Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es la rama de la lógica matemática que estudia los conjuntos , que pueden describirse informalmente como colecciones de objetos. Aunque se pueden agrupar objetos de cualquier tipo en un conjunto, la teoría de conjuntos (como rama de las matemáticas ) se ocupa principalmente de aquellos que son relevantes para las matemáticas en su conjunto.

El estudio moderno de la teoría de conjuntos fue iniciado por los matemáticos alemanes Richard Dedekind y Georg Cantor en la década de 1870. En particular, a Georg Cantor se le considera comúnmente el fundador de la teoría de conjuntos. Los sistemas no formalizados investigados durante esta etapa temprana reciben el nombre de teoría ingenua de conjuntos . Después del descubrimiento de paradojas dentro de la teoría ingenua de conjuntos (como la paradoja de Russell , la paradoja de Cantor y la paradoja de Burali-Forti ), se propusieron varios sistemas axiomáticos a principios del siglo XX, de los cuales la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (con o sin el axioma de elección ) sigue siendo el más conocido y estudiado.

La teoría de conjuntos se emplea comúnmente como sistema fundamental para todas las matemáticas, particularmente en la forma de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección. Además de su papel fundamental, la teoría de conjuntos también proporciona el marco para desarrollar una teoría matemática del infinito y tiene diversas aplicaciones en informática (como en la teoría del álgebra relacional ), filosofía , semántica formal y dinámica evolutiva . ^[1] Su atractivo fundacional, junto con sus paradojas , sus implicaciones para el concepto de infinito y sus múltiples aplicaciones, han hecho de la teoría de conjuntos un área de gran interés para los lógicos y filósofos de las matemáticas . La investigación contemporánea sobre la teoría de conjuntos cubre una amplia gama de temas, que van desde la estructura de la recta numérica real hasta el estudio de la consistencia de los cardinales grandes .

Historia

Los temas matemáticos suelen surgir y evolucionar a través de interacciones entre muchos investigadores. La teoría de conjuntos, sin embargo, fue fundada por un único artículo de 1874 de Georg Cantor : " Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales ". ^[2]^[3]

Desde el siglo V a. C., comenzando con el matemático griego Zenón de Elea en Occidente y los primeros matemáticos indios en Oriente, los matemáticos habían luchado con el concepto de infinito . Especialmente notable es la obra de Bernard Bolzano en la primera mitad del siglo XIX. ^[4] La comprensión moderna del infinito comenzó en 1870-1874 y fue motivada por el trabajo de Cantor en análisis real . ^[5]

Conceptos básicos y notación.

La teoría de conjuntos comienza con una relación binaria fundamental entre un objeto $o$ y un conjunto $A.$ Si $o$ es un miembro (o elemento ) de $A$ , se utiliza la notación $o \in A.$ Un conjunto se describe enumerando elementos separados por comas, o mediante una propiedad caracterizante de sus elementos, entre llaves { }. ^[6] Dado que los conjuntos son objetos, la relación de membresía también puede relacionar conjuntos.

Una relación binaria derivada entre dos conjuntos es la relación de subconjunto, también llamada inclusión de conjuntos . Si todos los miembros del conjunto A $también$ son miembros del conjunto $B$ , entonces $A$ es un subconjunto de $B$ , denotado $A \subseteq B.$ Por ejemplo, ${1, 2}$ es un subconjunto de ${1, 2, 3}$ , y también lo es ${2}$ pero ${1, 4}$ no lo es. Como implica esta definición, un conjunto es un subconjunto de sí mismo. Para los casos en los que esta posibilidad no es adecuada o tendría sentido rechazarla, se define el término subconjunto propio . $A$ se llama subconjunto propio de $B$ si y sólo si $A$ es un subconjunto de $B$ , pero $A$ no es igual a $B.$ Además, 1, 2 y 3 son miembros (elementos) del conjunto ${1, 2, 3}$ , pero no son subconjuntos del mismo; y a su vez, los subconjuntos, como ${1}$ , no son miembros del conjunto ${1, 2, 3}$ .

