Armónicos esféricos ponderados por giro

En funciones especiales , un tema de matemáticas , los armónicos esféricos ponderados por espín son generalizaciones de los armónicos esféricos estándar y, como los armónicos esféricos habituales, son funciones en la esfera . A diferencia de los armónicos esféricos ordinarios, los armónicos ponderados por espín son campos calibre U(1) en lugar de campos escalares : matemáticamente, toman valores en un haz de líneas complejo . Los armónicos ponderados por espín están organizados por grado l , al igual que los armónicos esféricos ordinarios, pero tienen un peso de espín adicional s que refleja la simetría U(1) adicional . Se puede derivar una base especial de armónicos a partir de los armónicos esféricos de Laplace Y _lm , y normalmente se denotan por _s Y _lm , donde l y m son los parámetros habituales familiares de los armónicos esféricos estándar de Laplace. En esta base especial, los armónicos esféricos ponderados por espín aparecen como funciones reales, porque la elección de un eje polar corrige la ambigüedad del calibre U(1) . Los armónicos esféricos ponderados por giro se pueden obtener a partir de los armónicos esféricos estándar mediante la aplicación de operadores de elevación y descenso de giro . En particular, los armónicos esféricos ponderados por espín de peso de espín s = 0 son simplemente los armónicos esféricos estándar:

${\displaystyle {}_{0}Y_{lm}=Y_{lm}\ .}$

Los espacios de armónicos esféricos ponderados por espín se identificaron por primera vez en relación con la teoría de representación del grupo de Lorentz (Gelfand, Minlos y Shapiro 1958). Fueron redescubiertos posteriormente e independientemente por Newman y Penrose (1966) y aplicados para describir la radiación gravitacional , y nuevamente por Wu y Yang (1976) como los llamados "armónicos monopolo" en el estudio de los monopolos de Dirac .

Funciones ponderadas por giro

Considere la esfera S ² como incrustada en el espacio euclidiano tridimensional R ³ . En un punto x de la esfera, una base ortonormal de vectores tangentes orientada positivamente en x es un par a , b de vectores tales que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {x} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &=1\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {x} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )&>0,\end{aligned}}}$

donde el primer par de ecuaciones establece que a y b son tangentes en x , el segundo par establece que a y b son vectores unitarios , la penúltima ecuación que a y b son ortogonales y la ecuación final que ( x , a , b ) es una base diestra de R ³ .

Una función f de peso de espín es una función que acepta como entrada un punto x de S ² y una base ortonormal orientada positivamente de vectores tangentes en x , tal que

${\displaystyle f{\bigl (}\mathbf {x} ,(\cos \theta )\mathbf {a} -(\sin \theta )\mathbf {b} ,(\sin \theta )\mathbf {a} +(\cos \theta )\mathbf {b} {\bigr )}=e^{is\theta }f(\mathbf {x} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$

para cada ángulo de rotación θ .

Siguiendo a Eastwood y Tod (1982), denotamos el conjunto de todas las funciones s de peso de espín como B ( s ) . Concretamente, estas se entienden como funciones f en C ² \{0 } que satisfacen la siguiente ley de homogeneidad bajo escalamiento complejo

${\displaystyle f\left(\lambda z,{\overline {\lambda }}{\bar {z}}\right)=\left({\frac {\overline {\lambda }}{\lambda }}\right)^{s}f\left(z,{\bar {z}}\right).}$

Esto tiene sentido siempre que s sea un semientero.

En resumen, B ( s ) es isomorfo al haz de vectores liso subyacente al haz de vectores antiholomórfico O (2 s ) del giro de Serre en la línea proyectiva compleja CP ¹ . Una sección del último paquete es una función g en C ² \{0 } que satisface

${\displaystyle g\left(\lambda z,{\overline {\lambda }}{\bar {z}}\right)={\overline {\lambda }}^{2s}g\left(z,{\bar {z}}\right).}$

Dada tal g , podemos producir una función s de peso de espín multiplicando por una potencia adecuada de la forma hermitiana

${\displaystyle P\left(z,{\bar {z}}\right)=z\cdot {\bar {z}}.}$

Específicamente, f = P ^{− s} g es una función s de peso de giro . La asociación de una función ponderada por espín a una función homogénea ordinaria es un isomorfismo.

