Álgebra de Lie semisimple

Suma directa de álgebras de Lie simples

En matemáticas , un álgebra de Lie es semisimple si es una suma directa de álgebras de Lie simples . (Un álgebra de Lie simple es un álgebra de Lie no abeliana sin ningún ideal propio distinto de cero ).

A lo largo del artículo, a menos que se indique lo contrario, un álgebra de Lie es un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo de característica 0. Para tal álgebra de Lie , si no es cero, las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es semisimple;
• La forma Killing , κ(x,y) = tr(ad( x )ad( y )), no es degenerada ;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$no tiene ideales abelianos distintos de cero;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$no tiene ideales resolubles distintos de cero ;
• El radical (ideal resoluble máximo) de es cero. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Significado

La importancia de la semisimplicidad proviene, en primer lugar, de la descomposición de Levi , que establece que toda álgebra de Lie de dimensión finita es el producto semidirecto de un ideal resoluble (su radical) y un álgebra semisimple. En particular, no existe ninguna álgebra de Lie distinta de cero que sea a la vez resoluble y semisimple.

Las álgebras de Lie semisimples tienen una clasificación muy elegante, en marcado contraste con las álgebras de Lie resolubles . Las álgebras de Lie semisimples sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero se clasifican completamente por su sistema de raíces , que a su vez se clasifican mediante diagramas de Dynkin . Las álgebras semisimples sobre cuerpos no algebraicamente cerrados se pueden entender en términos de aquellas sobre el cierre algebraico, aunque la clasificación es algo más compleja; véase la forma real para el caso de las álgebras de Lie semisimples reales, que fueron clasificadas por Élie Cartan .

Además, la teoría de representación de las álgebras de Lie semisimples es mucho más clara que la de las álgebras de Lie generales. Por ejemplo, la descomposición de Jordan en un álgebra de Lie semisimple coincide con la descomposición de Jordan en su representación; esto no sucede en el caso de las álgebras de Lie en general.

Si es semisimple, entonces . En particular, cada álgebra de Lie lineal semisimple es una subálgebra de , el álgebra de Lie lineal especial . El estudio de la estructura de constituye una parte importante de la teoría de la representación para las álgebras de Lie semisimples. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

Historia

Las álgebras de Lie semisimples sobre los números complejos fueron clasificadas por primera vez por Wilhelm Killing (1888-1890), aunque su prueba carecía de rigor. Su prueba fue rigurosa por Élie Cartan (1894) en su tesis doctoral, quien también clasificó las álgebras de Lie reales semisimples. Esta fue refinada posteriormente, y la clasificación actual por diagramas de Dynkin fue dada por Eugene Dynkin, que entonces tenía 22 años , en 1947. Se han realizado algunas modificaciones menores (notablemente por JP Serre), pero la prueba no ha cambiado en lo esencial y se puede encontrar en cualquier referencia estándar, como (Humphreys 1972).

Propiedades básicas

• Todo ideal, cociente y producto de álgebras de Lie semisimples es a su vez semisimple. ^[1]
• El centro de un álgebra de Lie semisimple es trivial (ya que el centro es un ideal abeliano). En otras palabras, la representación adjunta es inyectiva. Además, resulta que la imagen ^[2] es de derivaciones en . Por lo tanto, es un isomorfismo. ^[3] (Este es un caso especial del lema de Whitehead ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ ${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$
• Como la representación adjunta es inyectiva, un álgebra de Lie semisimple es un álgebra de Lie lineal bajo la representación adjunta. Esto puede llevar a cierta ambigüedad, ya que toda álgebra de Lie ya es lineal con respecto a algún otro espacio vectorial ( teorema de Ado ), aunque no necesariamente a través de la representación adjunta. Pero en la práctica, tal ambigüedad ocurre raramente.
• Si es un álgebra de Lie semisimple, entonces (porque es semisimple y abeliana). ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• Un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo k de característica cero es semisimple si y solo si la extensión base es semisimple para cada extensión de cuerpo . ^[5] Así, por ejemplo, un álgebra de Lie real de dimensión finita es semisimple si y solo si su complejización es semisimple. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{k}F}$ ${\displaystyle F\supset k}$

Descomposición de Jordania

Cada endomorfismo x de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo de característica cero se puede descomponer de forma única en una parte semisimple (es decir, diagonalizable sobre el cierre algebraico) y nilpotente .

