símbolo 6-j

Diagrama de Jucys para el símbolo Wigner 6-j. El signo más en los nodos indica una lectura en sentido antihorario de las líneas circundantes. Debido a sus simetrías, existen muchas formas en las que se puede dibujar el diagrama. Se puede crear una configuración equivalente tomando su imagen especular y cambiando así los pros por los contras.

Los símbolos 6- j de Wigner fueron introducidos por Eugene Paul Wigner en 1940 y publicados en 1965. Se definen como una suma de productos de cuatro símbolos 3-j de Wigner .

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

La suma es sobre los seis m _i permitidos por las reglas de selección de los símbolos 3- j .

Están estrechamente relacionados con los coeficientes W de Racah , que se utilizan para recuperar 3 momentos angulares, aunque los símbolos Wigner 6- j tienen una simetría más alta y, por lo tanto, proporcionan un medio más eficiente para almacenar los coeficientes de recuperación. ^[1] Su relación viene dada por:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}$

Relaciones de simetría

El símbolo 6- j es invariante bajo cualquier permutación de las columnas:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots }$

El símbolo 6- j también es invariante si los argumentos superior e inferior se intercambian en dos columnas cualesquiera:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

Estas ecuaciones reflejan las 24 operaciones de simetría del grupo de automorfismos que dejan invariante el gráfico tetraédrico de Yutsis asociado con 6 aristas: operaciones especulares que intercambian dos vértices y un par de aristas adyacentes.

El símbolo 6- j

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

es cero a menos que j ₁ , j ₂ y j ₃ satisfagan las condiciones del triángulo, es decir,

${\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}}$

En combinación con la relación de simetría para intercambiar argumentos superior e inferior, esto muestra que las condiciones del triángulo también deben cumplirse para las tríadas ( j ₁ , j ₅ , j ₆ ), ( j ₄ , j ₂ , j ₆ ) y ( j ₄₎ . , j ₅ , j ₃ ). Además, la suma de los elementos de cada tríada debe ser un número entero. Por lo tanto, los miembros de cada tríada son todos números enteros o contienen un número entero y dos semienteros.

Caso especial

Cuando j ₆ = 0 la expresión para el símbolo 6- j es:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

El delta triangular { j ₁   j ₂   j ₃ } es igual a 1 cuando la tríada ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) satisface las condiciones del triángulo, y cero en caso contrario. Las relaciones de simetría se pueden utilizar para encontrar la expresión cuando otro j es igual a cero.

Relación de ortogonalidad

Los símbolos 6- j satisfacen esta relación de ortogonalidad:

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}$

Asintóticas

Ponzano y Regge ^[2] conjeturaron por primera vez una fórmula notable para el comportamiento asintótico del símbolo 6- j y luego la demostró Roberts. ^[3] La fórmula asintótica se aplica cuando los seis números cuánticos j ₁ , ..., j ₆ se consideran grandes y asocia al símbolo 6- j la geometría de un tetraedro. Si el símbolo 6- j está determinado por los números cuánticos j ₁ , ..., j _{6, el} tetraedro asociado tiene longitudes de aristas Ji = j _i +1/2 (i=1,...,6) y el símbolo asintótico la fórmula está dada por,

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.}$

La notación es la siguiente: Cada θ _{i es el ángulo diédrico externo alrededor del} borde Ji del tetraedro asociado y el factor de amplitud se expresa en términos del volumen, V , de este tetraedro.

Interpretación matemática

En la teoría de la representación , los símbolos 6- j son coeficientes matriciales del isomorfismo del asociador en una categoría tensorial . ^[4] Por ejemplo , si nos dan tres representaciones Vi _, Vj _, Vk de un grupo (o grupo cuántico ), una tiene un isomorfismo _natural .

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\to V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}$

de representaciones de productos tensoriales, inducidas por la coasociatividad de la biálgebra correspondiente . Uno de los axiomas que definen una categoría monoide es que los asociadores satisfacen una identidad pentágono, que es equivalente a la identidad de Biedenharn-Elliot para 6- j símbolos.

Cuando una categoría monoidal es semisimple, podemos restringir nuestra atención a objetos irreducibles y definir espacios de multiplicidad.

${\displaystyle H_{i,j}^{\ell }=\operatorname {Hom} (V_{\ell },V_{i}\otimes V_{j})}$

de modo que los productos tensoriales se descomponen como:

${\displaystyle V_{i}\otimes V_{j}=\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes V_{\ell }}$

donde la suma abarca todas las clases de isomorfismo de objetos irreducibles. Entonces:

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\cong \bigoplus _{\ell ,m}H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\otimes V_{m}\qquad {\text{while}}\qquad V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})\cong \bigoplus _{m,n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}\otimes V_{m}}$

El isomorfismo de asociatividad induce un isomorfismo en el espacio vectorial.

