El Laplaciano es la suma de derivadas parciales de segundo orden respecto de cada una de las variables, y es un operador diferencial invariante bajo la acción del grupo ortogonal vía el grupo de rotaciones.
El teorema de separación de variables estándar [ cita necesaria ] establece que cada polinomio multivariado sobre un campo se puede descomponer como una suma finita de productos de un polinomio radial y un polinomio armónico. Esto equivale a afirmar que el anillo polinomial es un módulo libre sobre el anillo de polinomios radiales. [7]
Ejemplos
Considere un polinomio univariado de grado . Para ser armónico, este polinomio debe satisfacer
Polinomios armónicos reales en dos variables hasta el grado 6, graficados sobre el disco unitario.
en todos los puntos . En particular, cuando tenemos un polinomio , que debe satisfacer la condición . Por tanto, los únicos polinomios armónicos de una variable (real) son funciones afines .
En el caso multivariable, se encuentran espacios no triviales de polinomios armónicos. Considere, por ejemplo, el polinomio cuadrático bivariado
donde hay coeficientes reales. El laplaciano de este polinomio viene dado por
Por lo tanto, para que sea armónico, sus coeficientes sólo necesitan satisfacer la relación . De manera equivalente, todos los polinomios armónicos bivariados cuadráticos (reales) son combinaciones lineales de los polinomios
Tenga en cuenta que, como en cualquier espacio vectorial, existen otras opciones de base para este mismo espacio de polinomios.
A continuación se proporciona una base para polinomios armónicos bivariados reales hasta el grado 6:
^ Walsh, JL (1927). "Sobre la expansión de funciones armónicas en términos de polinomios armónicos". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 13 (4): 175–180. Código bibliográfico : 1927PNAS...13..175W. doi : 10.1073/pnas.13.4.175 . PMC 1084921 . PMID 16577046.
^ Helgason, Sigurdur (2003). "Capítulo III. Invariantes y polinomios armónicos". Grupos y análisis geométrico: geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas . Encuestas y monografías matemáticas, vol. 83. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 345–384. ISBN9780821826737.
^ Felder, Giovanni; Veselov, Alexander P. (2001). "Acción de los grupos de Coxeter sobre polinomios m-armónicos y ecuaciones KZ". arXiv : matemáticas/0108012 .
^ Sobolev, Sergeĭ Lʹvovich (2016). Ecuaciones diferenciales parciales de física matemática. Serie Internacional de Monografías en Matemática Pura y Aplicada. Elsevier. págs. 401–408. ISBN9781483181363.
^ Whittaker, Edmund T. (1903). "Sobre las ecuaciones diferenciales parciales de la física matemática". Annalen Matemáticas . 57 (3): 333–355. doi :10.1007/bf01444290. S2CID 122153032.
^ Byerly, William Elwood (1893). "Capítulo VI. Armónicos Esféricos". Un tratado elemental sobre las series de Fourier y los armónicos esféricos, cilíndricos y elipsoidales, con aplicaciones a problemas de física matemática . Dover. págs. 195-218.
^ Cfr. Corolario 1.8 de Axler, Sheldon; Ramey, Wade (1995), Polinomios armónicos y problemas tipo Dirichlet
Representaciones de grupos de mentiras de anillos polinomiales por Bertram Kostant publicado en el American Journal of Mathematics Vol 85 No 3 (julio de 1963) doi :10.2307/2373130