conjunto completo de funciones ortonormales y, por lo tanto, forman una base ortonormal del espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado . En la esfera unitaria , cualquier función integrable al cuadrado puede, por lo tanto, desarrollarse como una combinación lineal de estas: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Esta expansión se cumple en el sentido de convergencia cuadrática media —convergencia en L 2 de la esfera—, es decir que

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.}$$

Los coeficientes de expansión son análogos de los coeficientes de Fourier y se pueden obtener multiplicando la ecuación anterior por el conjugado complejo de un armónico esférico, integrando sobre el ángulo sólido Ω y utilizando las relaciones de ortogonalidad anteriores. Esto se justifica rigurosamente mediante la teoría básica del espacio de Hilbert. Para el caso de armónicos ortonormalizados, esto da:

$${\displaystyle f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).}$$

Si los coeficientes decaen en ℓ suficientemente rápido (por ejemplo, exponencialmente ), entonces la serie también converge uniformemente a f .

Una función integrable al cuadrado también se puede expandir en términos de los armónicos reales anteriores como una suma ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ).}$$

La convergencia de la serie se cumple nuevamente en el mismo sentido, es decir, los armónicos esféricos reales forman un conjunto completo de funciones ortonormales y, por lo tanto, forman una base ortonormal del espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado . El beneficio de la expansión en términos de las funciones armónicas reales es que para las funciones reales se garantiza que los coeficientes de expansión sean reales, mientras que sus coeficientes en su expansión en términos de (considerándolas como funciones ) no tienen esa propiedad. ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})}$ ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{\ell m}}$ ${\displaystyle f_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R} }$

Análisis del espectro

Espectro de potencia en el procesamiento de señales

La potencia total de una función f se define en la literatura sobre procesamiento de señales como la integral de la función al cuadrado dividida por el área de su dominio. Utilizando las propiedades de ortonormalidad de las funciones armónicas esféricas de potencia unitaria real, es sencillo verificar que la potencia total de una función definida en la esfera unitaria está relacionada con sus coeficientes espectrales mediante una generalización del teorema de Parseval (aquí, el teorema se enuncia para los armónicos seminormalizados de Schmidt, la relación es ligeramente diferente para los armónicos ortonormales):

$${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),}$$dónde $${\displaystyle S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m}|^{2}}$$

se define como el espectro de potencia angular (para armónicos seminormalizados de Schmidt). De manera similar, se puede definir la potencia cruzada de dos funciones como donde $${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),}$$ $${\displaystyle S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ell m}^{\ast }}$$

se define como el espectro de potencia cruzada. Si las funciones f y g tienen una media cero (es decir, los coeficientes espectrales f ₀₀ y g ₀₀ son cero), entonces S _ff ( ℓ ) y S _fg ( ℓ ) representan las contribuciones a la varianza y covarianza de la función para el grado ℓ , respectivamente. Es común que el espectro de potencia (cruzada) se aproxime bien mediante una ley de potencia de la forma

$${\displaystyle S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.}$$

Cuando β = 0 , el espectro es "blanco", ya que cada grado posee la misma potencia. Cuando β < 0 , el espectro se denomina "rojo", ya que hay más potencia en los grados bajos con longitudes de onda largas que en los grados superiores. Finalmente, cuando β > 0 , el espectro se denomina "azul". La condición sobre el orden de crecimiento de S _ff ( ℓ ) está relacionada con el orden de diferenciabilidad de f en la siguiente sección.

Propiedades de diferenciabilidad

También se pueden entender las propiedades de diferenciabilidad de la función original f en términos de la asintótica de S _ff ( ℓ ) . En particular, si S _ff ( ℓ ) decae más rápido que cualquier función racional de ℓ cuando ℓ → ∞ , entonces f es infinitamente diferenciable . Si, además, S _ff ( ℓ ) decae exponencialmente, entonces f es realmente analítica real en la esfera.

