Subálgebra de Borel

En matemáticas, específicamente en teoría de representaciones , un subálgebra de Borel de un álgebra de Lie es un subálgebra resoluble máxima . ^[1] La noción recibe su nombre de Armand Borel . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie complejo , entonces un subálgebra de Borel es el álgebra de Lie de un subgrupo de Borel . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Subálgebra de Borel asociada a una bandera

Sea el álgebra de Lie de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita V sobre los números complejos. Luego, para especificar una subálgebra de Borel de cantidades, se especifica una bandera de V ; dada una bandera , el subespacio es una subálgebra de Borel, ^[2] y, a la inversa, cada subálgebra de Borel es de esa forma por el teorema de Lie . Por lo tanto, las subálgebras de Borel se clasifican por la variedad de bandera de V . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\{x\in {\mathfrak {g}}\mid x(V_{i})\subset V_{i},1\leq i\leq n\}}$

Subálgebra de Borel relativa a una base de un sistema de raíces

Sea un álgebra de Lie semisimple compleja , una subálgebra de Cartan y R el sistema de raíces asociado a ellas. La elección de una base de R da la noción de raíces positivas. Entonces tiene la descomposición donde . Entonces es la subálgebra de Borel relativa a la configuración anterior. ^[3] (Es resoluble ya que el álgebra derivada es nilpotente. Es resoluble al máximo mediante un teorema de Borel-Morozov sobre la conjugación de subálgebras resolubles. ^[4] ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}^{-}\oplus {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{\pm }=\sum _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}^{+}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]}$

Dado un módulo V , un elemento primitivo de V es un vector (distinto de cero) que (1) es un vector de pesos para y que (2) es aniquilado por . Es lo mismo que un vector de pesos (Demostración: si y con y si es una línea, entonces .) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle e\in {\mathfrak {n}}^{+}}$ ${\displaystyle [h,e]=2e}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\cdot v}$ ${\displaystyle 0=[h,e]\cdot v=2e\cdot v}$

Véase también

• Subgrupo Borel
• Álgebra de Lie parabólica

Referencias

1. Humphreys, Cap. XVI, § 3.
2. Serre 2000, Capítulo I, § 6.
3. Serre 2000, Cap. VI, § 3.
4. Serre 2000, cap. VI, § 3. Teorema 5.

• Chriss, Neil; Ginzburg, Victor (2009) [1997], Teoría de la representación y geometría compleja, Springer, ISBN 978-0-8176-4938-8.
• Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Álgebras de mentira complejas semisimples ], traducido por Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.