Operador de escalera

Raising and lowering operators in quantum mechanics

En álgebra lineal (y su aplicación a la mecánica cuántica ), un operador de subida o bajada (conocidos colectivamente como operadores de escalera ) es un operador que aumenta o disminuye el valor propio de otro operador. En mecánica cuántica, el operador que asciende a veces se denomina operador de creación y el operador que baja, operador de aniquilación . Las aplicaciones bien conocidas de los operadores de escalera en la mecánica cuántica se encuentran en los formalismos del oscilador armónico cuántico y el momento angular .

Terminología

Existe una relación entre los operadores de escalera de subida y bajada y los operadores de creación y aniquilación comúnmente utilizados en la teoría cuántica de campos que se encuentra en la teoría de la representación . El operador de creación a _i ^† incrementa el número de partículas en el estado i , mientras que el operador de aniquilación correspondiente a _i disminuye el número de partículas en el estado i . Esto claramente satisface los requisitos de la definición anterior de operador de escalera: el incremento o disminución del valor propio de otro operador (en este caso, el operador de número de partículas ).

La confusión surge porque el término operador de escalera se usa típicamente para describir un operador que actúa para incrementar o disminuir un número cuántico que describe el estado de un sistema. Para cambiar el estado de una partícula con los operadores de creación/aniquilación de QFT se requiere el uso de operadores tanto de aniquilación como de creación. Se utiliza un operador de aniquilación para eliminar una partícula del estado inicial y un operador de creación para agregar una partícula al estado final.

El término "operador de escalera" u "operadores de subida y bajada" también se utiliza a veces en matemáticas, en el contexto de la teoría de las álgebras de Lie y, en particular, de las álgebras de Lie afines . Por ejemplo, para describir las subálgebras su(2) , el sistema de raíces y los módulos de mayor peso se pueden construir mediante operadores de escalera. ^[1] En particular, el peso más alto es aniquilado por los operadores de elevación; el resto del espacio de raíz positivo se obtiene aplicando repetidamente los operadores descendentes (un conjunto de operadores de escalera por subálgebra).

Motivación desde las matemáticas.

Desde el punto de vista de la teoría de la representación, una representación lineal de un grupo de Lie semisimple en parámetros reales continuos induce un conjunto de generadores para el álgebra de Lie . Una combinación lineal compleja de ellos son los operadores de escalera. ^{[ se necesita aclaración ]} Para cada parámetro hay un conjunto de operadores de escalera; Éstas son entonces una forma estandarizada de navegar por una dimensión del sistema de raíces y la red de raíces . ^[2] Los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico o la "representación numérica" ​​de la segunda cuantificación son sólo casos especiales de este hecho. Los operadores de escalera luego se vuelven omnipresentes en la mecánica cuántica , desde el operador de momento angular hasta estados coherentes y operadores de traducción magnética discreta .

formulación general

Supongamos que dos operadores X y N tienen la relación de conmutación para algún escalar c . Si es un estado propio de N con ecuación de valor propio , entonces el operador X actúa de tal manera que desplaza el valor propio en c : $${\displaystyle [N,X]=cX}$$ ${\displaystyle {|n\rangle }}$ $${\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle ,}$$ ${\displaystyle |n\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}$$

En otras palabras, si es un estado propio de N con valor propio n , entonces es un estado propio de N con valor propio n + c o es cero. El operador X es un operador creciente para N si c es real y positivo, y un operador decreciente para N si c es real y negativo. ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle X|n\rangle }$

Si N es un operador hermitiano , entonces c debe ser real y el adjunto hermitiano de X obedece a la relación de conmutación $${\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.}$$

En particular, si X es un operador decreciente para N , entonces X ^† es un operador ascendente para N y viceversa. ^{[ dudoso – discutir ]}

