Integrales de Slater

En matemáticas y física matemática, las integrales de Slater son ciertas integrales de productos de tres armónicos esféricos . Se producen de forma natural al aplicar una base ortonormal de funciones en la esfera unitaria que se transforman de una manera particular bajo rotaciones en tres dimensiones. Dichas integrales son particularmente útiles al calcular propiedades de átomos que tienen simetría esférica natural. Estas integrales se definen a continuación junto con algunas de sus propiedades matemáticas.

Formulación

En relación con la teoría cuántica de la estructura atómica , John C. Slater definió la integral de tres armónicos esféricos como un coeficiente . ^[1] Estos coeficientes son esencialmente el producto de dos símbolos de Wigner 3jm . ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')=\int d^{2}\Omega \ Y_{\ell }^{m}(\Omega )^{*}Y_{\ell '}^{m'}(\Omega )Y_{k}^{m-m'}(\Omega )}$

Estas integrales son útiles y necesarias cuando se realizan cálculos atómicos de la variedad Hartree-Fock , donde se necesitan elementos matriciales del operador de Coulomb y del operador de intercambio . Para una fórmula explícita, se puede utilizar la fórmula de Gaunt para polinomios de Legendre asociados .

Nótese que el producto de dos armónicos esféricos se puede escribir en términos de estos coeficientes. Al expandir dicho producto sobre una base armónica esférica con el mismo orden

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}{\hat {A}}^{\ell ''}(\ell ,m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}$

Luego se puede multiplicar por e integrar, utilizando la propiedad conjugada y teniendo cuidado con las fases y normalizaciones: ${\displaystyle Y^{*}}$

${\displaystyle \int Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}Y_{L}^{-M}d^{2}\Omega =(-1)^{m+m'}{\hat {A}}^{L}(\ell ,m,\ell ',m')=(-1)^{m}c^{L}(\ell ,-m,\ell ',m').}$

Por eso

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}(-1)^{m'}c^{\ell ''}(\ell ,-m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}$

Estos coeficientes obedecen a una serie de identidades, entre las que se incluyen:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')&=c^{k}(\ell ,-m,\ell ',-m')\\&=(-1)^{m-m'}c^{k}(\ell ',m',\ell ,m)\\&=(-1)^{m-m'}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{2k+1}}}c^{\ell }(\ell ',m',k,m'-m)\\&=(-1)^{m'}{\sqrt {\frac {2\ell '+1}{2k+1}}}c^{\ell '}(k,m-m',\ell ,m).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ,m)&=(2\ell +1)\delta _{k,0}.\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }\sum _{m'=-\ell '}^{\ell '}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')c^{k}(\ell ,m,{\tilde {\ell }},m')&=\delta _{\ell ',{\tilde {\ell }}}\cdot {\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{k}(\ell ,m+r,{\tilde {\ell }},m)&=\delta _{\ell ,{\tilde {\ell }}}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{q}(\ell ,m+r,\ell ',m)&=\delta _{k,q}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\end{aligned}}}$

Referencias

1. John C. Slater, Teoría cuántica de la estructura atómica, McGraw-Hill (Nueva York, 1960), Volumen I