La técnica general consiste en utilizar la teoría de los espacios de Sobolev . Las afirmaciones que relacionan el crecimiento de S _ff ( ℓ ) con la diferenciabilidad son entonces similares a resultados análogos sobre el crecimiento de los coeficientes de las series de Fourier . Específicamente, si entonces f está en el espacio de Sobolev H ^s ( S ² ) . En particular, el teorema de incrustación de Sobolev implica que f es infinitamente diferenciable siempre que para todo s . $${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,}$$ $${\displaystyle S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}}$$

Propiedades algebraicas

Teorema de la adición

Un resultado matemático de considerable interés y utilidad es el llamado teorema de adición para armónicos esféricos. Dados dos vectores r y r′ , con coordenadas esféricas y , respectivamente, el ángulo entre ellos está dado por la relación en la que el papel de las funciones trigonométricas que aparecen en el lado derecho lo desempeñan los armónicos esféricos y el del lado izquierdo lo desempeñan los polinomios de Legendre . ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle (r',\theta ',\varphi ')}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')}$$

El teorema de la adición establece ^[17]

donde P _ℓ es el polinomio de Legendre de grado ℓ . Esta expresión es válida tanto para armónicos reales como complejos. ^[18] El resultado se puede demostrar analíticamente, utilizando las propiedades del núcleo de Poisson en la bola unitaria, o geométricamente aplicando una rotación al vector y de modo que apunte a lo largo del eje z , y luego calculando directamente el lado derecho. ^[19]

En particular, cuando x = y , esto da el teorema de Unsöld ^[20] que generaliza la identidad cos ² θ + sen ² θ = 1 a dos dimensiones. $${\displaystyle \sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell m}(\mathbf {x} )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}}$$

En la expansión ( 1 ), el lado izquierdo es un múltiplo constante del armónico esférico zonal de grado ℓ . Desde esta perspectiva, se tiene la siguiente generalización a dimensiones superiores. Sea Y _j una base ortonormal arbitraria del espacio H _ℓ de armónicos esféricos de grado ℓ en la n -esfera. Entonces , el armónico zonal de grado ℓ correspondiente al vector unitario x , se descompone como ^[21] ${\displaystyle P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$ ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}$

Además, el armónico zonal se da como un múltiplo constante del polinomio de Gegenbauer apropiado : ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })}$

Combinando ( 2 ) y ( 3 ) se obtiene ( 1 ) en dimensión n = 2 cuando x e y se representan en coordenadas esféricas. Finalmente, evaluando en x = y se obtiene la identidad funcional donde ω _{n −1} es el volumen de la ( n −1)-esfera. $${\displaystyle {\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}}$$

Regla de contracción

Otra identidad útil expresa el producto de dos armónicos esféricos como una suma sobre armónicos esféricos ^[22] . Muchos de los términos en esta suma son trivialmente cero. Los valores de y que resultan en términos distintos de cero en esta suma están determinados por las reglas de selección para los 3j-símbolos . $${\displaystyle Y_{a,\alpha }\left(\theta ,\varphi \right)Y_{b,\beta }\left(\theta ,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c}\left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c,\gamma }\left(\theta ,\varphi \right).}$$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \gamma }$

Coeficientes de Clebsch-Gordan

Los coeficientes de Clebsch-Gordan son los coeficientes que aparecen en la expansión del producto de dos armónicos esféricos en términos de los armónicos esféricos mismos. Hay una variedad de técnicas disponibles para hacer esencialmente el mismo cálculo, incluido el símbolo 3-jm de Wigner , los coeficientes de Racah y las integrales de Slater . De manera abstracta, los coeficientes de Clebsch-Gordan expresan el producto tensorial de dos representaciones irreducibles del grupo de rotación como una suma de representaciones irreducibles: adecuadamente normalizados, los coeficientes son entonces las multiplicidades.

Visualización de los armónicos esféricos

Representación esquemática de la función sobre la esfera unitaria y sus líneas nodales. es igual a 0 a lo largo de m círculos máximos que pasan por los polos y a lo largo de ℓ − m círculos de igual latitud. La función cambia de signo cada vez que cruza una de estas líneas. ${\displaystyle Y_{\ell m}}$ ${\displaystyle \Re [Y_{\ell m}]}$

Gráfico de color 3D de los armónicos esféricos de grado n = 5. Nótese que n = ℓ .

