En el estudio matemático de la simetría rotacional , los armónicos esféricos zonales son armónicos esféricos especiales que son invariantes bajo la rotación a través de un eje fijo particular. Las funciones esféricas zonales son una amplia extensión de la noción de armónicos esféricos zonales para permitir un grupo de simetría más general .
En la esfera bidimensional, el armónico esférico zonal único de grado ℓ invariante bajo rotaciones que fijan el polo norte se representa en
coordenadas esféricas donde P ℓ es un polinomio de Legendre de grado ℓ . El armónico esférico zonal general de grado ℓ se denota por , donde x es un punto en la esfera que representa el eje fijo e y es la variable de la función. Esto se puede obtener mediante la rotación del armónico zonal básico.![{\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )=P_{\ell }(\cos \theta )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En el espacio euclidiano de n dimensiones, los armónicos esféricos zonales se definen de la siguiente manera. Sea x un punto en la ( n −1 ) -esfera. Definir como la representación dual del funcional lineal en el espacio de Hilbert
de dimensión finita H ℓ de armónicos esféricos de grado ℓ. En otras palabras, se cumple la siguiente propiedad de reproducción :
para todo Y ∈ H ℓ . La integral se toma con respecto a la medida de probabilidad invariante.![{\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y(\mathbf {x} )=\int _{S^{n-1}}Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )Y(\mathbf {y} )\,d\Omega (y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relación con los potenciales armónicos
Los armónicos zonales aparecen naturalmente como coeficientes del núcleo de Poisson para la bola unitaria en R n : para los vectores unitarios x e y ,
donde es el área de superficie de la esfera de dimensión (n-1). También están relacionados con el núcleo de Newton a través de
donde x , y ∈ R n y las constantes c n , k están dadas por![{\displaystyle {\frac {1}{\omega _ {n-1}}}{\frac {1-r^{2}}{|\mathbf {x} -r\mathbf {y} |^{n }}}=\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}Z_{\mathbf {x} }^{(k)}(\mathbf {y} ),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \omega _ {n-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _ {k=0}^{\infty }c_{n,k }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{n+k-2}}}Z_{\mathbf {x} /|\mathbf {x} | }^{(k)}(\mathbf {y} /|\mathbf {y} |)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c_{n,k}={\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {2k+n-2}{(n-2)}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los coeficientes de la serie de Taylor del núcleo de Newton (con la normalización adecuada) son precisamente los polinomios ultraesféricos . Por tanto, los armónicos esféricos zonales se pueden expresar de la siguiente manera. Si α = ( n −2)/2 , entonces
donde c n , ℓ son las constantes anteriores y es el polinomio ultraesférico de grado ℓ.![{\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )={\frac {n+2\ell -2}{n-2}}C_{\ell }^ {(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{\ell }^{(\alpha )}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
- Los armónicos esféricos zonales son rotacionalmente invariantes, lo que significa que para cada transformación ortogonal R. Por el contrario, cualquier función f ( x , y ) en S n −1 × S n −1 que sea un armónico esférico en y para cada x fijo , y que satisfaga esta propiedad de invariancia, es un múltiplo constante del grado ℓ armónico zonal.
![{\displaystyle Z_{R\mathbf {x} }^{(\ell )}(R\mathbf {y} )=Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} ) }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Si Y 1 , ..., Y d es una base ortonormal de H ℓ , entonces
![{\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )=\sum _ {k=1}^{d}Y_{k}(\mathbf {x} ){ \overline {Y_{k}(\mathbf {y} )}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Evaluando en x = y da
![{\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {x} )=\omega _{n-1}^{-1}\dim \mathbf {H} _{\ell }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias