Coeficientes de Clebsch-Gordan

Coeficientes en estados propios del momento angular de sistemas cuánticos

En física , los coeficientes de Clebsch-Gordan ( CG ) son números que surgen en el acoplamiento de momento angular en la mecánica cuántica . Aparecen como coeficientes de expansión de los estados propios del momento angular total en una base de producto tensorial desacoplado . En términos más matemáticos, los coeficientes CG se utilizan en la teoría de la representación , particularmente de grupos compactos de Lie , para realizar la descomposición suma directa explícita del producto tensorial de dos representaciones irreducibles (es decir, una representación reducible en representaciones irreducibles, en los casos en que los números y los tipos de componentes irreducibles ya se conocen de forma abstracta). El nombre deriva de los matemáticos alemanes Alfred Clebsch y Paul Gordan , quienes encontraron un problema equivalente en la teoría invariante .

Desde una perspectiva de cálculo vectorial , los coeficientes CG asociados con el grupo SO(3) se pueden definir simplemente en términos de integrales de productos de armónicos esféricos y sus conjugados complejos. La suma de espines en términos de mecánica cuántica se puede leer directamente desde este enfoque, ya que los armónicos esféricos son funciones propias del momento angular total y su proyección sobre un eje, y las integrales corresponden al producto interno del espacio de Hilbert . ^[1] A partir de la definición formal de momento angular, se pueden encontrar relaciones de recursividad para los coeficientes de Clebsch-Gordan. También existen complicadas fórmulas explícitas para su cálculo directo. ^[2]

Las fórmulas siguientes utilizan la notación bra-ket de Dirac y se adopta la convención de fases de Condon-Shortley ^{[3] .}

Revisión de los operadores de momento angular.

Los operadores de momento angular son operadores autoadjuntos j _x , j _y y j _z que satisfacen las relaciones de conmutación donde ε _klm es el símbolo de Levi-Civita . Juntos, los tres operadores definen un operador vectorial , un operador tensor cartesiano de rango uno . También se conoce como vector esférico , ya que también es un operador tensor esférico. Sólo para el rango uno los operadores tensoriales esféricos coinciden con los operadores tensoriales cartesianos. $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathrm {j} _{k},\mathrm {j} _{l}]\equiv \mathrm {j} _{k}\mathrm {j} _{l}-\mathrm {j} _{l}\mathrm {j} _{k}=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {j} _{m}&k,l,m&\in \{\mathrm {x,y,z} \},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {j} =(\mathrm {j_{x}} ,\mathrm {j_{y}} ,\mathrm {j_{z}} ).}$$

Desarrollando más este concepto, se puede definir otro operador j ² como el producto interno de j consigo mismo: este es un ejemplo de un operador Casimir . Es diagonal y su valor propio caracteriza la representación irreducible particular del álgebra del momento angular . Esto se interpreta físicamente como el cuadrado del momento angular total de los estados sobre los que actúa la representación. $${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathrm {j_{x}^{2}} +\mathrm {j_{y}^{2}} +\mathrm {j_{z}^{2}} .}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong {\mathfrak {su}}(2)}$

También se pueden definir operadores de elevación ( j ₊ ) y descenso ( j ₋ ), los llamados operadores de escalera , $${\displaystyle \mathrm {j_{\pm }} =\mathrm {j_{x}} \pm i\mathrm {j_{y}} .}$$

Base esférica para estados propios de momento angular

A partir de las definiciones anteriores se puede demostrar que j ² conmuta con j _x , j _y y j _z : $${\displaystyle {\begin{aligned}&[\mathbf {j} ^{2},\mathrm {j} _{k}]=0&k&\in \{\mathrm {x} ,\mathrm {y} ,\mathrm {z} \}.\end{aligned}}}$$

Cuando dos operadores hermitianos conmutan, existe un conjunto común de estados propios. Convencionalmente, se eligen j ² y j _z . A partir de las relaciones de conmutación se pueden encontrar los posibles valores propios. Estos estados propios se denotan | j m ⟩ donde j es el número cuántico del momento angular y m es la proyección del momento angular sobre el eje z.

