mapa multilineal

Función vectorial de múltiples vectores, lineal en cada argumento

En álgebra lineal , una aplicación multilineal es una función de varias variables que es lineal por separado en cada variable. Más precisamente, un mapa multilineal es una función

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

donde ( ) y son espacios vectoriales (o módulos sobre un anillo conmutativo ), con la siguiente propiedad: para cada , si todas las variables se mantienen constantes, entonces es una función lineal de . ^[1] Una forma de visualizar esto es imaginar dos vectores ortogonales ; Si uno de estos vectores se escala en un factor de 2 mientras que el otro permanece sin cambios, el producto cruzado también se escala en un factor de dos. Si ambos se escalan por un factor de 2, el producto cruzado se escala por un factor de . ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle 2^{2}}$

Un mapa multilineal de una variable es un mapa lineal , y de dos variables es un mapa bilineal . De manera más general, para cualquier número entero no negativo , un mapa multilineal de k variables se llama mapa k -lineal . Si el codominio de una aplicación multilineal es el campo de escalares , se llama forma multilineal . Los mapas multilineales y las formas multilineales son objetos de estudio fundamentales en álgebra multilineal . ${\displaystyle k}$

Si todas las variables pertenecen al mismo espacio, se pueden considerar mapas k -lineales simétricos , antisimétricos y alternos . Los dos últimos coinciden si el anillo (o campo ) subyacente tiene una característica diferente de los dos; en caso contrario, los dos primeros coinciden.

Ejemplos

• Cualquier mapa bilineal es un mapa multilineal. Por ejemplo, cualquier producto interno en un espacio vectorial es un mapa multilineal, al igual que el producto cruzado de los vectores en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• El determinante de una matriz es una función multilineal alterna de las columnas (o filas) de una matriz cuadrada .
• Si es una función C k , entonces la derivada enésima de en cada punto de su dominio puede verse como una función lineal simétrica . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

Coordinar la representación

Dejar

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

Sea un mapa multilineal entre espacios vectoriales de dimensión finita , donde tiene dimensión y tiene dimensión . Si elegimos una base para cada uno y una base para (usando negrita para los vectores), entonces podemos definir una colección de escalares por ${\displaystyle V_{i}\!}$ ${\displaystyle d_{i}\!}$ ${\displaystyle W\!}$ ${\displaystyle d\!}$ ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}$ ${\displaystyle V_{i}\!}$ ${\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}$ ${\displaystyle W\!}$ ${\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}$

${\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}$

Entonces los escalares determinan completamente la función multilineal . En particular, si ${\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}$ ${\displaystyle f\!}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}$

para entonces ${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$

${\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}$

Ejemplo

Tomemos una función trilineal

${\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}$

donde V _i = R ² , d _i = 2, i = 1,2,3 y W = R , d = 1 .

Una base para cada V _i es Let ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}$

${\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}$

dónde . En otras palabras, la constante es un valor de función en uno de los ocho posibles triples de vectores base (ya que hay dos opciones para cada uno de los tres ), a saber: ${\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}$ ${\displaystyle A_{ijk}}$ ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}$

Cada vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores base. ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}$

El valor de la función en una colección arbitraria de tres vectores se puede expresar como ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}$

${\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k},}$

o en forma expandida como

${\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}$

Relación con productos tensoriales

Existe una correspondencia natural uno a uno entre mapas multilineales.

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

y mapas lineales

${\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}$

donde denota el producto tensorial de . La relación entre las funciones y está dada por la fórmula. ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}$

Funciones multilineales en matrices n × n

Se pueden considerar funciones multilineales, en una matriz n × n sobre un anillo conmutativo K con identidad, como una función de las filas (o equivalentemente, las columnas) de la matriz. Sea A dicha matriz y a _i , 1 ≤ i ≤ n , sean las filas de A . Entonces la función multilineal D se puede escribir como

${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}$

satisfactorio

${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}$

Si dejamos representar la j- ésima fila de la matriz identidad, podemos expresar cada fila a _i como la suma ${\displaystyle {\hat {e}}_{j}}$

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}$

Usando la multilinealidad de D reescribimos D ( A ) como

${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$

Continuando con esta sustitución para cada a _i obtenemos, para 1 ≤ i ≤ n ,

${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).}$

Por lo tanto, D ( A ) está determinado únicamente por cómo opera D. ${\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}$

Ejemplo

En el caso de matrices de 2×2, obtenemos

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2}),\,}$

dónde y . Si restringimos que sea una función alterna, entonces y . Dejando , obtenemos la función determinante en matrices de 2 × 2: ${\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$ ${\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}$ ${\displaystyle D(I)=1}$

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}$

Propiedades

• Un mapa multilineal tiene un valor de cero siempre que uno de sus argumentos sea cero.

Ver también

• forma algebraica
• Forma multilineal
• Polinomio homogéneo
• Función homogénea
• Tensores

Referencias

1. Lang, Serge (2005) [2002]. "XIII. Matrices y Mapas Lineales §S Determinantes". Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 211 (3ª ed.). Saltador. págs. 511–. ISBN 978-0-387-95385-4.