Momento angular

Una aplicación particular del concepto de operador de escalera se encuentra en el tratamiento mecánico-cuántico del momento angular . Para un vector de momento angular general J con componentes J _x , J _y y J _z , se definen los dos operadores de escalera ^[3] donde i es la unidad imaginaria . $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},\end{aligned}}}$$

La relación de conmutación entre los componentes cartesianos de cualquier operador de momento angular viene dada por donde ε _ijk es el símbolo de Levi-Civita , y cada uno de i , j y k puede tomar cualquiera de los valores x , y y z . $${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},}$$

A partir de esto, se obtienen las relaciones de conmutación entre los operadores de escalera y J _z : (técnicamente, esta es el álgebra de Lie de ). $${\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}]&=2\hbar J_{z}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )}$

Las propiedades de los operadores de escalera se pueden determinar observando cómo modifican la acción del operador J _z en un estado dado: $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{\pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\&=\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}}$$

Compare este resultado con $${\displaystyle J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .}$$

Por tanto, se concluye que es algún escalar multiplicado por : ${\displaystyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }}$ ${\displaystyle {|j\,(m\pm 1)\rangle }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j\,m\rangle &=\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\\J_{-}|j\,m\rangle &=\beta |j\,(m-1)\rangle .\end{aligned}}}$$

Esto ilustra la característica definitoria de los operadores de escalera en la mecánica cuántica: el incremento (o decremento) de un número cuántico, mapeando así un estado cuántico sobre otro. Esta es la razón por la que a menudo se les conoce como operadores de subida y bajada.

Para obtener los valores de α y β , primero se toma la norma de cada operador, reconociendo que J ₊ y J ₋ son un par conjugado hermitiano ( ): ${\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2},\\&\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}.\end{aligned}}}$$

El producto de los operadores de escalera se puede expresar en términos del par de conmutación J ² y J _z : $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}}$$

Por tanto, se pueden expresar los valores de | α | ² y | β | ² en términos de los valores propios de J ² y J _z : $${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}}$$

Las fases de α y β no son físicamente significativas, por lo que pueden elegirse como positivas y reales ( convención de fases de Condon-Shortley ). Entonces tenemos ^[4] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}}$$

Confirmando que m está acotado por el valor de j ( ), se tiene ${\displaystyle -j\leq m\leq j}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,\,+j\rangle &=0,\\J_{-}|j,\,-j\rangle &=0.\end{aligned}}}$$

La demostración anterior es efectivamente la construcción de los coeficientes de Clebsch-Gordan .

Aplicaciones en física atómica y molecular.

Muchos términos de los hamiltonianos de sistemas atómicos o moleculares implican el producto escalar de operadores de momento angular. Un ejemplo es el término dipolo magnético en el hamiltoniano hiperfino : ^[5] donde I es el espín nuclear. $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ,}$$

El álgebra del momento angular a menudo se puede simplificar reformulándola en base esférica . Usando la notación de operadores tensoriales esféricos , los componentes "−1", "0" y "+1" de J ⁽¹⁾ ≡ J vienen dados por ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}},\\J_{0}^{(1)}&=J_{z},\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}$$

A partir de estas definiciones, se puede demostrar que el producto escalar anterior se puede expandir como $${\displaystyle \mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}.}$$

La importancia de esta expansión es que indica claramente qué estados están acoplados por este término en el hamiltoniano, es decir, aquellos con números cuánticos que difieren solo en m _i = ±1 y m _j = ∓1 .

Oscilador armónico

Otra aplicación del concepto de operador de escalera se encuentra en el tratamiento mecánico-cuántico del oscilador armónico. Podemos definir los operadores de bajada y subida como $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right),\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right).\end{aligned}}}$$

Proporcionan un medio conveniente para extraer valores propios de energía sin resolver directamente la ecuación diferencial del sistema.

Átomo similar al hidrógeno

Hay dos enfoques principales en la literatura que utilizan operadores de escalera, uno que utiliza el vector de Laplace-Runge-Lenz y otro que utiliza la factorización del hamiltoniano.