El operadord

Los paquetes de pesos de giro B ( s ) están equipados con un operador diferencial ð ( eth ). Este operador es esencialmente el operador Dolbeault , una vez realizadas las identificaciones adecuadas,

${\displaystyle \partial :{\overline {\mathbf {O} (2s)}}\to {\mathcal {E}}^{1,0}\otimes {\overline {\mathbf {O} (2s)}}\cong {\overline {\mathbf {O} (2s)}}\otimes \mathbf {O} (-2).}$

Así, para f ∈ B ( s ) ,

${\displaystyle \eth f\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ P^{-s+1}\partial \left(P^{s}f\right)}$

define una función de peso de giro s + 1 .

Armónicos ponderados por giro

Así como los armónicos esféricos convencionales son las funciones propias del operador de Laplace-Beltrami en la esfera, los armónicos del peso de espín son las secciones propias del operador de Laplace-Beltrami que actúa sobre los paquetes E ( s ) de funciones del peso de espín .

Representación como funciones

Los armónicos ponderados por espín se pueden representar como funciones en una esfera una vez que se ha seleccionado un punto de la esfera para que sirva como polo norte. Por definición, una función η con peso de giro s se transforma al girar alrededor del polo mediante

${\displaystyle \eta \rightarrow e^{is\psi }\eta .}$

Trabajando en coordenadas esféricas estándar, podemos definir un operador particular ð que actúa sobre una función η como:

${\displaystyle \eth \eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\eta \right].}$

Esto nos da otra función de θ y φ . (El operador ð es efectivamente un operador derivado covariante en la esfera).

Una propiedad importante de la nueva función ðη es que si η tenía un peso de giro s , ðη tiene un peso de giro s + 1 . Por lo tanto, el operador aumenta el peso de giro de una función en 1. De manera similar, podemos definir un operador ð que reducirá el peso de giro de una función en 1:

${\displaystyle {\bar {\eth }}\eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{s}\eta \right].}$

Los armónicos esféricos ponderados por espín se definen entonces en términos de los armónicos esféricos habituales como:

${\displaystyle {}_{s}Y_{lm}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {(l-s)!}{(l+s)!}}}\ \eth ^{s}Y_{lm},&&0\leq s\leq l;\\{\sqrt {\frac {(l+s)!}{(l-s)!}}}\ \left(-1\right)^{s}{\bar {\eth }}^{-s}Y_{lm},&&-l\leq s\leq 0;\\0,&&l<|s|.\end{cases}}}$

Las funciones _s y _lm tienen entonces la propiedad de transformarse con el peso de espín s .

Otras propiedades importantes incluyen las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\eth \left({}_{s}Y_{lm}\right)&=+{\sqrt {(l-s)(l+s+1)}}\,{}_{s+1}Y_{lm};\\{\bar {\eth }}\left({}_{s}Y_{lm}\right)&=-{\sqrt {(l+s)(l-s+1)}}\,{}_{s-1}Y_{lm};\end{aligned}}}$

Ortogonalidad y completitud

Los armónicos son ortogonales en toda la esfera:

${\displaystyle \int _{S^{2}}{}_{s}Y_{lm}\,{}_{s}{\bar {Y}}_{l'm'}\,dS=\delta _{ll'}\delta _{mm'},}$

y satisfacer la relación de completitud

${\displaystyle \sum _{lm}{}_{s}{\bar {Y}}_{lm}\left(\theta ',\phi '\right){}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\delta \left(\phi '-\phi \right)\delta \left(\cos \theta '-\cos \theta \right)}$

Calculador

Estos armónicos se pueden calcular explícitamente mediante varios métodos. La relación de recursividad obvia resulta de aplicar repetidamente los operadores de subida o bajada. Las fórmulas para el cálculo directo fueron obtenidas por Goldberg et al. (1967). Tenga en cuenta que sus fórmulas utilizan una opción antigua para la fase Condon-Shortley. La convención elegida a continuación está de acuerdo con Mathematica, por ejemplo.