Los armónicos esféricos de Laplace se pueden visualizar considerando sus " líneas nodales ", es decir, el conjunto de puntos en la esfera donde , o alternativamente donde . Las líneas nodales de están compuestas de ℓ círculos: hay | m | círculos a lo largo de las longitudes y ℓ −| m | círculos a lo largo de las latitudes. Se puede determinar el número de líneas nodales de cada tipo contando el número de ceros de en las direcciones y respectivamente. Considerando como una función de , los componentes reales e imaginarios de los polinomios de Legendre asociados poseen cada uno ℓ −| m | ceros, cada uno dando lugar a una 'línea de latitud' nodal. Por otro lado, considerando como una función de , las funciones trigonométricas seno y coseno poseen 2| m | ceros, cada uno de los cuales da lugar a una 'línea de longitud' nodal. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \Re [Y_{\ell }^{m}]=0}$ ${\displaystyle \Im [Y_{\ell }^{m}]=0}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Cuando el orden armónico esférico m es cero (arriba a la izquierda en la figura), las funciones armónicas esféricas no dependen de la longitud y se denominan zonales . Estos armónicos esféricos son un caso especial de funciones esféricas zonales . Cuando ℓ = | m | (abajo a la derecha en la figura), no hay cruces por cero en latitud y las funciones se denominan sectoriales . En los demás casos, las funciones rodean la esfera y se denominan tesserales .

Los armónicos esféricos más generales de grado ℓ no son necesariamente los de la base de Laplace , y sus conjuntos nodales pueden ser de un tipo bastante general. ^[23] ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$

Lista de armónicos esféricos

Expresiones analíticas para los primeros armónicos esféricos de Laplace ortonormalizados que utilizan la convención de fase de Condon-Shortley: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{aligned}}}$$

Dimensiones superiores

Los armónicos esféricos clásicos se definen como funciones de valor complejo en la esfera unitaria dentro del espacio euclidiano tridimensional . Los armónicos esféricos se pueden generalizar al espacio euclidiano de dimensiones superiores de la siguiente manera, lo que conduce a funciones . ^[24] Sea P _ℓ el espacio de polinomios homogéneos de valor complejo de grado ℓ en n variables reales, consideradas aquí como funciones . Es decir, un polinomio p está en P _ℓ siempre que para cualquier real , se tenga ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} ).}$$

Sea A _ℓ el subespacio de P _ℓ que consiste en todos los polinomios armónicos : Estos son los armónicos esféricos sólidos (regulares) . Sea H _ℓ el espacio de funciones en la esfera unitaria obtenido por restricción de A _ℓ $${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.}$$ $${\displaystyle S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}}$$ $${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ for some }}p\in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in S^{n-1}\right\}.}$$

Se cumplen las siguientes propiedades:

• La suma de los espacios H _ℓ es densa en el conjunto de funciones continuas en con respecto a la topología uniforme , por el teorema de Stone-Weierstrass . Como resultado, la suma de estos espacios también es densa en el espacio L ² ( S ^{n −1} ) de funciones integrables al cuadrado en la esfera. Por lo tanto, cada función integrable al cuadrado en la esfera se descompone de manera única en una serie de armónicos esféricos, donde la serie converge en el sentido L ² . ${\displaystyle C(S^{n-1})}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$
• Para todo f ∈ H _ℓ , se tiene donde Δ _{S ^{n −1}} es el operador de Laplace–Beltrami en S ^{n −1} . Este operador es el análogo de la parte angular del Laplaciano en tres dimensiones; es decir, el Laplaciano en n dimensiones se descompone como $${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}}$$
• Del teorema de Stokes y de la propiedad precedente se deduce que los espacios H _ℓ son ortogonales respecto del producto interno de L ² ( S ^{n −1} ) . Es decir, para f ∈ H _ℓ y g ∈ H _k para k ≠ ℓ . $${\displaystyle \int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \Omega =0}$$
• Por el contrario, los espacios H _ℓ son precisamente los espacios propios de Δ _{S ^{n −1}} . En particular, una aplicación del teorema espectral al potencial de Riesz proporciona otra prueba de que los espacios H _ℓ son ortogonales por pares y completos en L ² ( S ^{n −1} ) . ${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}^{-1}}$
• Todo polinomio homogéneo p ∈ P _ℓ puede escribirse de forma única en la forma ^[25] donde p _j ∈ A _j . En particular, $${\displaystyle p(x)=p_{\ell }(x)+|x|^{2}p_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }p_{0}&\ell {\rm {\ even}}\\|x|^{\ell -1}p_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}={\binom {n+\ell -2}{n-2}}+{\binom {n+\ell -3}{n-2}}.}$$