${\displaystyle x=s+n\ }$

de modo que s y n conmutan entre sí. Además, cada uno de s y n es un polinomio en x . Esta es la descomposición de Jordan de x .

Lo anterior se aplica a la representación adjunta de un álgebra de Lie semisimple . Se dice que un elemento x de es semisimple (o nilpotente) si es un operador semisimple (o nilpotente). ^[6] Si , entonces la descomposición abstracta de Jordan establece que x se puede escribir de forma única como: ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle x=s+n}$

donde es semisimple, es nilpotente y . ^[7] Además, si conmuta con x , entonces conmuta con ambos también. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [s,n]=0}$ ${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle s,n}$

La descomposición abstracta de Jordan se basa en cualquier representación de en el sentido de que, dada cualquier representación ρ, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,}$

es la descomposición de Jordan de ρ( x ) en el álgebra de endomorfismos del espacio de representación. ^[8] (Esto se demuestra como consecuencia del teorema de reducibilidad completa de Weyl ; véase Teorema de Weyl sobre reducibilidad completa#Aplicación: preservación de la descomposición de Jordan ).

Estructura

Sea un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. La estructura de puede describirse mediante una acción adjunta de cierta subálgebra distinguida sobre ella, una subálgebra de Cartan . Por definición, ^[9] una subálgebra de Cartan (también llamada subálgebra toral maximal ) de es una subálgebra maximal tal que, para cada , es diagonalizable . Como resulta, es abeliano y, por lo tanto, todos los operadores en son simultáneamente diagonalizables . Para cada funcional lineal de , sea ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|\operatorname {ad} (h)x:=[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ for all }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$.

(Tenga en cuenta que es el centralizador de .) Entonces ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Descomposición del espacio raíz  —  ^[10] Dada una subálgebra de Cartan , se cumple que y hay una descomposición (como un -módulo): ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

donde es el conjunto de todos los funcionales lineales no nulos de tales que . Además, para cada , ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq \{0\}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$

• ${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }]\subseteq {\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }}$, que es la igualdad si . ${\displaystyle \alpha +\beta \neq 0}$
• ${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]\oplus {\mathfrak {g}}_{-\alpha }\oplus {\mathfrak {g}}_{\alpha }\simeq {\mathfrak {sl}}_{2}}$como un álgebra de Lie.
• ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$; En particular, . ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi }$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2\alpha }=\{0\}}$; en otras palabras, . ${\displaystyle 2\alpha \not \in \Phi }$
• Con respecto a la forma de matar B , son ortogonales entre sí si ; la restricción de B a es no degenerada. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }}$ ${\displaystyle \alpha +\beta \neq 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

(El elemento más difícil de demostrar es . Todas las pruebas estándar utilizan algunos hechos en la teoría de representación de ; por ejemplo, Serre utiliza el hecho de que un módulo con un elemento primitivo de peso negativo es de dimensión infinita, lo que contradice .) ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}<\infty }$

Sea con las relaciones de conmutación ; es decir, corresponden a la base estándar de . ${\displaystyle h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$ ${\displaystyle [e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }}$ ${\displaystyle h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Las funciones lineales en se denominan raíces de relativas a . Las raíces abarcan (ya que si , entonces es el operador cero; es decir, está en el centro, que es cero). Además, a partir de la teoría de representación de , se deducen las siguientes propiedades de simetría e integral de : para cada , ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \alpha (h)=0,\alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$

• El endomorfismo

  ${\displaystyle s_{\alpha }:{\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {h}}^{*},\,\gamma \mapsto \gamma -\gamma (h_{\alpha })\alpha }$

  deja invariante (es decir, ). ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle s_{\alpha }(\Phi )\subset \Phi }$
• ${\displaystyle \beta (h_{\alpha })}$es un entero.

Nótese que tiene las propiedades (1) y (2) el conjunto de punto fijo es , lo que significa que es la reflexión con respecto al hiperplano correspondiente a . Lo anterior dice entonces que es un sistema raíz . ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle s_{\alpha }(\alpha )=-\alpha }$ ${\displaystyle \{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Phi }$

De la teoría general de un sistema de raíces que contiene una base de tal que cada raíz es una combinación lineal de con coeficientes enteros del mismo signo; las raíces se llaman raíces simples . Sea , etc. Entonces los elementos (llamados generadores de Chevalley ) se generan como un álgebra de Lie. Además, satisfacen las relaciones (llamadas relaciones de Serre ): con , ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle e_{i}=e_{\alpha _{i}}}$ ${\displaystyle 3l}$ ${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})}$

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j}$.

El recíproco de esto también es cierto: es decir, el álgebra de Lie generada por los generadores y las relaciones como la anterior es un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) que tiene la descomposición en el espacio raíz como la anterior (siempre que sea una matriz de Cartan ). Este es un teorema de Serre . En particular, dos álgebras de Lie semisimples son isomorfas si tienen el mismo sistema raíz. ${\displaystyle [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}}$

La implicación de la naturaleza axiomática de un sistema de raíces y del teorema de Serre es que se pueden enumerar todos los sistemas de raíces posibles; por lo tanto, "todas las posibles" álgebras de Lie semisimples (de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero).

El grupo de Weyl es el grupo de transformaciones lineales de generado por el . El grupo de Weyl es una simetría importante del problema; por ejemplo, los pesos de cualquier representación de dimensión finita de son invariantes bajo el grupo de Weyl. ^[11] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle s_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ejemplo de descomposición del espacio raíz en slnorte(DO)

Para la subálgebra de Cartan de matrices diagonales, defina por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}}$

${\displaystyle \lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}}$,

donde denota la matriz diagonal con en la diagonal. Entonces la descomposición está dada por ${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right)}$

dónde

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}={\text{Span}}_{\mathbb {C} }(e_{ij})}$

Para el vector en la base estándar (matriz), el significado representa el vector base en la fila -ésima y la columna -ésima. Esta descomposición de tiene un sistema de raíces asociado: ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}}$

es2(DO)

Por ejemplo, en la descomposición es ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}$

y el sistema de raíces asociado es

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{1}-\lambda _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}\}}$

es3(DO)

En la descomposición está ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{2}}}$

y el sistema de raíces asociado está dado por

${\displaystyle \Phi =\{\pm (\lambda _{1}-\lambda _{2}),\pm (\lambda _{1}-\lambda _{3}),\pm (\lambda _{2}-\lambda _{3})\}}$

Ejemplos

Como se indica en #Estructura, las álgebras de Lie semisimples sobre (o más generalmente sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero) se clasifican por el sistema raíz asociado a sus subálgebras de Cartan, y los sistemas raíz, a su vez, se clasifican por sus diagramas de Dynkin. Ejemplos de álgebras de Lie semisimples, las álgebras de Lie clásicas , con notación proveniente de sus diagramas de Dynkin , son: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• ${\displaystyle A_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$, el álgebra de Lie lineal especial .
• ${\displaystyle B_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$, el álgebra de Lie ortogonal especial de dimensión impar .
• ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$, el álgebra de Lie simpléctica .
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$, el álgebra de Lie ortogonal especial de dimensión par ( ). ${\displaystyle n>1}$

La restricción en la familia es necesaria porque es unidimensional y conmutativa y por lo tanto no semisimple. ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2}}$

Estas álgebras de Lie están numeradas de modo que n es el rango . Casi todas estas álgebras de Lie semisimples son en realidad simples y los miembros de estas familias son casi todos distintos, excepto algunas colisiones en rango pequeño. Por ejemplo y . Estas cuatro familias, junto con cinco excepciones ( E 6 , E 7 , E 8 , F 4 y G 2 ), son de hecho las únicas álgebras de Lie simples sobre los números complejos. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}}$

Clasificación

Las álgebras de Lie simples se clasifican mediante los diagramas de Dynkin conexos .

Toda álgebra de Lie semisimple sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0 es una suma directa de álgebras de Lie simples (por definición), y las álgebras de Lie simples de dimensión finita se dividen en cuatro familias: A _n , B _n , C _n y D _n , con cinco excepciones E 6 , E 7 , E 8 , F 4 y G 2 . Las álgebras de Lie simples se clasifican mediante los diagramas de Dynkin conexos , que se muestran a la derecha, mientras que las álgebras de Lie semisimples corresponden a diagramas de Dynkin no necesariamente conexos, donde cada componente del diagrama corresponde a un sumando de la descomposición del álgebra de Lie semisimple en álgebras de Lie simples.