La más útil de las fórmulas de Goldberg y otros es la siguiente:

${\displaystyle {}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\left(-1\right)^{l+m-s}{\sqrt {\frac {(l+m)!(l-m)!(2l+1)}{4\pi (l+s)!(l-s)!}}}\sin ^{2l}\left({\frac {\theta }{2}}\right)e^{im\phi }\times \sum _{r=0}^{l-s}\left(-1\right)^{r}{l-s \choose r}{l+s \choose r+s-m}\cot ^{2r+s-m}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\,.}$

Aquí se puede encontrar un cuaderno de Mathematica que utiliza esta fórmula para calcular armónicos esféricos ponderados por espín arbitrarios.

Con la convención de fase aquí:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{s}{\bar {Y}}_{lm}&=\left(-1\right)^{s+m}{}_{-s}Y_{l(-m)}\\{}_{s}Y_{lm}(\pi -\theta ,\phi +\pi )&=\left(-1\right)^{l}{}_{-s}Y_{lm}(\theta ,\phi ).\end{aligned}}}$

Primeros armónicos esféricos ponderados por espín

Expresiones analíticas para los primeros armónicos esféricos ponderados por espín ortonormalizados:

peso giratorios = 1, gradol = 1

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{1}Y_{10}(\theta ,\phi )&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\,\sin \theta \\{}_{1}Y_{1\pm 1}(\theta ,\phi )&=-{\sqrt {\frac {3}{16\pi }}}(1\mp \cos \theta )\,e^{\pm i\phi }\end{aligned}}}$

Relación con las matrices de rotación de Wigner

${\displaystyle D_{-ms}^{l}(\phi ,\theta ,-\psi )=\left(-1\right)^{m}{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}{}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )e^{is\psi }}$

Esta relación permite calcular los armónicos de espín utilizando relaciones de recursividad para las matrices D.

integrales triples

La integral triple en el caso de que s ₁ + s ₂ + s ₃ = 0 está dada en términos del símbolo 3- j :

${\displaystyle \int _{S^{2}}\,{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}\,{}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}\,{}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}={\sqrt {\frac {\left(2j_{1}+1\right)\left(2j_{2}+1\right)\left(2j_{3}+1\right)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}}$

Ver también

• base esférica

Referencias

• Dray, Tevian (mayo de 1985), "La relación entre los armónicos monopolares y los armónicos esféricos ponderados por espín", J. Math. Física. , 26 (5), Instituto Americano de Física: 1030–1033, Bibcode :1985JMP....26.1030D, doi :10.1063/1.526533.
• Eastwood, Michael; Tod, Paul (1982), "Edth: un operador diferencial en la esfera", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 92 (2): 317–330, Bibcode :1982MPCPS..92..317E, doi :10.1017/S0305004100059971 , S2CID  121025245.
• Gelfand, IM ; Minlos, Robert A.; Shapiro, Z. Ja. (1958), Predstavleniya gruppy vrashcheni i gruppy Lorentsa, ikh primeneniya , Gosudarstv. Izdat. Fiz.-Mat. Lit., Moscú, MR  0114876; (1963) Representaciones de la rotación y grupos de Lorentz y sus aplicaciones (traducción). Editores Macmillan.
• Goldberg, JN; Macfarlane, AJ; Newman, et al.; Rohrlich, F.; Sudarshan, ECG (noviembre de 1967), "Spin-s Spherical Harmonics and ð", J. Math. Física. , 8 (11), Instituto Americano de Física: 2155–2161, Bibcode :1967JMP.....8.2155G, doi :10.1063/1.1705135 (Nota: como se mencionó anteriormente, este artículo utiliza una opción para la fase Condon-Shortley que ya no es estándar).
• Newman, et al .; Penrose, R. (mayo de 1966), "Nota sobre el grupo Bondi-Metzner-Sachs", J. Math. Física. , 7 (5), Instituto Americano de Física: 863–870, Bibcode :1966JMP.....7..863N, doi :10.1063/1.1931221.
• Wu, Tai Tsun; Yang, Chen Ning (1976), "Monopolo de Dirac sin cuerdas: armónicos monopolo", Física Nuclear B , 107 (3): 365–380, Bibcode :1976NuPhB.107..365W, doi :10.1016/0550-3213(76) 90143-7, SEÑOR  0471791.