Función antiholomórfica

En matemáticas , las funciones antiholomórficas (también llamadas funciones antianalíticas ^[1] ) son una familia de funciones estrechamente relacionadas con las funciones holomorfas pero distintas de ellas .

Se dice que una función de la variable compleja definida en un conjunto abierto en el plano complejo es antiholomórfica si su derivada con respecto a existe en la vecindad de todos y cada uno de los puntos de ese conjunto, donde es el conjugado complejo de . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle z}$

A continuación se presenta una definición de función antiholomórfica: ^[1]

"[una] función de una o más variables complejas [se dice que es antiholomórfica si (y sólo si)] es el conjugado complejo de una función holomorfa ". ${\displaystyle f(z)=u+iv}$ ${\displaystyle z=\left(z_{1},\dots ,z_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle {\overline {f\left(z\right)}}=u-iv}$

Se puede demostrar que si es una función holomorfa en un conjunto abierto , entonces es una función antiholomorfa en , donde es la reflexión de respecto al eje real; en otras palabras, es el conjunto de conjugados complejos de elementos de . Además, cualquier función antiholomorfa se puede obtener de esta manera a partir de una función holomorfa. Esto implica que una función es antiholomorfa si y solo si se puede desarrollar en una serie de potencias en en un entorno de cada punto en su dominio. Además, una función es antiholomorfa en un conjunto abierto si y solo si la función es holomorfa en . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f({\bar {z}})}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\overline {f(z)}}}$ ${\displaystyle D}$

Si una función es a la vez holomorfa y antiholomorfa, entonces es constante en cualquier componente conexo de su dominio.

Referencias

1. Encyclopedia of Mathematics, Springer y The European Mathematical Society, https://encyclopediaofmath.org/wiki/Antiholomorphic/Anti-holomorphic_function, Al 11 de septiembre de 2020, este artículo fue adaptado de un artículo original de ED Solomentsev (autor), que apareció en Encyclopedia of Mathematics, ISBN  1402006098 .