${\displaystyle \Phi _{i,j}^{k,m}:\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\to \bigoplus _{n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}}$

y los símbolos 6j se definen como los mapas de componentes:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}i&j&\ell \\k&m&n\end{Bmatrix}}=(\Phi _{i,j}^{k,m})_{\ell ,n}}$

Cuando los espacios de multiplicidad tienen elementos de base canónicos y dimensión como máximo uno (como en el caso de SU (2) en el entorno tradicional), estos mapas de componentes pueden interpretarse como números, y los símbolos 6- j se convierten en coeficientes matriciales ordinarios.

En términos abstractos, los símbolos 6- j son precisamente la información que se pierde al pasar de una categoría monoidal semisimple a su anillo de Grothendieck , ya que se puede reconstruir una estructura monoide utilizando el asociador. Para el caso de representaciones de un grupo finito, es bien sabido que la tabla de caracteres por sí sola (que determina la categoría abeliana subyacente y la estructura de anillo de Grothendieck) no determina un grupo hasta el isomorfismo, mientras que la estructura de categorías monoidal simétrica sí lo hace, por Dualidad Tannaka-Krein . En particular, los dos grupos no abelianos de orden 8 tienen categorías de representaciones abelianas equivalentes y anillos de Grothdendieck isomórficos, pero los símbolos 6- j de sus categorías de representación son distintos, lo que significa que sus categorías de representación no son equivalentes a las categorías monoidales. Así, los símbolos 6- j dan un nivel intermedio de información, que de hecho determina de forma única los grupos en muchos casos, como cuando el grupo es de orden impar o simple. ^[5]

Ver también

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• símbolo 3-j
• Racah coeficiente W
• símbolo 9-j

Notas

1. Rasch, J.; Yu, ACH (2003). "Esquema de almacenamiento eficiente para coeficientes Wigner 3j, 6j y Gaunt precalculados". SIAM J. Ciencias. Computación . 25 (4): 1416-1428. doi :10.1137/s1064827503422932.
2. Ponzano, G.; Regge, T. (1968). "Límite semiclásico de los coeficientes de Racah". Espectroscopia y Métodos Teóricos de Grupos en Física . Elsevier. págs. 1–58. ISBN 978-0-444-10147-1.
3. Roberts J (1999). "Símbolos 6j clásicos y el tetraedro". Geometría y Topología . 3 : 21–66. arXiv : math-ph/9812013 . doi :10.2140/gt.1999.3.21. S2CID  9678271.
4. Etingof, P.; Gelaki, S.; Nikshych, D.; Ostrik, V. (2009). Categorías tensoriales. Apuntes de conferencias para MIT 18.769 (PDF) .
5. Etingof, P.; Gelaki, S. (2001). "Grupos isocategóricos". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 2001 (2): 59–76. arXiv : matemáticas/0007196 . CiteSeerX 10.1.1.239.6293 . doi : 10.1155/S1073792801000046 . 

Referencias

• Biedenharn, LC ; van Dam, H. (1965). Teoría cuántica del momento angular: una colección de reimpresiones y artículos originales . Prensa académica . ISBN 0-12-096056-7.

• Edmonds, AR (1957). Momento angular en mecánica cuántica . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 0-691-07912-9.
• Condón, Edward U.; Shortley, GH (1970). "3. Momento angular". La teoría de los espectros atómicos . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-09209-4.
• Maximon, Leonard C. (2010), "Símbolos 3j,6j,9j", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• Mesías, Albert (1981). Mecánica cuántica . vol. II (12ª ed.). Editorial de Holanda del Norte . ISBN 0-7204-0045-7.

• borde, DM; Satchler, GR (1993). «2. Representaciones del Grupo de Rotación» . Momento angular (3ª ed.). Prensa de Clarendon . ISBN 0-19-851759-9.
• Zare, Richard N. (1988). "2. Acoplamiento de dos vectores de momento angular". Momento angular . Wiley . ISBN 0-471-85892-7.

• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Momento angular en física cuántica . Addison-Wesley . ISBN 0-201-13507-8.

enlaces externos

• Regge, T. (1959). "Propiedades de simetría de los coeficientes de Racah". Nuevo Cimento . 11 (1): 116–7. Código bibliográfico : 1959NCim...11..116R. doi :10.1007/BF02724914. S2CID  121333785.
• Piedra, Antonio. "Calculadora del coeficiente de Wigner".(Da la respuesta exacta)
• Simons, Frederik J. "Archivo de software Matlab, el código SIXJ.M".
• Volya, A. "Calculadora web de coeficientes Clebsch-Gordan, 3-j y 6-j". Archivado desde el original el 20 de diciembre de 2012.
• Laboratorio de Plasma del Instituto de Ciencias Weizmann. "Calculadora de símbolos 369j".
• Biblioteca científica GNU . "Coeficientes de acoplamiento".
• Johansson, HT; Forssén, C. "(WIGXJPF)".(preciso; C, fortran, python)
• Johansson, HT "(FASTWIGXJ)".(búsqueda rápida, precisa; C, fortran)