Armónicos esféricos zonales

En el estudio matemático de la simetría rotacional , los armónicos esféricos zonales son armónicos esféricos especiales que son invariantes bajo la rotación a través de un eje fijo particular. Las funciones esféricas zonales son una amplia extensión de la noción de armónicos esféricos zonales para permitir un grupo de simetría más general .

En la esfera bidimensional, el armónico esférico zonal único de grado ℓ invariante bajo rotaciones que fijan el polo norte se representa en coordenadas esféricas donde P _ℓ es un polinomio de Legendre de grado ℓ . El armónico esférico zonal general de grado ℓ se denota por , donde x es un punto en la esfera que representa el eje fijo e y es la variable de la función. Esto se puede obtener mediante la rotación del armónico zonal básico. $${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )=P_{\ell }(\cos \theta )}$$ ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$ ${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi ).}$

En el espacio euclidiano de n dimensiones, los armónicos esféricos zonales se definen de la siguiente manera. Sea x un punto en la ( n −1 ) -esfera. Definir como la representación dual del funcional lineal en el espacio de Hilbert de dimensión finita H _ℓ de armónicos esféricos de grado ℓ. En otras palabras, se cumple la siguiente propiedad de reproducción : para todo Y ∈ H _ℓ . La integral se toma con respecto a la medida de probabilidad invariante. ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}$ $${\displaystyle P\mapsto P(\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle Y(\mathbf {x} )=\int _{S^{n-1}}Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )Y(\mathbf {y} )\,d\Omega (y)}$$

Relación con los potenciales armónicos

Los armónicos zonales aparecen naturalmente como coeficientes del núcleo de Poisson para la bola unitaria en R ⁿ : para los vectores unitarios x e y , donde es el área de superficie de la esfera de dimensión (n-1). También están relacionados con el núcleo de Newton a través de donde x , y ∈ R ⁿ y las constantes c _{n , k} están dadas por $${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {1-r^{2}}{|\mathbf {x} -r\mathbf {y} |^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}Z_{\mathbf {x} }^{(k)}(\mathbf {y} ),}$$ ${\displaystyle \omega _{n-1}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{n,k}{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{n+k-2}}}Z_{\mathbf {x} /|\mathbf {x} |}^{(k)}(\mathbf {y} /|\mathbf {y} |)}$$ $${\displaystyle c_{n,k}={\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {2k+n-2}{(n-2)}}.}$$

Los coeficientes de la serie de Taylor del núcleo de Newton (con la normalización adecuada) son precisamente los polinomios ultraesféricos . Por tanto, los armónicos esféricos zonales se pueden expresar de la siguiente manera. Si α = ( n −2)/2 , entonces donde c _{n , ℓ} son las constantes anteriores y es el polinomio ultraesférico de grado ℓ. $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )={\frac {n+2\ell -2}{n-2}}C_{\ell }^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$$ ${\displaystyle C_{\ell }^{(\alpha )}}$

Propiedades

• Los armónicos esféricos zonales son rotacionalmente invariantes, lo que significa que para cada transformación ortogonal R. Por el contrario, cualquier función f ( x , y ) en S ^{n −1} × S ^{n −1} que sea un armónico esférico en y para cada x fijo , y que satisfaga esta propiedad de invariancia, es un múltiplo constante del grado ℓ armónico zonal. $${\displaystyle Z_{R\mathbf {x} }^{(\ell )}(R\mathbf {y} )=Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$$
• Si Y ₁ , ..., Y _d es una base ortonormal de H _ℓ , entonces $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )=\sum _{k=1}^{d}Y_{k}(\mathbf {x} ){\overline {Y_{k}(\mathbf {y} )}}.}$$
• Evaluando en x = y da $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {x} )=\omega _{n-1}^{-1}\dim \mathbf {H} _{\ell }.}$$

Referencias

• Stein, Elías ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.