Así como la aritmética presenta operaciones binarias sobre números , la teoría de conjuntos presenta operaciones binarias sobre conjuntos. ^[7] La siguiente es una lista parcial de ellos:

La unión de los conjuntos $A$ y $B$ , denotada $A \cup B$ , es el conjunto de todos los objetos que son miembros de $A$ , $B$ o ambos. ^[8] Por ejemplo, la unión de ${1, 2, 3}$ y ${2, 3, 4}$ es el conjunto ${1, 2, 3, 4}$ .
La intersección de los conjuntos $A$ y $B$ , denotada $A \cap B$ , es el conjunto de todos los objetos que son miembros tanto de $A$ comode $B.$ Por ejemplo, la intersección de ${1, 2, 3}$ y ${2, 3, 4}$ es el conjunto ${2, 3}$ .
La diferencia de $conjuntos de U$ y $A$ , denotada $U \ A$ , es el conjunto de todos los miembros deU $que$ no son miembros de $A.$ La diferencia de conjunto ${1, 2, 3} \ {2, 3, 4}$ es ${1}$ , mientras que a la inversa, la diferencia de conjunto ${2, 3, 4} \ {1, 2, 3}$ es ${4}$ . Cuando $A$ esun subconjunto de $U$ , la diferencia de conjuntos $U \ A$ también se llama complemento de $A$ en $U.$ En este caso, si la elección de $U$ queda clara por el contexto,a veces se utiliza $la notación Ac$ $en lugar de$ $U \ A$ , particularmente si $U$ es un conjunto universal como en el estudio de los diagramas de Venn .
La diferencia simétrica de los conjuntos $A$ y $B$ , denotada $A △ B$ o $A ⊖ B$ , es el conjunto de todos los objetos que son miembros de exactamente uno de $A$ y $B$ (elementos que están en uno de los conjuntos, pero no en ambos). Por ejemplo, para los conjuntos ${1, 2, 3}$ y ${2, 3, 4}$ , el conjunto de diferencias simétricas es ${1, 4}$ . Es la diferencia establecida de la unión y la intersección, $( A ∪ B ) \ ( A ∩ B )$ o $( A \ B ) ∪ ( B \ A )$ .
El producto cartesiano de $A$ y $B$ , denotado $A \times B$ , es el conjunto cuyos miembros son todos los pares ordenados posibles $(a, b)$ , donde $a$ es miembro de $A$ y $b$ esmiembro de $B.$ Por ejemplo, el producto cartesiano de {1, 2} y {rojo, blanco} es {(1, rojo), (1, blanco), (2, rojo), (2, blanco)}.
Conjunto potencia de un conjunto $A$ , denotado, es el conjunto cuyos miembros son todos los subconjuntos posibles de $A.$ Por ejemplo, el conjunto de potencias de ${1, 2}$ es ${ {}, {1}, {2}, {1, 2} }$ . ${\mathcal {P}}(A)$

Algunos conjuntos básicos de importancia central son el conjunto de los números naturales , el conjunto de los números reales y el conjunto vacío (el conjunto único que no contiene elementos). El conjunto vacío también se denomina ocasionalmente conjunto nulo , ^[9] aunque este nombre es ambiguo y puede dar lugar a varias interpretaciones.

