Álgebra de mentira dividida

En el campo matemático de la teoría de Lie , un álgebra de Lie dividida es un par donde hay un álgebra de Lie y una subálgebra de Cartan dividida , donde "división" significa que para todos , es triangularizable . Si un álgebra de Lie admite una división, se denomina álgebra de Lie divisible . ^[1] Tenga en cuenta que para las álgebras de Lie reductivas, se requiere que la subálgebra de Cartan contenga el centro. ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}<{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}x}$

En un campo algebraicamente cerrado como los números complejos , todas las álgebras de Lie semisimples son divisibles (de hecho, la subálgebra de Cartan no sólo actúa mediante matrices triangularizables, sino que, aún más fuerte, actúa mediante matrices diagonalizables) y todas las divisiones son conjugadas; por lo tanto, las álgebras de Lie divididas son de mayor interés para campos no algebraicamente cerrados.

Las álgebras de Lie divididas son de interés porque formalizan la forma real dividida de un álgebra de Lie compleja y porque las álgebras de Lie semisimples divididas (más generalmente, álgebras de Lie reductivas divididas) sobre cualquier campo comparten muchas propiedades con las álgebras de Lie semisimples sobre campos algebraicamente cerrados: teniendo esencialmente la misma teoría de representación, por ejemplo: la subálgebra de Cartan de división desempeña el mismo papel que la subálgebra de Cartan desempeña en campos algebraicamente cerrados. Este es el enfoque seguido por (Bourbaki 2005), por ejemplo.

Propiedades

• Sobre un campo algebraicamente cerrado, todas las subálgebras de Cartan son conjugadas. En un campo no algebraicamente cerrado, no todas las subálgebras de Cartan son conjugadas en general; sin embargo, en un álgebra de Lie semisimple divisible, todas las álgebras de Cartan de división son conjugadas.
• Sobre un campo algebraicamente cerrado, todas las álgebras de Lie semisimples son divisibles.
• Sobre un campo no algebraicamente cerrado, existen álgebras de Lie semisimples no divisibles. ^[2]
• En un álgebra de Lie divisible, pueden existir subálgebras de Cartan que no se dividen. ^[3]
• Las sumas directas de álgebras de Lie divisibles y los ideales en álgebras de Lie divisibles son divisibles.

Dividir álgebras de mentira reales

Para un álgebra de Lie real, divisible es equivalente a cualquiera de estas condiciones: ^[4]

• El rango real es igual al rango complejo.
• El diagrama de Satake no tiene vértices ni flechas negras.

Cada álgebra de Lie compleja semisimple tiene un álgebra de Lie real dividida única (hasta el isomorfismo), que también es semisimple y es simple si y solo si el álgebra de Lie compleja lo es. ^[5]

Para álgebras de Lie semisimples reales, las álgebras de Lie divididas son opuestas a las álgebras de Lie compactas : el grupo de Lie correspondiente está "lo más lejos posible" de ser compacto.

Ejemplos

Las formas reales divididas para las álgebras de Lie complejas semisimples son: ^[6]

• ${\displaystyle A_{n},{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle B_{n},{\mathfrak {so}}_{2n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n+1}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle C_{n},{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle D_{n},{\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n}(\mathbf {R} )}$
• Álgebras de Lie excepcionales: tienen formas reales divididas E I, EV , E VIII, F I , G. ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$

Estas son las álgebras de Lie de los grupos reales divididos de los grupos de Lie complejos.

Tenga en cuenta que para y , la forma real son los puntos reales de (el álgebra de Lie de) el mismo grupo algebraico , mientras que para uno debe usar las formas divididas (de índice máximamente indefinido), ya que el grupo SO es compacto. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$

Ver también

• Álgebra de mentira compacta
• forma real
• Número complejo dividido
• Grupo ortogonal dividido

Referencias

1. (Bourbaki 2005, Capítulo VIII, Sección 2: Sistema de raíces de un álgebra de mentira semisimple dividida, p. 77)
2. (Bourbaki 2005, Capítulo VIII, Sección 2: Sistema de raíces de un álgebra de mentira semisimple dividida, Ejercicio 2 a p. 77)
3. (Bourbaki 2005, Capítulo VIII, Sección 2: Sistema de raíces de un álgebra de mentira semisimple dividida, Ejercicio 2 b p. 77)
4. (Onishchik y Vinberg 1994, pág.157)
5. (Onishchik y Vinberg 1994, Teorema 4.4, p.158)
6. (Onishchik y Vinberg 1994, pág.158)

• Bourbaki, Nicolas (2005), "VIII: Álgebras de mentira semisimples divididas", Elementos de matemáticas: grupos de mentira y álgebras de mentira: capítulos 7 a 9 , Springer, ISBN 978-3-540-43405-4
• Onishchik, AL; Vinberg, Ėrnest Borisovich (1994), "4.4: Split Real Semisimple Lie Algebras", Grupos de Lie y álgebras de Lie III: estructura de grupos de Lie y álgebras de Lie , Springer, págs. 157-158, ISBN 978-3-540-54683-2