Comprenden la base esférica , son completos y satisfacen las siguientes ecuaciones de valores propios, $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}|j\,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle ,&j&\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots \}\\\mathrm {j_{z}} |j\,m\rangle &=\hbar m|j\,m\rangle ,&m&\in \{-j,-j+1,\ldots ,j\}.\end{aligned}}}$$

Los operadores de subida y bajada se pueden utilizar para alterar el valor de m , donde el coeficiente de escalera viene dado por: $${\displaystyle \mathrm {j} _{\pm }|j\,m\rangle =\hbar C_{\pm }(j,m)|j\,(m\pm 1)\rangle ,}$$

En principio, también se puede introducir un factor de fase (posiblemente complejo) en la definición de . La elección realizada en este artículo está de acuerdo con la convención de fase Condon-Shortley . Los estados del momento angular son ortogonales (porque sus valores propios con respecto a un operador hermitiano son distintos) y se supone que están normalizados. ${\displaystyle C_{\pm }(j,m)}$ $${\displaystyle \langle j\,m|j'\,m'\rangle =\delta _{j,j'}\delta _{m,m'}.}$$

Aquí, las j y m en cursiva denotan números cuánticos de momento angular enteros o semienteros de una partícula o de un sistema. Por otro lado, los operadores romanos j _x , j _y , j _z , j ₊ , j ₋ y j ² . Los símbolos son deltas de Kronecker . ${\displaystyle \delta }$

Espacio de producto tensorial

Consideremos ahora sistemas con dos momentos angulares físicamente diferentes j ₁ y j ₂ . Los ejemplos incluyen el espín y el momento angular orbital de un solo electrón, o los espines de dos electrones, o los momentos angulares orbitales de dos electrones. Matemáticamente, esto significa que los operadores de momento angular actúan en un espacio de dimensión y también en un espacio de dimensión . Luego vamos a definir una familia de operadores de "momento angular total" que actúan sobre el espacio del producto tensorial , que tiene dimensión . La acción del operador de momento angular total en este espacio constituye una representación del álgebra de Lie SU(2), pero reducible. La reducción de esta representación reducible en piezas irreductibles es el objetivo de la teoría de Clebsch-Gordan. ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle 2j_{1}+1}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle 2j_{2}+1}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ ${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$

Sea V ₁ el espacio vectorial (2 j ₁ + 1) dimensional abarcado por los estados y V ₂ el espacio vectorial (2 j ₂ + 1) dimensional abarcado por los estados. $${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{1}\,m_{1}\rangle ,&m_{1}&\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\}\end{aligned}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&|j_{2}\,m_{2}\rangle ,&m_{2}&\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}\end{aligned}}.}$$

El producto tensorial de estos espacios, V ₃ ≡ V ₁ ⊗ V ₂ , tiene una base desacoplada (2 j ₁ + 1) (2 j ₂ + 1) dimensional. Los operadores de momento angular están definidos para actuar sobre estados en V ₃ en el siguiente manera: y donde 1 denota el operador de identidad. $${\displaystyle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle ,\quad m_{1}\in \{-j_{1},-j_{1}+1,\ldots ,j_{1}\},\quad m_{2}\in \{-j_{2},-j_{2}+1,\ldots ,j_{2}\}.}$$ $${\displaystyle (\mathbf {j} \otimes 1)|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \mathbf {j} |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes |j_{2}\,m_{2}\rangle }$$ $${\displaystyle (1\otimes \mathrm {\mathbf {j} } )|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv |j_{1}\,m_{1}\rangle \otimes \mathbf {j} |j_{2}\,m_{2}\rangle ,}$$

Los operadores de momento angular total ^{[nb 1]} están definidos por el coproducto (o producto tensorial ) de las dos representaciones que actúan sobre V ₁ ⊗ V ₂ ,

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} _{1}\otimes 1+1\otimes \mathbf {j} _{2}~.}$

Se puede demostrar que los operadores de momento angular total satisfacen las mismas relaciones de conmutación , donde k , l , m ∈ { x , y , z } . De hecho, la construcción anterior es el método estándar ^[4] para construir una acción de un álgebra de Lie sobre una representación de producto tensorial. $${\displaystyle [\mathrm {J} _{k},\mathrm {J} _{l}]=i\hbar \varepsilon _{klm}\mathrm {J} _{m}~,}$$

