Teorema de Jacobson-Morozov

En matemáticas, el teorema de Jacobson-Morozov es la afirmación de que los elementos nilpotentes en un álgebra de Lie semisimple pueden extenderse a sl ₂ -triples . El teorema recibe su nombre de Jacobson 1951, Morozov 1942.

Declaración

El enunciado de Jacobson-Morozov se basa en las siguientes nociones preliminares: una sl ₂ -triple en un álgebra de Lie semisimple (en todo este artículo, sobre un cuerpo de característica cero ) es un homomorfismo de álgebras de Lie . Equivalentemente, es una terna de elementos que satisface las relaciones ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e,f,h}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [h,e]=2e,\quad [h,f]=-2f,\quad [e,f]=h.}$

Un elemento se llama nilpotente si el endomorfismo (conocido como representación adjunta ) es un endomorfismo nilpotente . Es un hecho elemental que para cualquier sl ₂ -triple , e debe ser nilpotente. El teorema de Jacobson-Morozov establece que, a la inversa, cualquier elemento nilpotente distinto de cero puede extenderse a un sl ₂ -triple. ^{[1] [2]} Para , los sl ₂ -triples obtenidos de esta manera se hacen explícitos en Chriss & Ginzburg (1997, p. 184). ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [x,-]:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (e,f,h)}$ ${\displaystyle e\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}}$

El teorema también se puede enunciar para grupos algebraicos lineales (de nuevo sobre un cuerpo k de característica cero): cualquier morfismo (de grupos algebraicos) del grupo aditivo a un grupo reductivo H se factoriza a través de la incrustación ${\displaystyle G_{a}}$

${\displaystyle G_{a}\to SL_{2},x\mapsto \left({\begin{array}{cc}1&x\\0&1\end{array}}\right).}$

Además, cualesquiera dos de tales factorizaciones

${\displaystyle SL_{2}\to H}$

son conjugados por un punto k de H .

Generalización

Una generalización de largo alcance del teorema tal como se formuló anteriormente puede enunciarse de la siguiente manera: la inclusión de grupos pro-reductivos en todos los grupos algebraicos lineales, donde los morfismos en ambas categorías son llevados hasta la conjugación por elementos en , admite un adjunto izquierdo , la llamada envolvente pro-reductiva. Este adjunto izquierdo envía el grupo aditivo a (que resulta ser semi-simple, en oposición a pro-reductivo), recuperando así la forma anterior de Jacobson-Morozov. Este teorema generalizado de Jacobson-Morozov fue demostrado por André y Kahn (2002, Teorema 19.3.1) apelando a métodos relacionados con las categorías de Tannakian y por O'Sullivan (2010) mediante métodos más geométricos. ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle H(k)}$ ${\displaystyle G_{a}}$ ${\displaystyle SL_{2}}$

Referencias

1. Bourbaki (2007, capítulo VIII, §11, propuesta 2)
2. Jacobson (1979, Cap. III, §11, Teorema 17)

• André, Yves; Kahn, Bruno (2002), "Nilpotencia, radicaux et estructuras monoïdales", Rend. Semín. Estera. Univ. Padua , 108 : 107–291, arXiv : math/0203273 , Bibcode : 2002math......3273A, MR  1956434
• Chriss, Neil; Ginzburg, Victor (1997), Teoría de la representación y geometría compleja , Birkhäuser, ISBN 0-8176-3792-3, Sr.  1433132
• Bourbaki, Nicolas (2007), Groupes et algèbres de Lie: Chapitres 7 et 8 , Springer, ISBN 9783540339779
• Jacobson, Nathan (1935), "Métodos racionales en la teoría de las álgebras de Lie", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 36 (4): 875–881, doi :10.2307/1968593, JSTOR  1968593, MR  1503258
• Jacobson, Nathan (1951), "Álgebras de Lie completamente reducibles de transformaciones lineales", Actas de la American Mathematical Society , 2 : 105–113, doi : 10.1090/S0002-9939-1951-0049882-5 , MR  0049882
• Jacobson, Nathan (1979), Álgebras de Lie (Republicación de la edición original de 1962), Dover Publications, Inc., Nueva York, ISBN 0-486-63832-4
• Morozov, VV (1942), "Sobre un elemento nilpotente en un álgebra de Lie semisimple", CR (Doklady) Acad. Sci. URSS , Nueva Serie, 36 : 83–86, MR  0007750
• O'Sullivan, Peter (2010), "El teorema generalizado de Jacobson-Morosov", Memorias de la American Mathematical Society , 207 (973), doi :10.1090/s0065-9266-10-00603-4, ISBN 978-0-8218-4895-1