Se han utilizado varias convenciones para definir VSH. [1] [2] [3] [4] [5]
Seguimos el de Barrera et al. . Dado un armónico esférico escalar Y ℓm ( θ , φ ) , definimos tres VSH:
siendo el vector unitario a lo largo de la dirección radial en coordenadas esféricas y el vector a lo largo de la dirección radial con la misma norma que el radio, es decir ,. Los factores radiales se incluyen para garantizar que las dimensiones del VSH sean las mismas que las de los armónicos esféricos ordinarios y que el VSH no dependa de la coordenada esférica radial.
El interés de estos nuevos campos vectoriales es separar la dependencia radial de la angular cuando se utilizan coordenadas esféricas, de modo que un campo vectorial admita una expansión multipolar.
Las etiquetas de las componentes reflejan que es la componente radial del campo vectorial, mientras que y son componentes transversales (con respecto al radio vector ).
Propiedades principales
Simetría
Al igual que los armónicos esféricos escalares, los VSH satisfacen
lo que reduce el número de funciones independientes aproximadamente a la mitad. La estrella indica conjugación compleja .
Ortogonalidad
Los VSH son ortogonales en la forma tridimensional habitual en cada punto :
También son ortogonales en el espacio de Hilbert:
Un resultado adicional en un solo punto (no informado en Barrera et al, 1985) es, para todos ,
Momentos multipolares vectoriales
Las relaciones de ortogonalidad permiten calcular los momentos multipolares esféricos de un campo vectorial como
También tenga en cuenta que esta acción se vuelve simétrica , es decir, los coeficientes fuera de la diagonal son iguales a , para VSH correctamente normalizado .
Ejemplos
Visualizaciones de las partes reales de VSH. Haga clic para ampliar.
Primeros armónicos esféricos vectoriales.
.
.
.
Las expresiones para valores negativos de m se obtienen aplicando las relaciones de simetría.
Aplicaciones
Electrodinámica
Los VSH son especialmente útiles en el estudio de campos de radiación multipolares . Por ejemplo, un multipolo magnético se debe a una corriente oscilante con frecuencia angular y amplitud compleja.
y los campos eléctricos y magnéticos correspondientes, se pueden escribir como
Sustituyendo en las ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss se cumple automáticamente
mientras que la ley de Faraday se desacopla como
La ley de Gauss para el campo magnético implica
y la ecuación de Ampère-Maxwell da
De esta forma, las ecuaciones diferenciales parciales se han transformado en un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Definición alternativa
En muchas aplicaciones, los armónicos vectoriales esféricos se definen como un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas. [6] [7]
En este caso, los armónicos vectoriales esféricos se generan mediante funciones escalares, que son soluciones de la ecuación escalar de Helmholtz con el vector de onda .
aquí están los polinomios de Legendre asociados y cualquiera de las funciones esféricas de Bessel .
Los armónicos esféricos vectoriales se definen como:
armónicos longitudinales
armónicos magnéticos
armónicos eléctricos
Aquí usamos la parte angular de valor real de armónicos, donde , pero las funciones complejas se pueden introducir de la misma manera.
Introduzcamos la notación . En la forma de componente, los armónicos esféricos vectoriales se escriben como:
No existe una parte radial para los armónicos magnéticos. Para los armónicos eléctricos, la parte radial disminuye más rápido que la angular, y para los grandes se puede despreciar. También podemos ver que para los armónicos eléctricos y magnéticos las partes angulares son las mismas hasta la permutación de los vectores unitarios polares y azimutales, por lo que para los armónicos eléctricos y magnéticos grandes los vectores son iguales en valor y perpendiculares entre sí.
Armónicos longitudinales:
Ortogonalidad
Las soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz obedecen a las siguientes relaciones de ortogonalidad: [7]
Todas las demás integrales de ángulos entre funciones diferentes o funciones con índices diferentes son iguales a cero.
Rotación e inversión
Bajo rotación, los armónicos vectoriales esféricos se transforman entre sí de la misma manera que las funciones escalares esféricas correspondientes , que se generan para un tipo específico de armónicos vectoriales. Por ejemplo, si las funciones generadoras son los armónicos esféricos habituales , entonces los armónicos vectoriales también se transformarán a través de las matrices D de Wigner [8] [9] [10]
El comportamiento bajo rotaciones es el mismo para los armónicos eléctricos, magnéticos y longitudinales. .