Ontología

Un conjunto es puro si todos sus miembros son conjuntos, todos los miembros de sus miembros son conjuntos, etc. Por ejemplo, el conjunto que contiene sólo el conjunto vacío es un conjunto puro no vacío. En la teoría de conjuntos moderna, es común restringir la atención al universo de conjuntos puros de von Neumann , y muchos sistemas de teoría de conjuntos axiomáticos están diseñados para axiomatizar únicamente los conjuntos puros. Esta restricción tiene muchas ventajas técnicas y se pierde poca generalidad, porque esencialmente todos los conceptos matemáticos pueden modelarse mediante conjuntos puros. Los conjuntos en el universo de von Neumann están organizados en una jerarquía acumulativa , basada en qué tan profundamente están anidados sus miembros, miembros de miembros, etc. A cada conjunto de esta jerarquía se le asigna (mediante recursividad transfinita ) un número ordinal , conocido como rango. El rango de un conjunto puro se define como el menos ordinal que sea estrictamente mayor que el rango de cualquiera de sus elementos. Por ejemplo, al conjunto vacío se le asigna el rango 0, mientras que al conjunto ${{}}$ que contiene solo el conjunto vacío se le asigna el rango 1. Para cada ordinal , se define que el conjunto consta de todos los conjuntos puros con un rango menor que . Se denota todo el universo von Neumann . $\alpha$ $X$ $\alpha$ $V_{\alpha }$ $\alpha$ $V$

Teoría de conjuntos formalizada

La teoría de conjuntos elemental se puede estudiar de manera informal e intuitiva y, por lo tanto, se puede enseñar en las escuelas primarias utilizando diagramas de Venn . El enfoque intuitivo supone tácitamente que se puede formar un conjunto a partir de la clase de todos los objetos que satisfacen cualquier condición definitoria particular. Esta suposición da lugar a paradojas, las más simples y conocidas de las cuales son la paradoja de Russell y la paradoja de Burali-Forti . La teoría de conjuntos axiomática se concibió originalmente para librar a la teoría de conjuntos de tales paradojas. ^{[nota 1]}

Los sistemas de teoría de conjuntos axiomáticos más estudiados implican que todos los conjuntos forman una jerarquía acumulativa . Dichos sistemas vienen en dos tipos, aquellos cuya ontología consiste en:

Conjuntos solos . Esto incluye la teoría de conjuntos axiomática más común, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección ( ZFC ). Los fragmentos de ZFC incluyen:
- la teoría de conjuntos de Zermelo , que sustituye el esquema axiomático de sustitución por el de separación ;
- Teoría general de conjuntos , un pequeño fragmento de la teoría de conjuntos de Zermelo suficiente para los axiomas de Peano y los conjuntos finitos ;
- Teoría de conjuntos de Kripke-Platek , que omite los axiomas de infinito, conjunto de poderes y elección , y debilita los esquemas de axiomas de separación y reemplazo .
Conjuntos y clases propias . Estos incluyen la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel , que tiene la misma fuerza que la ZFC solo para teoremas sobre conjuntos, y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley y la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , las cuales son más fuertes que la ZFC.

Los sistemas anteriores se pueden modificar para permitir elementos ure , objetos que pueden ser miembros de conjuntos pero que no son conjuntos en sí mismos y no tienen ningún miembro.

Los sistemas New Foundations de NFU (que permiten elementos ure ) y NF (que carecen de ellos), asociados con Willard Van Orman Quine , no se basan en una jerarquía acumulativa. NF y NFU incluyen un "conjunto de todo", respecto del cual cada conjunto tiene un complemento. En estos sistemas los elementos importan, porque NF, pero no NFU, produce conjuntos para los cuales el axioma de elección no se cumple. A pesar de que la ontología de NF no refleja la jerarquía acumulativa tradicional y viola el fundamento, Thomas Forster ha argumentado que sí refleja una concepción iterativa de conjunto. ^[10]

Los sistemas de teoría constructiva de conjuntos , como CST, CZF e IZF, incorporan sus axiomas de conjuntos en la lógica intuicionista en lugar de la clásica . Sin embargo, otros sistemas aceptan la lógica clásica pero presentan una relación de membresía no estándar. Éstas incluyen la teoría de conjuntos aproximada y la teoría de conjuntos difusos , en las que el valor de una fórmula atómica que incorpora la relación de membresía no es simplemente Verdadero o Falso . Los modelos booleanos de ZFC son un tema relacionado.

