Álgebra de mentira lineal especial

En matemáticas , el álgebra de Lie lineal especial de orden n sobre un campo , denotado o , es el álgebra de Lie de todas las matrices (con entradas en ) con traza cero y con el corchete de Lie dado por el conmutador . Esta álgebra está bien estudiada y comprendida y, a menudo, se utiliza como modelo para el estudio de otras álgebras de Lie. El grupo de Lie que genera es el grupo lineal especial . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$

Aplicaciones

El álgebra de Lie es fundamental para el estudio de la relatividad especial , la relatividad general y la supersimetría : su representación fundamental es la llamada representación de espinor , mientras que su representación adjunta genera el grupo de Lorentz SO(3,1) de la relatividad especial. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$

El álgebra juega un papel importante en el estudio del caos y los fractales , ya que genera el grupo de Möbius SL(2, R ) , que describe los automorfismos del plano hiperbólico , la superficie de Riemann más simple de curvatura negativa; por el contrario, SL(2, C ) describe los automorfismos de la bola tridimensional hiperbólica . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {R} }$

Teoría de la representación

Teoría de la representación de sl 2 C

El álgebra de Lie es un álgebra de Lie compleja tridimensional . Su característica definitoria es que contiene una base que satisface las relaciones de conmutación. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle e,h,f}$

${\displaystyle [e,f]=h}$, , y . ${\displaystyle [h,f]=-2f}$ ${\displaystyle [h,e]=2e}$

Ésta es una base de Cartan-Weyl para . Tiene una realización explícita en términos de matrices complejas de 2 por 2 con traza cero: ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$

${\displaystyle E={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$, , . ${\displaystyle F={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

Esta es la representación fundamental o definitoria de . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$

El álgebra de Lie puede verse como un subespacio de su álgebra envolvente universal y, en , existen las siguientes relaciones de conmutador mostradas por inducción : ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle U=U({\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle [h,f^{k}]=-2kf^{k},\,[h,e^{k}]=2ke^{k}}$,

${\displaystyle [e,f^{k}]=-k(k-1)f^{k-1}+kf^{k-1}h}$.

Tenga en cuenta que, aquí, las potencias , etc. se refieren a potencias como elementos del álgebra U y no a potencias matriciales. El primer hecho básico (que se desprende de las relaciones del conmutador anteriores) es: ^[1] ${\displaystyle f^{k}}$

Lema  :  Sea una representación y un vector en ella. Establecer para cada uno . Si es un vector propio de la acción de ; es decir, para algún número complejo , entonces, para cada uno , ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{j}={1 \over j!}f^{j}\cdot v}$ ${\displaystyle j=0,1,\dots }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\cdot v=\lambda v}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle j=0,1,\dots }$

• ${\displaystyle h\cdot v_{j}=(\lambda -2j)v_{j}}$.
• ${\displaystyle e\cdot v_{j}={1 \over j!}f^{j}\cdot e\cdot v+(\lambda -j+1)v_{j-1}}$.
• ${\displaystyle f\cdot v_{j}=(j+1)v_{j+1}}$.

De este lema se deduce el siguiente resultado fundamental: ^[2]

Teorema  :  sea una representación que puede tener dimensión infinita y un vector que es un vector de peso ( es una subálgebra de Borel ). ^[3] Entonces ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\mathbb {C} h+\mathbb {C} e}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

• Aquellos que son distintos de cero son linealmente independientes . ${\displaystyle v_{j}}$
• Si some es cero, entonces el valor propio de v es un entero no negativo tal que son distintos de cero y . Además, el subespacio abarcado por 's es una subrepresentación irreducible de . ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle N\geq 0}$ ${\displaystyle v_{0},v_{1},\dots ,v_{N}}$ ${\displaystyle v_{N+1}=v_{N+2}=\cdots =0}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$

La primera afirmación es verdadera ya que es cero o tiene un valor propio distinto de los valores propios de los demás que son distintos de cero. Decir que es un vector de peso equivale a decir que es simultáneamente un vector propio de y ; un breve cálculo muestra que, en ese caso, el valor propio de es cero: . Así, para algún número entero , y en particular, por el lema temprano, ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle e\cdot v=0}$ ${\displaystyle N\geq 0}$ ${\displaystyle v_{N}\neq 0,v_{N+1}=v_{N+2}=\cdots =0}$

${\displaystyle 0=e\cdot v_{N+1}=(\lambda -(N+1)+1)v_{N},}$

lo que implica que . Queda por demostrar que es irreductible. Si es una subrepresentación, entonces admite un vector propio, que debe tener un valor propio de la forma ; por tanto es proporcional a . Por el lema anterior, tenemos está en y por lo tanto . ${\displaystyle \lambda =N}$ ${\displaystyle W=\operatorname {span} \{v_{j}\mid j\geq 0\}}$ ${\displaystyle 0\neq W'\subset W}$ ${\displaystyle N-2j}$ ${\displaystyle v_{j}}$ ${\displaystyle v=v_{0}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W'=W}$ ${\displaystyle \square }$

Como corolario se deduce:

• Si tiene dimensión finita y es irreducible, entonces el valor propio de v es un entero no negativo y tiene una base . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v,fv,f^{2}v,\cdots ,f^{N}v}$
• Por el contrario , si el valor propio de es un entero no negativo y es irreducible, entonces tiene una base ; en particular tiene dimensión finita. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v,fv,f^{2}v,\cdots ,f^{N}v}$

El hermoso caso especial de muestra una forma general de encontrar representaciones irreductibles de álgebras de Lie. Es decir, dividimos el álgebra en tres subálgebras "h" (la subálgebra de Cartan ), "e" y "f", que se comportan aproximadamente como sus homónimos en . Es decir, en una representación irreducible, tenemos un vector propio "más alto" de "h", sobre el cual "e" actúa por cero. La base de la representación irreducible se genera por la acción de "f" sobre los vectores propios superiores de "h". Véase el teorema del mayor peso . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Teoría de la representación de sl n C

Cuando se trata de un espacio vectorial complejo de dimensión , cada representación irreducible de dimensión finita de se puede encontrar como una subrepresentación de una potencia tensorial de . ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} =\operatorname {\mathfrak {sl}} V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$

El álgebra de Lie se puede realizar explícitamente como una matriz de álgebra de Lie de matrices sin rastro. Esta es la representación fundamental para . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$

Establezca la matriz con uno en la entrada y ceros en el resto. Entonces ${\displaystyle M_{i,j}}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle H_{i}:=M_{i,i}-M_{i+1,i+1},{\text{ with }}1\leq i\leq n-1}$

${\displaystyle M_{i,j},{\text{ with }}i\neq j}$

Forme una base para . Esto es técnicamente un abuso de notación, y en realidad son la imagen de la base de la representación fundamental. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$

Además, esta es de hecho una base de Cartan-Weyl, que abarca la subálgebra de Cartan. Introduciendo la notación si y también si son raíces positivas y sus correspondientes raíces negativas. ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle E_{i,j}=M_{i,j}}$ ${\displaystyle j>i}$ ${\displaystyle F_{i,j}=M_{i,j}^{T}=M_{j,i}}$ ${\displaystyle j>i}$ ${\displaystyle E_{i,j}}$ ${\displaystyle F_{i,j}}$

Una base de raíces simples está dada por for . ${\displaystyle E_{i,i+1}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$

Notas

1. Kac 2003, § 3.2. harvnb error: no target: CITEREFKac2003 (help)
2. Serre 2001, Capítulo IV, § 3, Teorema 1. Corolario 1. harvnb error: no target: CITEREFSerre2001 (help)
3. A esto también se le llama comúnmente elemento primitivo de . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$
4. Serre 2000, cap. VII, § 6. harvnb error: no target: CITEREFSerre2000 (help)

Referencias

• Etingof, Pavel. "Apuntes de conferencias sobre teoría de la representación".
• Kac, Víctor (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46693-8.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer
• AL Onishchik, EB Vinberg , VV Gorbatsevich, Estructura de grupos de Lie y álgebras de Lie . Grupos de mentira y álgebras de Lie, III. Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, 41. Springer-Verlag, Berlín, 1994. iv+248 págs. (Una traducción de Problemas actuales en matemáticas. Direcciones fundamentales. Vol. 41, Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscú, 1990. Traducción de V. Minachin Traducción editada por AL Onishchik y EB Vinberg) ISBN 3-540-54683-9 . 
• VL Popov , EB Vinberg, Teoría invariante . Geometría algebraica. IV. Grupos algebraicos lineales. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55. Springer-Verlag, Berlín, 1994. vi+284 pp. (Una traducción de geometría algebraica. 4, Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscú, 1989. Traducción editado por AN Parshin e IR Shafarevich) ISBN 3-540-54682-0 
• Serre, Jean-Pierre (2000), Álgebras de Lie semi-simples complejos [ Álgebras de mentira complejas semisimples ], traducido por Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.

Ver también

• Grupo Weyl afín
• Grupo Coxeter finito
• diagrama de hasse
• Grupo algebraico lineal
• órbita nilpotente
• Sistema raíz
• sl2-triple
• grupo weyl