Una base ortogonal de armónicos esféricos en dimensiones superiores se puede construir inductivamente mediante el método de separación de variables , resolviendo el problema de Sturm-Liouville para el laplaciano esférico donde φ es la coordenada axial en un sistema de coordenadas esféricas en S ^{n −1} . El resultado final de dicho procedimiento es ^[26] donde los índices satisfacen | ℓ ₁ | ≤ ℓ ₂ ≤ ⋯ ≤ ℓ _{n −1} y el valor propio es − ℓ _{n −1} ( ℓ _{n −1} + n −2) . Las funciones en el producto se definen en términos de la función de Legendre. $${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}}$$ $${\displaystyle Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})}$$ $${\displaystyle {}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.}$$

Conexión con la teoría de la representación

El espacio H _ℓ de armónicos esféricos de grado ℓ es una representación del grupo de simetría de rotaciones alrededor de un punto ( SO(3) ) y su doble recubrimiento SU(2) . De hecho, las rotaciones actúan sobre la esfera bidimensional y, por lo tanto, también sobre H _ℓ por composición de funciones para ψ un armónico esférico y ρ una rotación. La representación H _ℓ es una representación irreducible de SO(3). ^[27] $${\displaystyle \psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}}$$

The elements of H_ℓ arise as the restrictions to the sphere of elements of A_ℓ: harmonic polynomials homogeneous of degree ℓ on three-dimensional Euclidean space R³. By polarization of ψ ∈ A_ℓ, there are coefficients ${\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}}$ symmetric on the indices, uniquely determined by the requirement $${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.}$$The condition that ψ be harmonic is equivalent to the assertion that the tensor ${\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}}$ must be trace free on every pair of indices. Thus as an irreducible representation of SO(3), H_ℓ is isomorphic to the space of traceless symmetric tensors of degree ℓ.

More generally, the analogous statements hold in higher dimensions: the space H_ℓ of spherical harmonics on the n-sphere is the irreducible representation of SO(n+1) corresponding to the traceless symmetric ℓ-tensors. However, whereas every irreducible tensor representation of SO(2) and SO(3) is of this kind, the special orthogonal groups in higher dimensions have additional irreducible representations that do not arise in this manner.

The special orthogonal groups have additional spin representations that are not tensor representations, and are typically not spherical harmonics. An exception are the spin representation of SO(3): strictly speaking these are representations of the double cover SU(2) of SO(3). In turn, SU(2) is identified with the group of unit quaternions, and so coincides with the 3-sphere. The spaces of spherical harmonics on the 3-sphere are certain spin representations of SO(3), with respect to the action by quaternionic multiplication.

Connection with hemispherical harmonics

Spherical harmonics can be separated into two set of functions.^[28] One is hemispherical functions (HSH), orthogonal and complete on hemisphere. Another is complementary hemispherical harmonics (CHSH).

Generalizations

The angle-preserving symmetries of the two-sphere are described by the group of Möbius transformations PSL(2,C). With respect to this group, the sphere is equivalent to the usual Riemann sphere. The group PSL(2,C) is isomorphic to the (proper) Lorentz group, and its action on the two-sphere agrees with the action of the Lorentz group on the celestial sphere in Minkowski space. The analog of the spherical harmonics for the Lorentz group is given by the hypergeometric series; furthermore, the spherical harmonics can be re-expressed in terms of the hypergeometric series, as SO(3) = PSU(2) is a subgroup of PSL(2,C).