Edward Nelson propuso en 1977 ^un enriquecimiento de ZFC llamado teoría de conjuntos internos .

Aplicaciones

Muchos conceptos matemáticos se pueden definir con precisión utilizando únicamente conceptos de teoría de conjuntos. Por ejemplo, estructuras matemáticas tan diversas como gráficos , variedades , anillos , espacios vectoriales y álgebras relacionales pueden definirse como conjuntos que satisfacen diversas propiedades (axiomáticas). Las relaciones de equivalencia y orden son omnipresentes en matemáticas, y la teoría de las relaciones matemáticas puede describirse en la teoría de conjuntos. ^[12]^[13]

La teoría de conjuntos es también un sistema fundamental prometedor para gran parte de las matemáticas. Desde la publicación del primer volumen de Principia Mathematica , se ha afirmado que la mayoría (o incluso todos) los teoremas matemáticos pueden derivarse utilizando un conjunto de axiomas para la teoría de conjuntos adecuadamente diseñado, aumentado con muchas definiciones, utilizando lógica de primer o segundo orden. . Por ejemplo, las propiedades de los números naturales y reales se pueden derivar dentro de la teoría de conjuntos, ya que cada sistema numérico puede identificarse con un conjunto de clases de equivalencia bajo una relación de equivalencia adecuada cuyo campo es algún conjunto infinito . ^[^{cita necesaria}^]

La teoría de conjuntos como base para el análisis matemático , la topología , el álgebra abstracta y las matemáticas discretas tampoco es controvertida; Los matemáticos aceptan (en principio) que los teoremas en estas áreas pueden derivarse de las definiciones relevantes y los axiomas de la teoría de conjuntos. Sin embargo, sigue siendo que se han verificado formalmente pocas derivaciones completas de teoremas matemáticos complejos de la teoría de conjuntos, ya que dichas derivaciones formales son a menudo mucho más largas que las pruebas en lenguaje natural que los matemáticos suelen presentar. Un proyecto de verificación, Metamath , incluye derivaciones escritas por humanos y verificadas por computadora de más de 12.000 teoremas a partir de la teoría de conjuntos ZFC , la lógica de primer orden y la lógica proposicional . ^[14] ZFC y el axioma de elección han visto recientemente aplicaciones en la dinámica evolutiva , ^[1] mejorando la comprensión de modelos bien establecidos de evolución e interacción.

Áreas de estudio

La teoría de conjuntos es un área importante de investigación en matemáticas, con muchos subcampos interrelacionados.

Teoría combinatoria de conjuntos

La teoría combinatoria de conjuntos se refiere a extensiones de la combinatoria finita a conjuntos infinitos. Esto incluye el estudio de la aritmética cardinal y el estudio de extensiones del teorema de Ramsey como el teorema de Erdős-Rado .

Teoría descriptiva de conjuntos

La teoría descriptiva de conjuntos es el estudio de subconjuntos de la recta real y, más generalmente, de subconjuntos de espacios polacos . Comienza con el estudio de clases de puntos en la jerarquía de Borel y se extiende al estudio de jerarquías más complejas como la jerarquía proyectiva y la jerarquía de Wadge . Muchas propiedades de los conjuntos de Borel se pueden establecer en ZFC, pero demostrar que estas propiedades son válidas para conjuntos más complicados requiere axiomas adicionales relacionados con la determinación y los cardinales grandes.

El campo de la teoría descriptiva de conjuntos efectiva se encuentra entre la teoría de conjuntos y la teoría de la recursividad . Incluye el estudio de clases de puntos de cara de luz y está estrechamente relacionado con la teoría hiperaritmética . En muchos casos, los resultados de la teoría descriptiva clásica de conjuntos tienen versiones efectivas; en algunos casos, se obtienen nuevos resultados demostrando primero la versión eficaz y luego ampliándola ("relativizándola") para hacerla más aplicable.