En inversión, los armónicos esféricos eléctricos y longitudinales se comportan de la misma manera que las funciones esféricas escalares, es decir,
y los magnéticos tienen la paridad opuesta:
Dinámica de fluidos
En el cálculo de la ley de Stokes para la resistencia que ejerce un fluido viscoso sobre una partícula esférica pequeña, la distribución de velocidades obedece a las ecuaciones de Navier-Stokes sin tener en cuenta la inercia, es decir,
con las condiciones de contorno
donde U es la velocidad relativa de la partícula con respecto al fluido alejado de la partícula. En coordenadas esféricas, esta velocidad en el infinito se puede escribir como
La última expresión sugiere una expansión en armónicos esféricos para la velocidad del líquido y la presión.
La sustitución en las ecuaciones de Navier-Stokes produce un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para los coeficientes.
Relaciones integrales
Aquí se utilizan las siguientes definiciones:
En el caso de que en lugar de funciones de Bessel sean esféricas , con la ayuda de la expansión de ondas planas se pueden obtener las siguientes relaciones integrales: [11]
En el caso de que sean funciones de Hankel esféricas, se deben utilizar las fórmulas diferentes. [12] [11] Para armónicos vectoriales esféricos se obtienen las siguientes relaciones:
donde , índice significa que se utilizan funciones esféricas de Hankel.
^ Barrera, RG; Estévez, GA; Giraldo, J (1 de octubre de 1985). "Vectores armónicos esféricos y su aplicación a la magnetostática". Revista Europea de Física . 6 (4). Publicación del PIO: 287–294. Código bibliográfico : 1985EJPh....6..287B. CiteSeerX 10.1.1.718.2001 . doi :10.1088/0143-0807/6/4/014. ISSN 0143-0807. S2CID 250894245.
^ Carrascal, B; Estévez, GA; Lee, Peilian; Lorenzo, V (1 de julio de 1991). "Vectores armónicos esféricos y su aplicación a la electrodinámica clásica". Revista Europea de Física . 12 (4). Publicaciones del PIO: 184–191. Código bibliográfico : 1991EJPh...12..184C. doi :10.1088/0143-0807/12/4/007. ISSN 0143-0807. S2CID 250886412.
^ Hill, EL (1954). "La teoría de los armónicos esféricos vectoriales" (PDF) . Revista Estadounidense de Física . 22 (4). Asociación Estadounidense de Profesores de Física (AAPT): 211–214. Código bibliográfico : 1954AmJPh..22..211H. doi :10.1119/1.1933682. ISSN 0002-9505. S2CID 124182424. Archivado desde el original (PDF) el 12 de abril de 2020.
^ Weinberg, Erick J. (15 de enero de 1994). "Armónicos esféricos de vector monopolar". Revisión física D. 49 (2). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1086–1092. arXiv : hep-th/9308054 . Código bibliográfico : 1994PhRvD..49.1086W. doi :10.1103/physrevd.49.1086. ISSN 0556-2821. PMID 10017069. S2CID 6429605.
^ PM Morse y H. Feshbach, Métodos de física teórica, parte II , Nueva York: McGraw-Hill, 1898-1901 (1953)
^ Bohren, Craig F. y Donald R. Huffman, Absorción y dispersión de luz por partículas pequeñas, Nueva York: Wiley, 1998, 530 p., ISBN 0-471-29340-7 , ISBN 978-0-471-29340- 8 (segunda edición)
^ a b Stratton, JA (1941). Teoría Electromagnética . Nueva York: McGraw-Hill.
^ DA Varhalovich, AN Moskalev y VK Khersonskii, Teoría cuántica del momento angular [en ruso], Nauka, Leningrado (1975)
^ Zhang, Huayong; Han, Yiping (2008). "Teorema de la suma para las funciones de onda vectoriales esféricas y su aplicación a los coeficientes de forma del haz". J. Optar. Soc. Soy. B . 25 (2): 255–260. Código Bib : 2008JOSAB..25..255Z. doi :10.1364/JOSAB.25.000255.
^ Stein, Seymour (1961). "Teoremas de suma para funciones de onda esféricas". Trimestral de Matemática Aplicada . 19 (1): 15-24. doi :10.1090/qam/120407.
^ ab Stout, B. (2012). Popov, E (ed.). "Sumas de celosías armónicas esféricas para rejillas" (PDF) . Institut Fresnel, Université d'Aix-Marseille 6. Rejillas: teoría y aplicaciones numéricas.
^ Wittmann, RC (1988). "Operadores de ondas esféricas y fórmulas de traducción". Transacciones IEEE sobre antenas y propagación . 36 (8): 1078–1087. Código Bib : 1988ITAP...36.1078W. doi :10.1109/8.7220.
enlaces externos
Armónicos esféricos vectoriales en Mathworld de Eric Weisstein