Función de Legendre

Soluciones de la ecuación diferencial de Legendre

En ciencias físicas y matemáticas, las funciones de Legendre P _λ , Q _λ y las funciones de Legendre asociadas P^μλ
_​, Q^μλ
_​, y las funciones de Legendre de segundo tipo , Q _n , son todas soluciones de la ecuación diferencial de Legendre. Los polinomios de Legendre y los polinomios de Legendre asociados también son soluciones de la ecuación diferencial en casos especiales, que, en virtud de ser polinomios, tienen una gran cantidad de propiedades adicionales, estructura matemática y aplicaciones. Para estas soluciones polinómicas, consulte los artículos separados de Wikipedia.

Curvas polinomiales de Legendre asociadas para λ = l = 5 .

Ecuación diferencial de Legendre

La ecuación general de Legendre se lee donde los números λ y μ pueden ser complejos, y se denominan grado y orden de la función relevante, respectivamente. Las soluciones polinómicas cuando λ es un entero (denotado n ), y μ = 0 son los polinomios de Legendre P _n ; y cuando λ es un entero (denotado n ), y μ = m también es un entero con | m | < n son los polinomios de Legendre asociados. Todos los demás casos de λ y μ se pueden analizar como uno solo, y las soluciones se escriben P $${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]y=0,}$$^μλ
_​, Q^μλ
_​Si μ = 0 , se omite el superíndice y se escribe simplemente P _λ , Q _λ . Sin embargo, la solución Q _λ cuando λ es un entero se suele analizar por separado como función de Legendre de segundo tipo y se denota Q _n .

Se trata de una ecuación lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares (en 1 , −1 y ∞ ). Como todas las ecuaciones de este tipo, se puede convertir en una ecuación diferencial hipergeométrica mediante un cambio de variable, y sus soluciones se pueden expresar mediante funciones hipergeométricas .

Soluciones de la ecuación diferencial

Como la ecuación diferencial es lineal, homogénea (el lado derecho = cero) y de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes, que pueden expresarse en términos de la función hipergeométrica , . Al ser la función gamma , la primera solución es y la segunda es ${\displaystyle _{2}F_{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {z+1}{z-1}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2,}$$ $${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.}$$

Gráfico de la función de Legendre de segundo tipo Q n(x) con n=0,5 en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En general, se las conoce como funciones de Legendre de primer y segundo tipo de grado no entero, con el calificador adicional 'asociado' si μ no es cero. Una relación útil entre las soluciones P y Q es la fórmula de Whipple .

Orden entero positivo

Para números enteros positivos , la evaluación de lo anterior implica la cancelación de términos singulares. Podemos encontrar el límite válido para [ ^1] ${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$

$${\displaystyle P_{\lambda }^{m}(z)=\lim _{\mu \to m}P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {(-\lambda )_{m}(\lambda +1)_{m}}{m!}}\left[{\frac {1-z}{1+z}}\right]^{m/2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1+m;{\frac {1-z}{2}}\right),}$$

con el símbolo del Pochhammer (ascendente) . ${\displaystyle (\lambda )_{n}}$

Funciones de Legendre del segundo tipo (Qn​)

Trama de las cinco primeras funciones de Legendre del segundo tipo.

La solución no polinómica para el caso especial de grado entero , y , se analiza a menudo por separado. Se da por ${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ $${\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}$$

Esta solución es necesariamente singular cuando . ${\displaystyle x=\pm 1}$

Las funciones de Legendre del segundo tipo también se pueden definir recursivamente mediante la fórmula de recursión de Bonnet. $${\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}}$$

Funciones de Legendre asociadas del segundo tipo

La solución no polinómica para el caso especial de grado entero , y está dada por ${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} _{0}}$ $${\displaystyle Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}Q_{n}(x)\,.}$$

Representaciones integrales

Las funciones de Legendre se pueden escribir como integrales de contorno. Por ejemplo, donde el contorno gira alrededor de los puntos 1 y z en la dirección positiva y no gira alrededor de −1 . Para x real , tenemos $${\displaystyle P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}$$ $${\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }$$

Función de Legendre como personajes

La representación integral real de es muy útil en el estudio del análisis armónico en donde es el espacio de doble clase lateral de (ver Función esférica zonal ). En realidad, la transformada de Fourier en está dada por donde ${\displaystyle P_{s}}$ ${\displaystyle L^{1}(G//K)}$ ${\displaystyle G//K}$ ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}(G//K)}$ $${\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}}$$ $${\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0}$$

Singularidades de las funciones de Legendre del primer tipo (Pλ​) como consecuencia de la simetría

Las funciones de Legendre P _λ de grado no entero no están acotadas en el intervalo [-1, 1] . En aplicaciones en física, esto a menudo proporciona un criterio de selección. De hecho, debido a que las funciones de Legendre Q _λ del segundo tipo siempre no están acotadas, para tener una solución acotada de la ecuación de Legendre, el grado debe tener un valor entero: solo para el grado entero, las funciones de Legendre del primer tipo se reducen a polinomios de Legendre, que están acotados en [-1, 1] . Se puede demostrar ^[2] que la singularidad de las funciones de Legendre P _λ para grado no entero es una consecuencia de la simetría especular de la ecuación de Legendre. Por lo tanto, existe una simetría bajo la regla de selección que acabamos de mencionar.

Véase también

• Función de los ferrers

Referencias

1. Creasey, Peter E.; Lang, Annika (2018). "Generación rápida de campos aleatorios gaussianos isotrópicos en la esfera". Métodos y aplicaciones de Monte Carlo . 24 (1): 1–11. arXiv : 1709.10314 . Código Bibliográfico :2018MCMA...24....1C. doi :10.1515/mcma-2018-0001. S2CID  4657044.
2. van der Toorn, Ramses (4 de abril de 2022). "La singularidad de las funciones de Legendre de primera especie como consecuencia de la simetría de la ecuación de Legendre". Simetría . 14 (4): 741. Bibcode :2022Symm...14..741V. doi : 10.3390/sym14040741 . ISSN  2073-8994.

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 8". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 332. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Courant, Richard ; Hilbert, David (1953), Métodos de física matemática, Volumen 1 , Nueva York: Interscience Publisher, Inc.
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• Ivanov, AB (2001) [1994], "Función Legendre", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Snow, Chester (1952) [1942], Funciones hipergeométricas y de Legendre con aplicaciones a ecuaciones integrales de la teoría del potencial, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, n.º 19, Washington, DC: Oficina de Imprenta del Gobierno de EE. UU., hdl : 2027/mdp.39015011416826 , MR  0048145
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1963), Un curso de análisis moderno , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58807-2

Enlaces externos

• Función de Legendre P en el sitio de funciones Wolfram.
• Función de Legendre Q en el sitio de funciones Wolfram.
• Función de Legendre asociada P en el sitio de funciones Wolfram.
• Función de Legendre asociada Q en el sitio de funciones Wolfram.