Por lo tanto, también existe un conjunto de estados propios acoplados para el operador de momento angular total, para M ∈ {− J , − J + 1, ..., J } . Tenga en cuenta que es común omitir la parte [ j ₁ j ₂ ] . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar ^{2}J(J+1)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \\\mathrm {J_{z}} |[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar M|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle \end{aligned}}}$$

El número cuántico de momento angular total J debe satisfacer la condición triangular de modo que los tres valores enteros o semienteros no negativos puedan corresponder a los tres lados de un triángulo. ^[5] $${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2},}$$

El número total de estados propios del momento angular total es necesariamente igual a la dimensión de V ₃ : como sugiere este cálculo, la representación del producto tensorial se descompone como la suma directa de una copia de cada una de las representaciones irreducibles de dimensión , donde varía de a en incrementos. de 1. ^[6] Como ejemplo, considere el producto tensorial de la representación tridimensional correspondiente a la representación bidimensional con . Los valores posibles de son entonces y . Por tanto, la representación del producto tensorial de seis dimensiones se descompone como la suma directa de una representación bidimensional y una representación de cuatro dimensiones. $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)~.}$$ ${\displaystyle 2J+1}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|}$ ${\displaystyle j_{1}+j_{2}}$ ${\displaystyle j_{1}=1}$ ${\displaystyle j_{2}=1/2}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J=1/2}$ ${\displaystyle J=3/2}$

El objetivo ahora es describir explícitamente la descomposición anterior, es decir, describir explícitamente elementos básicos en el espacio del producto tensorial para cada una de las representaciones de componentes que surgen.

Los estados de momento angular total forman una base ortonormal de V ₃ : $${\displaystyle \left\langle J\,M|J'\,M'\right\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}~.}$$

Estas reglas se pueden iterar para, por ejemplo, combinar n dobletes ( s = 1/2) para obtener la serie de descomposición de Clebsch-Gordan ( triángulo de Catalán ), donde es la función suelo entera ; y el número que precede a la etiqueta de dimensionalidad de representación irreducible en negrita ( 2 j +1 ) indica la multiplicidad de esa representación en la reducción de representación. ^[7] Por ejemplo, a partir de esta fórmula, la suma de tres giros 1/2 produce un giro 3/2 y dos giros 1/2 ,. $${\displaystyle \mathbf {2} ^{\otimes n}=\bigoplus _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }~\left({\frac {n+1-2k}{n+1}}{n+1 \choose k}\right)~(\mathbf {n} +\mathbf {1} -\mathbf {2} \mathbf {k} )~,}$$ ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }\otimes {\mathbf {2} }={\mathbf {4} }\oplus {\mathbf {2} }\oplus {\mathbf {2} }}$

Definición formal de los coeficientes de Clebsch-Gordan

Los estados acoplados se pueden expandir a través de la relación de completitud (resolución de identidad) en la base desacoplada.

Los coeficientes de expansión.

$${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

son los coeficientes de Clebsch-Gordan . Tenga en cuenta que algunos autores los escriben en un orden diferente, como ⟨ j ₁ j ₂ ; metro ₁ metro ₂ | JM⟩ .​​ Otra notación común es ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | J M ⟩ = C^JM
_{j 1 m 1 j 2 m 2}.

Aplicando los operadores

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} &=\mathrm {j} \otimes 1+1\otimes \mathrm {j} \\\mathrm {J} _{\mathrm {z} }&=\mathrm {j} _{\mathrm {z} }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\mathrm {z} }\end{aligned}}}$$

a ambos lados de la ecuación definitoria muestra que los coeficientes de Clebsch-Gordan sólo pueden ser distintos de cero cuando

$${\displaystyle {\begin{aligned}|j_{1}-j_{2}|\leq J&\leq j_{1}+j_{2}\\M&=m_{1}+m_{2}.\end{aligned}}}$$

Relaciones de recursividad

Las relaciones de recursión fueron descubiertas por el físico Giulio Racah de la Universidad Hebrea de Jerusalén en 1941.