La clasificación se lleva a cabo considerando una subálgebra de Cartan (ver más abajo) y su acción adjunta en el álgebra de Lie. El sistema raíz de la acción determina entonces el álgebra de Lie original y debe tener una forma muy restringida, que puede clasificarse mediante los diagramas de Dynkin. Para obtener más detalles, consulte la sección que se encuentra más abajo, en la que se describen las subálgebras de Cartan y los sistemas raíz.

La clasificación se considera ampliamente uno de los resultados más elegantes en matemáticas: una breve lista de axiomas produce, mediante una prueba relativamente corta, una clasificación completa pero no trivial con una estructura sorprendente. Esto debería compararse con la clasificación de grupos simples finitos , que es significativamente más complicada.

La enumeración de las cuatro familias no es redundante y consiste solamente en álgebras simples si para A _n , para B _n , para C _n y para D _n . Si uno comienza numerando hacia abajo, la enumeración es redundante y uno tiene isomorfismos excepcionales entre álgebras de Lie simples, que se reflejan en isomorfismos de diagramas de Dynkin ; el E _n también puede extenderse hacia abajo, pero por debajo E ₆ son isomorfos a otras álgebras no excepcionales. ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n\geq 4}$

Sobre un cuerpo no algebraicamente cerrado, la clasificación es más complicada: se clasifican las álgebras de Lie simples sobre el cierre algebraico, luego, para cada una de ellas, se clasifican las álgebras de Lie simples sobre el cuerpo original que tienen esta forma (sobre el cierre). Por ejemplo, para clasificar las álgebras de Lie reales simples, se clasifican las álgebras de Lie reales con una complejización dada, que se conocen como formas reales del álgebra de Lie compleja; esto se puede hacer mediante diagramas de Satake , que son diagramas de Dynkin con datos adicionales ("decoraciones"). ^[12]

Teoría de la representación de álgebras de Lie semisimples

Sea un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Entonces, como en #Estructura, donde es el sistema de raíces. Elija las raíces simples en ; una raíz de se llama entonces positiva y se denota por si es una combinación lineal de las raíces simples con coeficientes enteros no negativos. Sea , que es una subálgebra resoluble máxima de , la subálgebra de Borel . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sea V un módulo simple (posiblemente de dimensión infinita) . Si V admite un vector de pesos , ^[13] entonces es único hasta el escalamiento y se denomina vector de pesos más alto de V . También es un vector de pesos y el peso de , un funcional lineal de , se denomina peso más alto de V . Los hechos básicos pero no triviales ^[14] son ​​entonces (1) para cada funcional lineal , existe un módulo simple que tiene como su peso más alto y (2) dos módulos simples que tienen el mismo peso más alto son equivalentes. En resumen, existe una biyección entre y el conjunto de las clases de equivalencia de módulos simples que admiten un vector de pesos de Borel. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Para las aplicaciones, a menudo se está interesado en un módulo simple de dimensión finita (una representación irreducible de dimensión finita). Este es especialmente el caso cuando es el álgebra de Lie de un grupo de Lie (o complejización de este), ya que, a través de la correspondencia de Lie , una representación del álgebra de Lie se puede integrar a una representación del grupo de Lie cuando se superan las obstrucciones. El siguiente criterio aborda entonces esta necesidad: por la cámara de Weyl positiva , nos referimos al cono convexo donde es un vector único tal que . El criterio entonces dice: ^[15] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}}$ ${\displaystyle h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]}$ ${\displaystyle \alpha (h_{\alpha })=2}$

• ${\displaystyle \dim V^{\mu }<\infty }$si y sólo si, para cada raíz positiva , (1) es un entero y (2) se encuentra en . ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \mu (h_{\alpha })}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C}$

Un funcional lineal que satisface la condición equivalente anterior se denomina peso integral dominante. Por lo tanto, en resumen, existe una biyección entre los pesos integrales dominantes y las clases de equivalencia de módulos simples de dimensión finita, cuyo resultado se conoce como el teorema del peso más alto . El carácter de un módulo simple de dimensión finita se calcula a su vez mediante la fórmula de carácter de Weyl . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El teorema de Weyl dice que, sobre un cuerpo de característica cero, todo módulo de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple es completamente reducible ; es decir, es una suma directa de módulos simples. Por lo tanto, los resultados anteriores se aplican a representaciones de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Álgebra de Lie semisimple real

Para un álgebra de Lie semisimple sobre un cuerpo que tiene característica cero pero no es algebraicamente cerrado, no existe una teoría de estructura general como la que se aplica a cuerpos algebraicamente cerrados de característica cero. Pero sobre el cuerpo de números reales, todavía existen los resultados de estructura.