Un área reciente de investigación se refiere a las relaciones de equivalencia de Borel y a las relaciones de equivalencia definibles más complicadas . Esto tiene importantes aplicaciones para el estudio de invariantes en muchos campos de las matemáticas.

Teoría de conjuntos difusos

En la teoría de conjuntos, como la definió Cantor y la axiomatizaron Zermelo y Fraenkel, un objeto es miembro de un conjunto o no. En la teoría de conjuntos difusos, Lotfi A. Zadeh relajó esta condición para que un objeto tenga un grado de pertenencia a un conjunto, un número entre 0 y 1. Por ejemplo, el grado de pertenencia de una persona al conjunto de "personas altas" es más flexible que una simple respuesta de sí o no y puede ser un número real como 0,75.

Teoría del modelo interno

Un modelo interno de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) es una clase transitiva que incluye todos los ordinales y satisface todos los axiomas de ZF. El ejemplo canónico es el universo construible L desarrollado por Gödel. Una razón por la que el estudio de modelos internos es interesante es que puede utilizarse para demostrar resultados de coherencia. Por ejemplo, se puede demostrar que independientemente de si un modelo V de ZF satisface la hipótesis del continuo o el axioma de elección , el modelo interno L construido dentro del modelo original satisfará tanto la hipótesis del continuo generalizado como el axioma de elección. Por tanto, el supuesto de que ZF es consistente (tiene al menos un modelo) implica que ZF junto con estos dos principios es consistente.

El estudio de modelos internos es común en el estudio de la determinabilidad y los cardinales grandes , especialmente cuando se consideran axiomas como el axioma de determinabilidad que contradicen el axioma de elección. Incluso si un modelo fijo de teoría de conjuntos satisface el axioma de elección, es posible que un modelo interno no logre satisfacer el axioma de elección. Por ejemplo, la existencia de cardinales suficientemente grandes implica que existe un modelo interno que satisface el axioma de determinabilidad (y, por tanto, no satisface el axioma de elección). ^[15]

Grandes cardenales

Un cardinal grande es un número cardinal con una propiedad adicional. Se estudian muchas de estas propiedades, incluidos los cardinales inaccesibles , los cardenales mensurables y muchas más. Estas propiedades normalmente implican que el número cardinal debe ser muy grande, y la existencia de un cardinal con la propiedad especificada no se puede demostrar en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .

Determinación

La determinación se refiere al hecho de que, bajo supuestos apropiados, ciertos juegos de dos jugadores con información perfecta se determinan desde el principio en el sentido de que un jugador debe tener una estrategia ganadora. La existencia de estas estrategias tiene consecuencias importantes en la teoría descriptiva de conjuntos, ya que el supuesto de que se determina una clase más amplia de juegos a menudo implica que una clase más amplia de conjuntos tendrá una propiedad topológica. El axioma de determinabilidad (AD) es un importante objeto de estudio; aunque es incompatible con el axioma de elección, AD implica que todos los subconjuntos de la recta real se comportan bien (en particular, son mensurables y tienen la propiedad de conjunto perfecto). AD se puede utilizar para demostrar que los grados Wadge tienen una estructura elegante.

forzando

Paul Cohen inventó el método de forzar mientras buscaba un modelo de ZFC en el que fallara la hipótesis del continuo , o un modelo de ZF en el que fallara el axioma de elección . Forzar une a algún modelo dado de teoría de conjuntos conjuntos adicionales para crear un modelo más grande con propiedades determinadas (es decir, "forzadas") por la construcción y el modelo original. Por ejemplo, la construcción de Cohen une subconjuntos adicionales de números naturales sin cambiar ninguno de los números cardinales del modelo original. El forzado es también uno de los dos métodos para demostrar la coherencia relativa mediante métodos finitistas; el otro método son los modelos con valores booleanos .