More generally, hypergeometric series can be generalized to describe the symmetries of any symmetric space; in particular, hypergeometric series can be developed for any Lie group.^{[29][30][31][32]}

See also

• Cubic harmonic (often used instead of spherical harmonics in computations)
• Cylindrical harmonics
• Spherical basis
• Spinor spherical harmonics
• Spin-weighted spherical harmonics
• Sturm–Liouville theory
• Table of spherical harmonics
• Vector spherical harmonics
• Zernike polynomials
• Jacobi polynomials
• Atomic orbital

Notes

1. A historical account of various approaches to spherical harmonics in three dimensions can be found in Chapter IV of MacRobert 1967. The term "Laplace spherical harmonics" is in common use; see Courant & Hilbert 1962 and Meijer & Bauer 2004.
2. The approach to spherical harmonics taken here is found in (Courant & Hilbert 1962, §V.8, §VII.5).
3. Physical applications often take the solution that vanishes at infinity, making A = 0. This does not affect the angular portion of the spherical harmonics.
4. Weisstein, Eric W. "Spherical Harmonic". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2023-05-10.
5. Edmonds 1957, §2.5
6. Hall 2013 Section 17.6
7. Hall 2013 Lemma 17.16
8. Williams, Earl G. (1999). Fourier acoustics : sound radiation and nearfield acoustical holography. San Diego, Calif.: Academic Press. ISBN 0080506909. OCLC 181010993.
9. Messiah, Albert (1999). Quantum mechanics : two volumes bound as one (Two vol. bound as one, unabridged reprint ed.). Mineola, NY: Dover. ISBN 9780486409245.
10. Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu; Franck Laloë (1996). Quantum mechanics. Translated by Susan Reid Hemley; et al. Wiley-Interscience: Wiley. ISBN 9780471569527.
11. Blakely, Richard (1995). Potential theory in gravity and magnetic applications. Cambridge England New York: Cambridge University Press. p. 113. ISBN 978-0521415088.
12. Heiskanen and Moritz, Physical Geodesy, 1967, eq. 1-62
13. Weisstein, Eric W. "Condon-Shortley Phase". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2022-11-02.
14. Whittaker & Watson 1927, p. 392.
15. See, e.g., Appendix A of Garg, A., Classical Electrodynamics in a Nutshell (Princeton University Press, 2012).
16. Li, Feifei; Braun, Carol; Garg, Anupam (2013), "The Weyl-Wigner-Moyal Formalism for Spin", Europhysics Letters, 102 (6): 60006, arXiv:1210.4075, Bibcode:2013EL....10260006L, doi:10.1209/0295-5075/102/60006, S2CID 119610178
17. Edmonds, A. R. (1996). Angular Momentum In Quantum Mechanics. Princeton University Press. p. 63.
18. This is valid for any orthonormal basis of spherical harmonics of degree ℓ. For unit power harmonics it is necessary to remove the factor of 4π.
19. Whittaker & Watson 1927, p. 395
20. Unsöld 1927
21. Stein & Weiss 1971, §IV.2
22. Brink, D. M.; Satchler, G. R. Angular Momentum. Oxford University Press. p. 146.
23. Eremenko, Jakobson & Nadirashvili 2007
24. Solomentsev 2001; Stein & Weiss 1971, §Iv.2
25. Cf. Corollary 1.8 of Axler, Sheldon; Ramey, Wade (1995), Harmonic Polynomials and Dirichlet-Type Problems
26. Higuchi, Atsushi (1987). "Symmetric tensor spherical harmonics on the N-sphere and their application to the de Sitter group SO(N,1)". Journal of Mathematical Physics. 28 (7): 1553–1566. Bibcode:1987JMP....28.1553H. doi:10.1063/1.527513.
27. Hall 2013 Corollary 17.17
28. Zheng Y, Wei K, Liang B, Li Y, Chu X (2019-12-23). "Zernike like functions on spherical cap: principle and applications in optical surface fitting and graphics rendering". Optics Express. 27 (26): 37180–37195. Bibcode:2019OExpr..2737180Z. doi:10.1364/OE.27.037180. ISSN 1094-4087. PMID 31878503.
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30. J. D. Talman, Special Functions, A Group Theoretic Approach, (based on lectures by E.P. Wigner), W. A. Benjamin, New York (1968).
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References

Cited references

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• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927), Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press , pág. 392.

Referencias generales

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• DA Varshalovich, AN Moskalev, VK Khersonskii Teoría cuántica del momento angular (1988) World Scientific Publishing Co., Singapur, ISBN 9971-5-0107-4 
• Weisstein, Eric W. "Armónicos esféricos". MathWorld .
• Maddock, John, Armónicos esféricos en Boost.Math

Enlaces externos

• Armónicos esféricos en MathWorld
• Representación 3D de armónicos esféricos