Teorema de Serre sobre un álgebra de Lie semisimple

En álgebra abstracta, específicamente en la teoría de álgebras de Lie , el teorema de Serre establece: dado un sistema de raíces (finito reducido) , existe un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita cuyo sistema de raíces es el dado . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Declaración

El teorema establece que: dado un sistema de raíces en un espacio euclidiano con un producto interno , y una base de , el álgebra de Lie definida por (1) generadores y (2) las relaciones ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (,)}$ ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle =2(\alpha ,\beta )/(\alpha ,\alpha ),\beta ,\alpha \in E}$ ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 3n}$ ${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},\,[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j}$,

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle e_{j},\,[h_{i},f_{j}]=-\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle f_{j}}$,

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle +1}(e_{j})=0,i\neq j}$,

${\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{-\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle +1}(f_{j})=0,i\neq j}$.

es un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita con la subálgebra de Cartan generada por y con el sistema raíz . ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle \Phi }$

La matriz cuadrada se denomina matriz de Cartan . Así, con esta noción, el teorema establece que, dada una matriz de Cartan A , existe una única álgebra de Lie semisimple de dimensión finita (salvo un isomorfismo) asociada a . La construcción de un álgebra de Lie semisimple a partir de una matriz de Cartan se puede generalizar debilitando la definición de matriz de Cartan. El álgebra de Lie (generalmente de dimensión infinita) asociada a una matriz de Cartan generalizada se denomina álgebra de Kac-Moody . ${\displaystyle [\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle ]_{1\leq i,j\leq n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}(A)}$ ${\displaystyle A}$

Bosquejo de la prueba

La prueba aquí está tomada de (Serre 1966, Cap. VI, Apéndice.) y (Kac 1990, Teorema 1.2.). Sea y entonces el álgebra de Lie generada por (1) los generadores y (2) las relaciones: ${\displaystyle a_{ij}=\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle }$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$

• ${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0}$,
• ${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i}}$, , ${\displaystyle [e_{i},f_{j}]=0,i\neq j}$
• ${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j}}$.

Sea el espacio vectorial libre generado por , V el espacio vectorial libre con una base y el álgebra tensorial sobre ella. Consideremos la siguiente representación de un álgebra de Lie: ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle h_{i}}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ ${\textstyle T=\bigoplus _{l=0}^{\infty }V^{\otimes l}}$

${\displaystyle \pi :{\widetilde {\mathfrak {g}}}\to {\mathfrak {gl}}(T)}$

dado por: para , ${\displaystyle a\in T,h\in {\mathfrak {h}},\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$

• ${\displaystyle \pi (f_{i})a=v_{i}\otimes a,}$
• ${\displaystyle \pi (h)1=\langle \lambda ,\,h\rangle 1,\pi (h)(v_{j}\otimes a)=-\langle \alpha _{j},h\rangle v_{j}\otimes a+v_{j}\otimes \pi (h)a}$, inductivamente,
• ${\displaystyle \pi (e_{i})1=0,\,\pi (e_{i})(v_{j}\otimes a)=\delta _{ij}\alpha _{i}(a)+v_{j}\otimes \pi (e_{i})a}$, inductivamente.

No es trivial que se trate de una representación bien definida y que haya que comprobarlo a mano. De esta representación se deducen las siguientes propiedades: sean (resp. ) las subálgebras de generadas por las de (resp. las de). ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$

• ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+}}$(resp. ) es un álgebra de Lie libre generada por el 's (resp. el 's). ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$
• Como espacio vectorial, . ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}={\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+}\bigoplus {\mathfrak {h}}\bigoplus {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-}}$
• ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+}=\bigoplus _{0\neq \alpha \in Q_{+}}{\widetilde {\mathfrak {g}}}_{\alpha }}$donde y, de manera similar, . ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}_{\alpha }=\{x\in {\widetilde {\mathfrak {g}}}|[h,x]=\alpha (h)x,h\in {\mathfrak {h}}\}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-}=\bigoplus _{0\neq \alpha \in Q_{+}}{\widetilde {\mathfrak {g}}}_{-\alpha }}$
• (descomposición del espacio raíz) . ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}=\left(\bigoplus _{0\neq \alpha \in Q_{+}}{\widetilde {\mathfrak {g}}}_{-\alpha }\right)\bigoplus {\mathfrak {h}}\bigoplus \left(\bigoplus _{0\neq \alpha \in Q_{+}}{\widetilde {\mathfrak {g}}}_{\alpha }\right)}$

Para cada ideal de , se puede demostrar fácilmente que es homogéneo con respecto a la gradación dada por la descomposición en el espacio raíz; es decir, . De ello se deduce que la suma de los ideales que se intersecan trivialmente, ella misma se interseca trivialmente. Sea la suma de todos los ideales que se intersecan trivialmente. Entonces hay una descomposición en el espacio vectorial: . De hecho, es una descomposición en -módulo. Sea ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}=\bigoplus _{\alpha }({\widetilde {\mathfrak {g}}}_{\alpha }\cap {\mathfrak {i}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}=({\mathfrak {r}}\cap {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{-})\oplus ({\mathfrak {r}}\cap {\widetilde {\mathfrak {n}}}_{+})}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathfrak {g}}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\widetilde {\mathfrak {g}}}/{\mathfrak {r}}}$.

Luego contiene una copia de , que se identifica con y ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {n}}_{+}\bigoplus {\mathfrak {h}}\bigoplus {\mathfrak {n}}_{-}}$

donde (resp. ) son las subálgebras generadas por las imágenes de (resp. las imágenes de ). ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{-}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$

Se demuestra entonces: (1) el álgebra derivada aquí es la misma que en la introducción, (2) es de dimensión finita y semisimple y (3) . ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}}$

Referencias

• Kac, Victor (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-46693-8.
• Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90053-7.
• Serre, Jean-Pierre (1966). Álgebras de Lie semisimples complejas [ Álgebras de Lie complejas semisimples ]. Traducido por Jones, GA Benjamín. ISBN 978-3-540-67827-4.