Invariantes cardinales

Una invariante cardinal es una propiedad de la recta real medida por un número cardinal. Por ejemplo, una invariante bien estudiada es la cardinalidad más pequeña de una colección de escasos conjuntos de reales cuya unión es la línea real completa. Estos son invariantes en el sentido de que dos modelos isomórficos cualesquiera de teoría de conjuntos deben dar el mismo cardinal para cada invariante. Se han estudiado muchos invariantes cardinales y las relaciones entre ellos suelen ser complejas y relacionadas con axiomas de la teoría de conjuntos.

Topología de la teoría de conjuntos

La topología de la teoría de conjuntos estudia cuestiones de topología general que son de naturaleza teórica de conjuntos o que requieren métodos avanzados de teoría de conjuntos para su solución. Muchos de estos teoremas son independientes de ZFC y requieren axiomas más sólidos para su demostración. Un problema famoso es la cuestión del espacio normal de Moore , una cuestión de topología general que fue objeto de intensas investigaciones. Finalmente se demostró que la respuesta a la pregunta espacial normal de Moore era independiente de ZFC.

Objeciones a la teoría de conjuntos

Desde los inicios de la teoría de conjuntos, algunos matemáticos se han opuesto a ella como fundamento de las matemáticas : véase Controversia sobre la teoría de Cantor . La objeción más común a la teoría de conjuntos, que Kronecker expresó en los primeros años de la teoría de conjuntos, comienza con la visión constructivista de que las matemáticas están vagamente relacionadas con la computación. Si se acepta esta visión, entonces el tratamiento de conjuntos infinitos, tanto en la teoría de conjuntos ingenua como en la axiomática, introduce en las matemáticas métodos y objetos que no son computables ni siquiera en principio. La viabilidad del constructivismo como fundamento sustituto de las matemáticas aumentó enormemente con el influyente libro de Errett Bishop Foundations of Constructive Analysis . ^[dieciséis]

Una objeción diferente planteada por Henri Poincaré es que definir conjuntos utilizando los esquemas axiomas de especificación y reemplazo , así como el axioma de conjunto potencia , introduce impredicatividad , un tipo de circularidad , en las definiciones de objetos matemáticos. El alcance de las matemáticas fundadas predicativamente, si bien es menor que el de la teoría de Zermelo-Fraenkel comúnmente aceptada, es mucho mayor que el de las matemáticas constructivas, hasta el punto de que Solomon Feferman ha dicho que "todos los análisis científicamente aplicables pueden desarrollarse [utilizando la teoría predicativa". métodos]". ^[17]

Ludwig Wittgenstein condenó filosóficamente la teoría de conjuntos por sus connotaciones de platonismo matemático . ^[18] Escribió que "la teoría de conjuntos es errónea", ya que se basa en el "sinsentido" del simbolismo ficticio, tiene "modismos perniciosos" y que no tiene sentido hablar de "todos los números". ^[19] Wittgenstein identificó las matemáticas con la deducción humana algorítmica; ^[20] la necesidad de una base segura para las matemáticas le parecía absurda. ^[21] Además, dado que el esfuerzo humano es necesariamente finito, la filosofía de Wittgenstein requería un compromiso ontológico con el constructivismo radical y el finitismo . Los enunciados metamatemáticos (que, para Wittgenstein, incluían cualquier enunciado que cuantificara dominios infinitos y, por tanto, casi toda la teoría de conjuntos moderna) no son matemáticas. ^[22] Pocos filósofos modernos han adoptado los puntos de vista de Wittgenstein después de un espectacular error en Observaciones sobre los fundamentos de las matemáticas : Wittgenstein intentó refutar los teoremas de incompletitud de Gödel después de haber leído sólo el resumen. Como señalaron los críticos Kreisel , Bernays , Dummett y Goodstein , muchas de sus críticas no se aplicaban al artículo en su totalidad. Sólo recientemente filósofos como Crispin Wright han comenzado a rehabilitar los argumentos de Wittgenstein. ^[23]

