Armónicos esféricos de espinor

Funciones especiales en una esfera.

En mecánica cuántica , los armónicos esféricos de espín ^[1] (también conocidos como armónicos esféricos de espín , ^[2] armónicos de espino ^[3] y espinores de Pauli ^[4] ) son funciones especiales definidas sobre la esfera. Los armónicos esféricos de espinor son el análogo de espinor natural de los armónicos esféricos vectoriales . Mientras que los armónicos esféricos estándar son una base para el operador de momento angular , los armónicos esféricos del espinor son una base para el operador de momento angular total (momento angular más espín ). Estas funciones se utilizan en soluciones analíticas de la ecuación de Dirac en un potencial radial . ^[3] Los armónicos esféricos del espinor a veces se denominan espinores de campo central de Pauli , en honor a Wolfgang Pauli, quien los empleó en la solución del átomo de hidrógeno con interacción espín-órbita . ^[1]

Propiedades

Los armónicos esféricos del espinor Y _{l, s, j, m} son los estados propios del espinor del operador de momento angular total al cuadrado:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=j(j+1)Y_{l,s,j,m}\\\mathrm {j} _{\mathrm {z} }Y_{l,s,j,m}&=mY_{l,s,j,m}\;;\;m=-j,-(j-1),\cdots ,j-1,j\\\mathbf {l} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=l(l+1)Y_{l,s,j,m}\\\mathbf {s} ^{2}Y_{l,s,j,m}&=s(s+1)Y_{l,s,j,m}\end{aligned}}}$

donde j = l + s , donde j , l y s son los operadores de momento angular total (adimensional), orbital y de espín, j es el número cuántico azimutal total y m es el número cuántico magnético total .

Bajo una operación de paridad , tenemos

${\displaystyle PY_{l,sj,m}=(-1)^{l}Y_{l,s,j,m}.}$

Para sistemas de espín 1/2 , vienen dados en forma matricial por ^{[1] [3] [5]}

${\displaystyle Y_{l,\pm {\frac {1}{2}},j,m}={\frac {1}{\sqrt {2{\bigl (}j\mp {\frac {1}{2}}{\bigr )}+1}}}{\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {j\mp {\frac {1}{2}}\pm m+{\frac {1}{2}}}}Y_{l}^{m-{\frac {1}{2}}}\\{\sqrt {j\mp {\frac {1}{2}}\mp m+{\frac {1}{2}}}}Y_{l}^{m+{\frac {1}{2}}}\end{pmatrix}}.}$

¿Dónde están los armónicos esféricos habituales ? ${\displaystyle Y_{l}^{m}}$

Referencias

1. Biedenharn, LC ; Louck, JD (1981), Momento angular en física cuántica: teoría y aplicación , Enciclopedia de Matemáticas, vol. 8, lectura: Addison-Wesley , pág. 283, ISBN 0-201-13507-8
2. Edmonds, AR (1957), Momento angular en mecánica cuántica , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07912-7
3. Greiner, Walter (6 de diciembre de 2012). "9.3 Separación de las variables para la ecuación de Dirac con potencial central (mínimamente acoplada)". Mecánica cuántica relativista: ecuaciones de ondas. Saltador. ISBN 978-3-642-88082-7.
4. Rose, YO (20 de diciembre de 2013). Teoría elemental del momento angular. Publicaciones de Dover, incorporadas. ISBN 978-0-486-78879-1.
5. Berestetskii, VB; EM Lifshitz; LP Pitaevskii (2008). Electrodinámica cuántica . Traducido por JB Sykes; JS Bell (2ª ed.). Oxford: Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-08-050346-2. OCLC  785780331.