Polinomio multilineal

En álgebra, un polinomio multilineal ^[1] es un polinomio multivariado que es lineal (es decir, afín ) en cada una de sus variables por separado , pero no necesariamente de manera simultánea . Es un polinomio en el que ninguna variable aparece elevada a una potencia de 2 o superior; es decir, cada monomio es una constante por un producto de variables distintas. Por ejemplo, f(x,y,z) = 3xy + 2,5 y - 7z es un polinomio multilineal de grado 2 (debido al monomio 3xy), mientras que f(x,y,z) = x² +4y no lo es. El grado de un polinomio multilineal es el número máximo de variables distintas que aparecen en cualquier monomio.

Definición

Los polinomios multilineales pueden entenderse como un mapa multilineal (específicamente, una forma multilineal ) aplicada a los vectores [1 x], [1 y], etc. La forma general puede escribirse como una contracción tensorial : $${\displaystyle f(x)=\sum _{i_{1}=0}^{1}\sum _{i_{2}=0}^{1}\cdots \sum _{i_{n}=0}^{1}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$$

Por ejemplo, en dos variables: $${\displaystyle f(x,y)=\sum _{i=0}^{1}\sum _{j=0}^{1}a_{ij}x^{i}y^{j}=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy={\begin{pmatrix}1&x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\y\end{pmatrix}}}$$

Propiedades

Un polinomio multilineal es lineal (afín) cuando varía solo una variable, : donde y no dependen de . Nótese que generalmente no es cero, por lo que es lineal en el sentido de "forma de línea", pero no en el sentido "directamente proporcional" de una función multilineal . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{k}}$ $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{k},...,x_{n})=ax_{k}+b}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$

Todas las derivadas parciales segundas repetidas son cero: en otras palabras, su matriz hessiana es una matriz hueca simétrica . $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{k}^{2}}}=0}$$

En particular, la función laplaciana es una función armónica , lo que implica que tiene máximos y mínimos solo en el límite del dominio . ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

En términos más generales, toda restricción de un subconjunto de sus coordenadas también es multilineal, por lo que sigue siendo válida cuando una o más variables son fijas. En otras palabras, es armónica en cada "segmento" del dominio a lo largo de los ejes de coordenadas. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$ ${\displaystyle f}$

En un dominio rectangular

Cuando el dominio es rectangular en los ejes de coordenadas (por ejemplo, un hipercubo ), tendrá máximos y mínimos solo en los vértices del dominio, es decir, el conjunto finito de puntos con valores de coordenadas mínimos y máximos. El valor de la función en estos puntos determina completamente la función, ya que el valor en los bordes del límite se puede encontrar por interpolación lineal , y el valor en el resto del límite y el interior está fijado por la ecuación de Laplace , . ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

El valor del polinomio en un punto arbitrario se puede encontrar mediante interpolación lineal repetida a lo largo de cada eje de coordenadas. De manera equivalente, es una media ponderada de los valores de los vértices, donde los pesos son los polinomios de interpolación de Lagrange . Estos pesos también constituyen un conjunto de coordenadas baricéntricas generalizadas para el hiperrectángulo . Geométricamente, el punto divide el dominio en hiperrectángulos más pequeños, y el peso de cada vértice es el volumen (fraccional) del hiperrectángulo opuesto. ${\displaystyle 2^{n}}$

Algebraicamente, el interpolador multilineal sobre el hiperrectángulo es: donde la suma se toma sobre los vértices . Equivalentemente, donde V es el volumen del hiperrectángulo. ${\displaystyle [a_{i},b_{i}]_{i=1}^{n}}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{v}f(v)\prod _{i|v_{i}=b_{i}}{\frac {x_{i}-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}\prod _{i|v_{i}=a_{i}}{\frac {b_{i}-x_{i}}{b_{i}-a_{i}}}}$$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{V}}\sum _{v}f(v)\prod _{i|v_{i}=b_{i}}(x_{i}-a_{i})\prod _{i|v_{i}=a_{i}}(b_{i}-x_{i})}$$

El valor en el centro es la media aritmética del valor en los vértices, que también es la media sobre el límite del dominio y la media sobre el interior. Los componentes del gradiente en el centro son proporcionales al equilibrio de los valores de los vértices a lo largo de cada eje de coordenadas.

Los valores de los vértices y los coeficientes del polinomio están relacionados mediante una transformación lineal (específicamente, una transformada de Möbius si el dominio es el hipercubo unitario , y una transformada de Walsh-Hadamard-Fourier si el dominio es el hipercubo simétrico ). ${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$ ${\displaystyle \{-1,1\}^{n}}$

Aplicaciones

Los polinomios multilineales son los interpoladores de la interpolación multilineal o n-lineal en una cuadrícula rectangular, una generalización de la interpolación lineal , la interpolación bilineal y la interpolación trilineal para un número arbitrario de variables. Esta es una forma específica de interpolación multivariante , que no debe confundirse con la interpolación lineal por partes . El polinomio resultante no es una función lineal de las coordenadas (su grado puede ser mayor que 1), pero es una función lineal de los valores de los datos ajustados.

El determinante , permanente y otros inmanentes de una matriz son polinomios multilineales homogéneos en los elementos de la matriz (y también formas multilineales en las filas o columnas).

Los polinomios multilineales en variables forman un espacio vectorial de dimensión , que también es la base utilizada en el análisis de Fourier de funciones (pseudo)booleanas . Cada función ( pseudo ) booleana puede expresarse de forma única como un polinomio multilineal (hasta una elección de dominio y codominio). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

Los polinomios multilineales son importantes en el estudio de las pruebas de identidad polinomial . ^[2]

Véase también

• Interpolación bilineal y trilineal , utilizando polinomios multivariados con dos o tres variables
• Polinomio de Zhegalkin , un polinomio multilineal sobre ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$
• Forma multilineal y mapa multilineal , funciones multilineales que son estrictamente lineales (no afines) en cada variable
• Forma lineal , una función lineal multivariante
• Polinomio armónico

Referencias

1. Laneve, Cosimo; Lascu, Tudor A.; Sordoni, Vania (1 de octubre de 2010). "El análisis de intervalos de expresiones multilineales". Notas electrónicas en informática teórica . 267 (2): 43–53. doi : 10.1016/j.entcs.2010.09.017 . ISSN  1571-0661.
2. A. Giambruno, Mikhail Zaicev. Identidades polinómicas y métodos asintóticos. AMS Bookstore, 2005 ISBN 978-0-8218-3829-7 . Sección 1.3.