La aplicación de los operadores de elevación y descenso del momento angular total al lado izquierdo de la ecuación de definición da. La aplicación de los mismos operadores al lado derecho da $${\displaystyle \mathrm {J} _{\pm }=\mathrm {j} _{\pm }\otimes 1+1\otimes \mathrm {j} _{\pm }}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,M\rangle &=\hbar C_{\pm }(J,M)|[j_{1}\,j_{2}]\,J\,(M\pm 1)\rangle \\&=\hbar C_{\pm }(J,M)\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {J} _{\pm }&\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}{\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1})|j_{1}\,(m_{1}\pm 1)\,j_{2}\,m_{2}\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2})|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\pm 1)\rangle {\Bigr )}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \\=\hbar &\sum _{m_{1},m_{2}}|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle {\Bigl (}C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle {\Bigr )}.\end{aligned}}}$$

La combinación de estos resultados da relaciones de recursividad para los coeficientes de Clebsch-Gordan, donde C _± se definió en 1 : $${\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,(M\pm 1)\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}\,(m_{1}\mp 1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}\mp 1)|J\,M\rangle .}$$

Tomando el signo superior con la condición de que M = J da una relación de recursividad inicial: en la convención de fase de Condon-Shortley, se agrega la restricción de que $${\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}\,(m_{1}-1)\,j_{2}\,m_{2}|J\,J\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,(m_{2}-1)|J\,J\rangle .}$$

${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,(J-j_{1})|J\,J\rangle >0}$

(y por tanto también es real). Los coeficientes de Clebsch-Gordan ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ m ₂ | Luego se puede encontrar J M ⟩ a partir de estas relaciones de recursividad. La normalización está fijada por el requisito de que la suma de los cuadrados, lo que equivale al requisito de que la norma del estado |[ j ₁ j ₂ ] J J ⟩ debe ser uno.

El signo inferior en la relación de recursividad se puede utilizar para encontrar todos los coeficientes de Clebsch-Gordan con M = J − 1 . El uso repetido de esa ecuación da todos los coeficientes.

Este procedimiento para encontrar los coeficientes de Clebsch-Gordan muestra que todos son reales en la convención de fases de Condon-Shortley.

expresión explícita

Relaciones de ortogonalidad

Estos se escriben más claramente introduciendo la notación alternativa. $${\displaystyle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle }$$

La primera relación de ortogonalidad es (derivada del hecho de que ) y la segunda es $${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle J\,M|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,m_{1}'\,j_{2}\,m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$$ ${\textstyle \mathbf {1} =\sum _{x}|x\rangle \langle x|}$ $${\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2}}\langle J\,M|j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J'\,M'\rangle =\langle J\,M|J'\,M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}.}$$

Casos especiales

Para J = 0, los coeficientes de Clebsch-Gordan vienen dados por $${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|0\,0\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{1}+1}}}.}$$

Para J = j ₁ + j ₂ y M = J tenemos $${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{2}\,j_{2}|(j_{1}+j_{2})\,(j_{1}+j_{2})\rangle =1.}$$

Para j ₁ = j ₂ = J / 2 y m ₁ = − m ₂ tenemos $${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{1}\,(-m_{1})|(2j_{1})\,0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}.}$$

Para j ₁ = j ₂ = m ₁ = − m ₂ tenemos $${\displaystyle \langle j_{1}\,j_{1}\,j_{1}\,(-j_{1})|J\,0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}.}$$

Para j ₂ = 1 , m ₂ = 0 tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}+1)\,m\rangle &={\sqrt {\frac {(j_{1}-m+1)(j_{1}+m+1)}{(2j_{1}+1)(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|j_{1}\,m\rangle &={\frac {m}{\sqrt {j_{1}(j_{1}+1)}}}\\\langle j_{1}\,m\,1\,0|(j_{1}-1)\,m\rangle &=-{\sqrt {\frac {(j_{1}-m)(j_{1}+m)}{j_{1}(2j_{1}+1)}}}\end{aligned}}}$$