Sea un álgebra de Lie semisimple real de dimensión finita y su complejización (que también es semisimple). El álgebra de Lie real se denomina forma real de . Una forma real se denomina forma compacta si la forma de Killing en ella es definida negativamente; es necesariamente el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto (de ahí el nombre). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$

Estuche compacto

Supóngase que es una forma compacta y un subespacio abeliano maximalista. Se puede demostrar (por ejemplo, a partir del hecho de que es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto) que consiste en matrices antihermíticas, diagonalizables sobre valores propios imaginarios. Por lo tanto, es una subálgebra de Cartan de y resulta en la descomposición del espacio raíz (cf. #Estructura) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

donde cada uno tiene un valor real en ; por lo tanto, puede identificarse con una función lineal real en el espacio vectorial real . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle i{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle i{\mathfrak {h}}}$

Por ejemplo, sea y tome el subespacio de todas las matrices diagonales. Nota . Sea la función lineal en dada por para . Entonces, para cada , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle e_{i}(H)=h_{i}}$ ${\displaystyle H=\operatorname {diag} (h_{1},\dots ,h_{n})}$ ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle [H,E_{ij}]=(e_{i}(H)-e_{j}(H))E_{ij}}$

donde es la matriz que tiene 1 en el lugar -ésimo y cero en el resto. Por lo tanto, cada raíz tiene la forma y la descomposición en el espacio de raíces es la descomposición de matrices: ^[16] ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =e_{i}-e_{j},i\neq j}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{i\neq j}\mathbb {C} E_{ij}.}$

Caja no compacta

Supongamos que no es necesariamente una forma compacta (es decir, la signatura de la forma Killing no es toda negativa). Supongamos, además, que tiene una involución de Cartan y sea la descomposición en el espacio propio de , donde son los espacios propios para 1 y -1, respectivamente. Por ejemplo, si y la transpuesta negativa, entonces . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(n)}$

Sea un subespacio abeliano maximalista. Ahora, consta de matrices simétricas (con respecto a un producto interno adecuado) y, por lo tanto, los operadores en son diagonalizables simultáneamente, con valores propios reales. Al repetir los argumentos para el cuerpo base algebraicamente cerrado, se obtiene la descomposición (llamada descomposición del espacio raíz restringido ): ^[17] ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

dónde

• Los elementos en se llaman raíces restringidas, ${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \theta ({\mathfrak {g}}_{\alpha })={\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$para cualquier funcional lineal ; en particular , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\Phi \subset \Phi }$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {a}}\oplus Z_{\mathfrak {k}}({\mathfrak {a}})}$.

Además, es un sistema de raíces pero no necesariamente reducido (es decir, puede suceder que sean ambas raíces). ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha ,2\alpha }$

El caso de sl(n,C)

Si , entonces puede tomarse como la subálgebra diagonal de , que consiste en matrices diagonales cuyas entradas diagonales suman cero. Como tiene dimensión , vemos que tiene rango . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n-1}$

Los vectores raíz en este caso pueden tomarse como las matrices con , donde es la matriz con un 1 en el lugar y ceros en el resto. ^[18] Si es una matriz diagonal con entradas diagonales , entonces tenemos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{i,j}}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle E_{i,j}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle [H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}}$.

Por lo tanto, las raíces de son las funcionales lineales dadas por ${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$

${\displaystyle \alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$.

Después de identificarse con su dual, las raíces se convierten en los vectores en el espacio de -tuplas que suman cero. Este es el sistema de raíces conocido en el etiquetado convencional. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n-1}}$

La reflexión asociada a la raíz actúa sobre transponiendo las entradas diagonales y . El grupo de Weyl es entonces simplemente el grupo de permutación sobre elementos, que actúa permutando las entradas diagonales de matrices en . ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Generalizaciones