Vector de Laplace-Runge-Lenz

Otra aplicación del concepto de operador de escalera se encuentra en el tratamiento mecánico cuántico de la energía electrónica de átomos e iones similares al hidrógeno. El vector de Laplace-Runge-Lenz conmuta con el hamiltoniano para un potencial esféricamente simétrico del cuadrado inverso y se puede utilizar para determinar operadores de escalera para este potencial. ^{[7] [8]} Podemos definir los operadores de subida y bajada (basados ​​en el vector clásico de Laplace-Runge-Lenz ) donde es el momento angular, es el momento lineal, es la masa reducida del sistema, es la carga electrónica, y es el número atómico del núcleo. De manera análoga a los operadores de escalera de momento angular, se tiene y . $${\displaystyle {\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec {p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}},}$$ ${\displaystyle {\vec {L}}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A_{+}=A_{x}+iA_{y}}$ ${\displaystyle A_{-}=A_{x}-iA_{y}}$

Los conmutadores necesarios para proceder son y Por lo tanto , ¿ dónde está el "?" indica un número cuántico naciente que surge de la discusión. $${\displaystyle [A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }}$$ $${\displaystyle [A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }.}$$ $${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle }$$ $${\displaystyle -L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1)+1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right),}$$ $${\displaystyle A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle ,}$$

Dadas las ecuaciones de Pauli ^{[9] [10]} IV: y III: y comenzando con la ecuación y expandiendo, se obtiene (asumiendo que el valor máximo del número cuántico del momento angular está en consonancia con todas las demás condiciones) lo que lleva a la fórmula de Rydberg que implica eso , donde está el número cuántico tradicional. $${\displaystyle 1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2})}$$ $${\displaystyle \left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)L_{j},}$$ $${\displaystyle A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0}$$ ${\displaystyle \ell ^{*}}$ $${\displaystyle \left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0,}$$ $${\displaystyle E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}},}$$ ${\displaystyle \ell ^{*}+1=n=?}$ ${\displaystyle n}$

Factorización del hamiltoniano

El hamiltoniano para un potencial similar al del hidrógeno se puede escribir en coordenadas esféricas como donde , y el momento radial , que es real y autoconjugado. $${\displaystyle H={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}L^{2}\right]+V(r),}$$ ${\displaystyle V(r)=-Ze^{2}/r}$ $${\displaystyle p_{r}={\frac {x}{r}}p_{x}+{\frac {y}{r}}p_{y}+{\frac {z}{r}}p_{z},}$$

Supongamos que es un vector propio del hamiltoniano, donde es el momento angular y representa la energía, entonces , y podemos etiquetar al hamiltoniano como : ${\displaystyle |nl\rangle }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L^{2}|nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|nl\rangle }$ ${\displaystyle H_{l}}$ $${\displaystyle H_{l}={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}l(l+1)\hbar ^{2}\right]+V(r).}$$

El método de factorización fue desarrollado por Infeld y Hull ^[11] para ecuaciones diferenciales. Newmarch y Golding ^[12] lo aplicaron a potenciales esféricamente simétricos utilizando notación de operador.

Supongamos que podemos encontrar una factorización del hamiltoniano mediante operadores como ${\displaystyle C_{l}}$

y para escalares y . El vector se puede evaluar de dos maneras diferentes, lo que se puede reorganizar para mostrar que es un estado propio de con valor propio Si , entonces , y los estados tienen la misma energía. $${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}}$$ ${\displaystyle F_{l}}$ ${\displaystyle G_{l}}$ ${\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle &=(2\mu E_{l}^{n}+F_{l})C_{l}|nl\rangle \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})C_{l}|nl\rangle ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle H_{l+1}(C_{l}|nl\rangle )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )](C_{l}|nl\rangle ),}$$ ${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$ ${\displaystyle H_{l+1}}$ $${\displaystyle E_{l+1}^{n'}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu ).}$$ ${\displaystyle F_{l}=G_{l}}$ ${\displaystyle n'=n}$ ${\displaystyle |nl\rangle }$ ${\displaystyle C_{l}|nl\rangle }$