Para j ₂ = 1/2 tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j_{1}\,\left(M-{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{2}}{\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &=\pm {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\\\left\langle j_{1}\,\left(M+{\frac {1}{2}}\right)\,{\frac {1}{2}}\,\left(-{\frac {1}{2}}\right){\Bigg |}\left(j_{1}\pm {\frac {1}{2}}\right)\,M\right\rangle &={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1\mp {\frac {M}{j_{1}+{\frac {1}{2}}}}\right)}}\end{aligned}}}$$

Propiedades de simetría

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,(-m_{1})\,j_{2}\,(-m_{2})|J\,(-M)\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}\,m_{2}\,j_{1}\,m_{1}|J\,M\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,J\,(-M)|j_{2}\,(-m_{2})\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,(-M)\,j_{2}\,m_{2}|j_{1}\,(-m_{1})\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle J\,M\,j_{1}\,(-m_{1})|j_{2}\,m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,(-m_{2})\,J\,M|j_{1}\,m_{1}\rangle \end{aligned}}}$$

Una forma conveniente de derivar estas relaciones es convertir los coeficientes de Clebsch-Gordan a símbolos Wigner 3-j usando 3 . Las propiedades de simetría de los símbolos Wigner 3-j son mucho más simples.

Reglas para factores de fase.

Es necesario tener cuidado al simplificar los factores de fase: un número cuántico puede ser un semientero en lugar de un número entero, por lo tanto (−1) ^{2 k} no es necesariamente 1 para un número cuántico k dado a menos que se pueda demostrar que es un número entero. En cambio, se reemplaza por la siguiente regla más débil: para cualquier número cuántico similar a un momento angular k . $${\displaystyle (-1)^{4k}=1}$$

No obstante, una combinación de j _i y m _i es siempre un número entero, por lo que se aplica la regla más estricta para estas combinaciones: esta identidad también se cumple si el signo de j _i o m _i o de ambos se invierte. $${\displaystyle (-1)^{2(j_{i}-m_{i})}=1}$$

Es útil observar que cualquier factor de fase para un par dado ( j _i , m _i ) se puede reducir a la forma canónica: donde a ∈ {0, 1, 2, 3} y b ∈ {0, 1} (otros las convenciones también son posibles). La conversión de factores de fase a esta forma facilita saber si dos factores de fase son equivalentes. (Tenga en cuenta que esta forma es sólo canónica localmente : no tiene en cuenta las reglas que gobiernan las combinaciones de pares ( ji _, m _i ) como la que se describe en el siguiente párrafo) . $${\displaystyle (-1)^{aj_{i}+b(j_{i}-m_{i})}}$$

Se aplica una regla adicional para combinaciones de j ₁ , j ₂ y j ₃ que están relacionadas por un coeficiente de Clebsch-Gordan o un símbolo Wigner 3-j: esta identidad también se cumple si el signo de cualquier j _i está invertido, o si cualquiera de en su lugar , se sustituyen por una m _i . $${\displaystyle (-1)^{2(j_{1}+j_{2}+j_{3})}=1}$$

Relación con los símbolos Wigner 3-j

Los coeficientes de Clebsch-Gordan están relacionados con los símbolos Wigner 3-j que tienen relaciones de simetría más convenientes.

El factor (−1) ^{2 j ₂} se debe a la restricción de Condon-Shortley de que ⟨ j ₁ j ₁ j ₂ ( J − j ₁ )| JJ ⟩ > 0 , mientras que (–1) ^{J − M} se debe a la naturaleza invertida en el tiempo de | JM⟩ .​

Esto permite llegar a la expresión general:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle &\equiv \delta (m_{1}+m_{2},M){\sqrt {\frac {(2J+1)(j_{1}+j_{2}-J)!(j_{1}-j_{2}+J)!(-j_{1}+j_{2}+J)!}{(j_{1}+j_{2}+J+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(J-M)!(J+M)!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-J-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(J-j_{2}+m_{1}+k)!(J-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}.}$