Los teóricos de categorías han propuesto la teoría del topos como una alternativa a la teoría de conjuntos axiomática tradicional. La teoría de Topos puede interpretar varias alternativas a esa teoría, como el constructivismo , la teoría de conjuntos finitos y la teoría de conjuntos computables . ^[24]^[25] Los topoi también brindan un entorno natural para forzar y discutir la independencia de elección de ZF, además de proporcionar el marco para topologías y espacios de piedra sin sentido . ^[26]

Un área activa de investigación son los fundamentos univalentes y la teoría de tipos de homotopía relacionada con ellos . Dentro de la teoría de tipos de homotopía, un conjunto puede considerarse como un tipo de homotopía 0, con propiedades universales de los conjuntos que surgen de las propiedades inductivas y recursivas de tipos inductivos superiores . Principios como el axioma de elección y la ley del tercero excluido pueden formularse de una manera correspondiente a la formulación clásica de la teoría de conjuntos o quizás en un espectro de formas distintas exclusivas de la teoría de tipos. Se puede demostrar que algunos de estos principios son consecuencia de otros principios. La variedad de formulaciones de estos principios axiomáticos permite un análisis detallado de las formulaciones necesarias para derivar diversos resultados matemáticos. ^[27]^[28]

La teoría de conjuntos en la educación matemática.

A medida que la teoría de conjuntos ganó popularidad como base de las matemáticas modernas, ha habido apoyo a la idea de introducir los conceptos básicos de la teoría de conjuntos ingenua desde una etapa temprana de la educación matemática .

En los Estados Unidos, en la década de 1960, el experimento New Math tenía como objetivo enseñar la teoría básica de conjuntos, entre otros conceptos abstractos, a estudiantes de escuela primaria , pero recibió muchas críticas. El plan de estudios de matemáticas en las escuelas europeas siguió esta tendencia y actualmente incluye la materia en diferentes niveles en todos los grados. Los diagramas de Venn se emplean ampliamente para explicar relaciones básicas de la teoría de conjuntos a estudiantes de escuela primaria (aunque John Venn los ideó originalmente como parte de un procedimiento para evaluar la validez de las inferencias en lógica de términos ).

La teoría de conjuntos se utiliza para presentar a los estudiantes los operadores lógicos (NO, Y, O) y la descripción semántica o de reglas ( definición técnicamente intensional ^[29] ) de conjuntos (por ejemplo, "meses que comienzan con la letra A "), que pueden ser útiles cuando aprender programación informática , ya que la lógica booleana se utiliza en varios lenguajes de programación . Asimismo, los conjuntos y otros objetos similares a colecciones, como conjuntos múltiples y listas , son tipos de datos comunes en informática y programación .

Además de eso, en la enseñanza de las matemáticas se hace referencia comúnmente a conjuntos cuando se habla de diferentes tipos de números (los conjuntos de números naturales , de números enteros , de números reales , etc.), y cuando se define una función matemática como una relación de un conjunto . (el dominio ) a otro conjunto (el rango ). $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$

Ver también

Glosario de teoría de conjuntos
Clase (teoría de conjuntos)
Lista de temas de teoría de conjuntos
Modelo relacional : toma prestado de la teoría de conjuntos
diagrama de Venn