Para el átomo de hidrógeno, establecer una ecuación adecuada para es con. Hay un límite superior para el operador de escalera si la energía es negativa ( para algunos ), entonces si de la ecuación ( 1 ) se deduce que y se puede identificar con $${\displaystyle V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}}}$$ $${\displaystyle B={\frac {Z\mu e^{2}}{\hbar }},}$$ ${\displaystyle C_{l}}$ $${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-{\frac {iB}{l+1}}}$$ $${\displaystyle F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}{(l+1)^{2}}}.}$$ ${\displaystyle C_{l}|nl_{\text{max}}\rangle =0}$ ${\displaystyle l_{\text{max}}}$ $${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{\text{max}}+1)^{2}}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{\text{max}}+1)^{2}}},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l_{\text{max}}+1.}$

Relación con la teoría de grupos

Siempre que hay degeneración en un sistema, suele haber una propiedad y un grupo de simetría relacionados. La degeneración de los niveles de energía para el mismo valor pero con diferentes momentos angulares se ha identificado como la simetría SO(4) del potencial de Coulomb esféricamente simétrico. ^{[13] [14]} ${\displaystyle n}$

Oscilador armónico isotrópico 3D

El oscilador armónico isotrópico 3D tiene un potencial dado por $${\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}.}$$

De manera similar, se puede gestionar utilizando el método de factorización.

Método de factorización

Una factorización adecuada viene dada por ^[12] con y Luego y continuando con esto, ahora el hamiltoniano solo tiene niveles de energía positivos como se puede ver en Esto significa que para algún valor de la serie debe terminar con y luego Esto disminuye en energía a menos que por algún valor de . Identificar este valor como da $${\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r}$$ $${\displaystyle F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar }$$ $${\displaystyle G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar .}$$ $${\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{l}^{n}-\omega \hbar ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle C_{l_{\text{max}}}|nl_{\text{max}}\rangle =0,}$ $${\displaystyle E_{l_{\text{max}}}^{n}=-{\frac {F_{l_{\text{max}}}}{2\mu }}=\left(l_{\text{max}}+{\frac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}$$ ${\displaystyle \omega \hbar }$ ${\displaystyle C_{l}|n,l\rangle =0}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}$$

Luego sigue el modo de que dando una relación de recursividad con solución ${\displaystyle n'=n-1}$ $${\displaystyle C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1,\,l+1\rangle ,}$$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(n-l)}}.}$$

Hay degeneración causada por el momento angular; hay una degeneración adicional causada por el potencial del oscilador. Considere los estados y aplique los operadores decrecientes : dando la secuencia con la misma energía pero disminuyendo en 2. Además de la degeneración del momento angular, esto da una degeneración total de ^[15] ${\displaystyle |n,\,n\rangle ,|n-1,\,n-1\rangle ,|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle C_{n-2}^{*}|n-1,\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle |n,n\rangle ,|n,\,n-2\rangle ,|n,\,n-4\rangle ,\dots }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle (n+1)(n+2)/2}$

Relación con la teoría de grupos

Las degeneraciones del oscilador armónico isotrópico 3D están relacionadas con el grupo unitario especial SU(3) ^{[15] [16]}

Historia

Muchas fuentes atribuyen a Paul Dirac la invención de los operadores de escaleras. ^[17] El uso que hace Dirac de los operadores de escalera muestra que el número cuántico del momento angular total debe ser un múltiplo semientero no negativo de ħ . ${\displaystyle j}$

Ver también

• Operadores de creación y aniquilación.
• Oscilador armónico cuántico
• base Chevalley

Referencias

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2. Harris, Fulton, Teoría de la representaciónpágs.164
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