La suma se realiza sobre aquellos valores enteros k para los cuales el argumento de cada factorial en el denominador no es negativo, es decir, los límites de la suma K y N se consideran iguales: el inferior es el superior. Los factoriales de números negativos se consideran convencionalmente iguales a cero. , de modo que los valores del símbolo 3 j en, por ejemplo, o se establezcan automáticamente en cero. ${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-J-m_{1},j_{1}-J+m_{2}),}$ ${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-J,j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$ ${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$ ${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$

Relación con las matrices D de Wigner

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,D_{M,K}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{m_{1},k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2},k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\\{}={}&{\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|J\,M\rangle \langle j_{1}\,k_{1}\,j_{2}\,k_{2}|J\,K\rangle \end{aligned}}}$$

Relación con los armónicos esféricos

En el caso de que se trate de números enteros, los coeficientes se pueden relacionar con integrales de armónicos esféricos : $${\displaystyle \int _{4\pi }Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}{}^{*}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}{}^{*}(\Omega )Y_{L}^{M}(\Omega )\,d\Omega ={\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle }$$

De esto y de la ortonormalidad de los armónicos esféricos se deduce que los coeficientes CG son de hecho los coeficientes de expansión de un producto de dos armónicos esféricos en términos de un solo armónico esférico: $${\displaystyle Y_{\ell _{1}}^{m_{1}}(\Omega )Y_{\ell _{2}}^{m_{2}}(\Omega )=\sum _{L,M}{\sqrt {\frac {(2\ell _{1}+1)(2\ell _{2}+1)}{4\pi (2L+1)}}}\langle \ell _{1}\,0\,\ell _{2}\,0|L\,0\rangle \langle \ell _{1}\,m_{1}\,\ell _{2}\,m_{2}|L\,M\rangle Y_{L}^{M}(\Omega )}$$

Otras propiedades

$${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle j\,m\,j\,(-m)|J\,0\rangle =\delta _{J,0}{\sqrt {2j+1}}}$$

Coeficientes de Clebsch-Gordan para grupos específicos

Para grupos arbitrarios y sus representaciones, los coeficientes de Clebsch-Gordan no se conocen en general. Sin embargo, se conocen algoritmos para producir coeficientes de Clebsch-Gordan para el grupo unitario especial SU ( n ). ^{[8] [9]} En particular, los coeficientes SU(3) de Clebsch-Gordan se han calculado y tabulado debido a su utilidad para caracterizar las desintegraciones hadrónicas, donde existe una simetría de sabor -SU(3) que relaciona las fases arriba , abajo y extraña. quarks. ^{[10] [11] [12]} Está disponible una interfaz web para tabular los coeficientes SU(N) de Clebsch-Gordan.

Ver también

• símbolo 3-j
• símbolo 6-j
• símbolo 9-j
• Racah coeficiente W
• Armónicos esféricos
• base esférica
• Productos tensoriales de representaciones.
• Polinomios de Legendre asociados
• Momento angular
• Acoplamiento de momento angular
• Número cuántico del momento angular total
• Número cuántico azimutal
• Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan
• Matriz D Wigner
• Teorema de Wigner-Eckart
• Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
• Coeficiente de Clebsch-Gordan para SU(3)
• Coeficiente de Littlewood-Richardson

Observaciones

1. La palabra "total" a menudo se sobrecarga para significar varias cosas diferentes. En este artículo, "momento angular total" se refiere a una suma genérica de dos operadores de momento angular j ₁ y j ₂ . No debe confundirse con el otro uso común del término "momento angular total" que se refiere específicamente a la suma del momento angular orbital y el espín .

Notas

1. Greiner y Muller 1994
2. Edmonds 1957
3. Condon y Shortley 1970
4. Salón 2015 Sección 4.3.2
5. Merzbacher 1998
6. Salón 2015 Apéndice C
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Referencias

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enlaces externos

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• Calculadora web de coeficientes Clebsch-Gordan, 3-j y 6-j
• Calculadora de coeficiente Clebsch-Gordan descargable para Mac y Windows
• Interfaz web para tabular coeficientes SU(N) de Clebsch-Gordan

Otras lecturas

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• Zare, Richard N. (1988). "2. Acoplamiento de dos vectores de momento angular". Momento angular: comprensión de los aspectos espaciales en química y física . Wiley. págs.43–. ISBN 978-0-471-85892-8.