Las álgebras de Lie semisimples admiten ciertas generalizaciones. En primer lugar, muchas afirmaciones que son verdaderas para las álgebras de Lie semisimples son verdaderas de manera más general para las álgebras de Lie reductivas . De manera abstracta, un álgebra de Lie reductiva es aquella cuya representación adjunta es completamente reducible , mientras que de manera concreta, un álgebra de Lie reductiva es una suma directa de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de Lie abeliana ; por ejemplo, es semisimple y es reductiva. Muchas propiedades de las álgebras de Lie semisimples dependen únicamente de la reducibilidad. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

Muchas propiedades de las álgebras de Lie semisimples/reductivas complejas son verdaderas no sólo para álgebras de Lie semisimples/reductivas sobre cuerpos algebraicamente cerrados, sino más generalmente para álgebras de Lie semisimples/reductivas divididas sobre otros cuerpos: las álgebras de Lie semisimples/reductivas sobre cuerpos algebraicamente cerrados siempre están divididas, pero sobre otros cuerpos este no siempre es el caso. Las álgebras de Lie divididas tienen esencialmente la misma teoría de representación que las álgebras de Lie semisimples sobre cuerpos algebraicamente cerrados, por ejemplo, la subálgebra de Cartan desdoblante juega el mismo papel que la subálgebra de Cartan juega sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Este es el enfoque seguido en (Bourbaki 2005), por ejemplo, que clasifica las representaciones de álgebras de Lie semisimples/reductivas divididas.

Grupos semisimples y reductivos

Un grupo de Lie conexo se denomina semisimple si su álgebra de Lie es un álgebra de Lie semisimple, es decir, una suma directa de álgebras de Lie simples. Se denomina reductivo si su álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie simples y triviales (unidimensionales). Los grupos reductivos se dan de forma natural como simetrías de una serie de objetos matemáticos en álgebra, geometría y física. Por ejemplo, el grupo de simetrías de un espacio vectorial real n -dimensional (equivalentemente, el grupo de matrices invertibles) es reductivo. ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$

Véase también

• Álgebra de Lie
• Sistema de raíces
• Representación del álgebra de Lie
• Grupo compacto
• Grupo de mentiras simples
• Subálgebra de Borel
• Teorema de Jacobson-Morozov

Referencias

1. Serre 2000, Cap. II, § 2, Corolario del Teorema 3.
2. Dado que la forma de matar B no es degenerada, dada una derivación D , existe una x tal que para todo y y luego, mediante un cálculo fácil, . ${\displaystyle \operatorname {tr} (D\operatorname {ad} y)=B(x,y)}$ ${\displaystyle D=\operatorname {ad} (x)}$
3. Serre 2000, cap. II, § 4, Teorema 5.
4. Serre 2000, Cap. II, § 3, Corolario del Teorema 4.
5. Jacobson 1979, Corolario al final del Cap. III, § 4.
6. Serre 2000, cap. II, § 5. Definición 3.
7. Serre 2000, cap. II, § 5. Teorema 6.
8. Serre 2000, cap. II, § 5. Teorema 7.
9. Esta es una definición de un subálgebra de Cartan de un álgebra de Lie semisimple y coincide con la general.
10. Serre 2000, Cap. VI, § 1.
11. Hall 2015 Teorema 9.3
12. Knapp 2002 Sección VI.10
13. Un vector de peso también se denomina elemento primitivo , especialmente en los libros de texto más antiguos. ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$
14. En los libros de texto, estos hechos suelen establecerse mediante la teoría de los módulos de Verma .
15. Serre 2000, cap. VII, § 4, Teorema 3.
16. Knapp 2002, Cap. IV, § 1, Ejemplo 1.
17. Knapp 2002, cap. V, § 2, Proposición 5.9.
18. Sala 2015 Sección 7.7.1

• Bourbaki, Nicolas (2005), "VIII: Álgebras de Lie semisimples divididas", Elementos de matemáticas: grupos de Lie y álgebras de Lie: capítulos 7-9 , Springer, ISBN 9783540434054
• Erdmann, Karin ; Wildon, Mark (2006), Introducción a las álgebras de Lie (1.ª ed.), Springer, ISBN 1-84628-040-0.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Jacobson, Nathan (1979) [1962]. Álgebras de Lie . Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63832-4.
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de Lie más allá de una introducción (2.ª ed.), Birkhäuser
• Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Álgebras de mentira complejas semisimples ], traducido por Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.
• Varadarajan, VS (2004), Grupos de Lie, álgebras de Lie y sus representaciones (1.ª ed.), Springer, ISBN 0-387-90969-9.