Notas

^ En su artículo de 1925 "Una axiomatización de la teoría de conjuntos", John von Neumann observó que "la teoría de conjuntos en su primera versión" ingenua ", debido a Cantor, condujo a contradicciones. Estas son las antinomias bien conocidas del conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos (Russell), del conjunto de todos los números ordinales transfinitos (Burali-Forti) y del conjunto de todos los números reales finitamente definibles (Richard)". Continúa observando que dos "tendencias" intentaban "rehabilitar" la teoría de conjuntos. Del primer esfuerzo, ejemplificado por Bertrand Russell , Julius König , Hermann Weyl y LEJ Brouwer , von Neumann llamó "el efecto global de su actividad". . . devastador". Respecto al método axiomático empleado por el segundo grupo compuesto por Zermelo, Fraenkel y Schoenflies, von Neumann se preocupaba porque "Sólo vemos que los modos conocidos de inferencia que conducen a las antinomias fallan, pero ¿quién sabe dónde no hay otros? " y se propuso, "en el espíritu del segundo grupo", "producir, mediante un número finito de operaciones puramente formales". . . todos los conjuntos que queremos ver formados", pero no permiten las antinomias. (Todas las citas de von Neumann 1925 reimpresas en van Heijenoort, Jean (1967, tercera impresión 1976), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk). En los comentarios que preceden al artículo de von Neumann de 1925 se puede encontrar una sinopsis de la historia, escrita por van Heijenoort.

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^ Rodych 2018, §3.4: "Dado que las matemáticas son un ' variopinto de técnicas de prueba' (RFM III, §46), no requieren una base (RFM VII, §16) y no se les puede dar una evidencia por sí misma. fundamento (PR §160; WVC 34 y 62; RFM IV, §3). Dado que la teoría de conjuntos se inventó para proporcionar una base a las matemáticas, es, mínimamente, innecesaria ".
^ Rodych 2018, §2.2: "Una expresión que cuantifica en un dominio infinito nunca es una proposición significativa, ni siquiera cuando hemos demostrado, por ejemplo, que un número particular $n$ tiene una propiedad particular".
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Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-85401-0
Johnson, Philip (1972), Una historia de la teoría de conjuntos , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6

Otras lecturas

Devlin, Keith (1993), La alegría de los conjuntos: fundamentos de la teoría de conjuntos contemporánea, Textos universitarios en matemáticas (2ª ed.), Springer Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-0903-4, ISBN 0-387-94094-4
Ferreirós, José (2001), Laberinto del pensamiento: una historia de la teoría de conjuntos y su papel en las matemáticas modernas, Berlín: Springer, ISBN 978-3-7643-5749-8
Monk, J. Donald (1969), Introducción a la teoría de conjuntos , McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0-898-74006-6
Potter, Michael (2004), La teoría de conjuntos y su filosofía: una introducción crítica, Oxford University Press , ISBN 978-0-191-55643-2
Smullyan, Raymond M .; Ajuste, Melvin (2010), La teoría de conjuntos y el problema del continuo , Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-47484-7
Tiles, Mary (2004), La filosofía de la teoría de conjuntos: una introducción histórica al paraíso de Cantor, Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-43520-6

enlaces externos

Wikilibros tiene un libro sobre el tema: Matemáticas discretas/Teoría de conjuntos

Daniel Cunningham, artículo sobre teoría de conjuntos en la Enciclopedia de Filosofía de Internet .
José Ferreiros, artículo "El desarrollo temprano de la teoría de conjuntos" en la [Enciclopedia de Filosofía de Stanford] .
Capataz, Matthew , Akihiro Kanamori , eds. Manual de teoría de conjuntos . 3 vols., 2010. Cada capítulo analiza algún aspecto de la investigación contemporánea en teoría de conjuntos. No cubre la teoría de conjuntos elementales establecida, sobre la cual véase Devlin (1993).
"Teoría de conjuntos axiomáticos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
"Teoría de conjuntos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre en la enciclopedia de Klein .
Libros en línea y recursos bibliotecarios en su biblioteca y en otras bibliotecas sobre teoría de conjuntos
Rudin, Walter B. (6 de abril de 1990). "Teoría de conjuntos: una descendencia del análisis". Conferencia Marden de Matemáticas . Universidad de Wisconsin-Milwaukee . Archivado desde el original el 31 de octubre de 2021, a través de YouTube .