Integrales de Slater

En matemáticas y física matemática, las integrales de Slater son ciertas integrales de productos de tres armónicos esféricos . Ocurren naturalmente al aplicar una base ortonormal de funciones en la esfera unitaria que se transforman de una manera particular bajo rotaciones en tres dimensiones. Estas integrales son particularmente útiles cuando se calculan propiedades de átomos que tienen simetría esférica natural. Estas integrales se definen a continuación junto con algunas de sus propiedades matemáticas.

Formulación

En relación con la teoría cuántica de la estructura atómica , John C. Slater definió la integral de tres armónicos esféricos como un coeficiente . ^[1] Estos coeficientes son esencialmente el producto de dos símbolos Wigner 3jm . ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')=\int d^{2}\Omega \ Y_{\ell }^{m}(\Omega )^{*}Y_{\ell '}^{m'}(\Omega )Y_{k}^{m-m'}(\Omega )}$

Estas integrales son útiles y necesarias al realizar cálculos atómicos de la variedad Hartree-Fock donde se necesitan elementos matriciales del operador de Coulomb y del operador de Exchange . Para obtener una fórmula explícita, se puede utilizar la fórmula de Gaunt para polinomios de Legendre asociados .

Tenga en cuenta que el producto de dos armónicos esféricos se puede escribir en términos de estos coeficientes. Expandiendo dicho producto sobre una base armónica esférica con el mismo orden

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}{\hat {A}}^{\ell ''}(\ell ,m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}$

Luego se puede multiplicar e integrar, usando la propiedad conjugada y teniendo cuidado con las fases y normalizaciones: ${\displaystyle Y^{*}}$

${\displaystyle \int Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}Y_{L}^{-M}d^{2}\Omega =(-1)^{m+m'}{\hat {A}}^{L}(\ell ,m,\ell ',m')=(-1)^{m}c^{L}(\ell ,-m,\ell ',m').}$

Por eso

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}(-1)^{m'}c^{\ell ''}(\ell ,-m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}$

Estos coeficientes obedecen a una serie de identidades. Incluyen

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')&=c^{k}(\ell ,-m,\ell ',-m')\\&=(-1)^{m-m'}c^{k}(\ell ',m',\ell ,m)\\&=(-1)^{m-m'}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{2k+1}}}c^{\ell }(\ell ',m',k,m'-m)\\&=(-1)^{m'}{\sqrt {\frac {2\ell '+1}{2k+1}}}c^{\ell '}(k,m-m',\ell ,m).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ,m)&=(2\ell +1)\delta _{k,0}.\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }\sum _{m'=-\ell '}^{\ell '}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')c^{k}(\ell ,m,{\tilde {\ell }},m')&=\delta _{\ell ',{\tilde {\ell }}}\cdot {\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{k}(\ell ,m+r,{\tilde {\ell }},m)&=\delta _{\ell ,{\tilde {\ell }}}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{q}(\ell ,m+r,\ell ',m)&=\delta _{k,q}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\end{aligned}}}$

Referencias

1. John C. Slater, Teoría cuántica de la estructura atómica, McGraw-Hill (Nueva York, 1960), Volumen I