En lógica matemática , un modelo con valor booleano es una generalización de la noción ordinaria de estructura de Tarski a partir de la teoría de modelos . En un modelo con valor booleano, los valores de verdad de las proposiciones no se limitan a "verdadero" y "falso", sino que toman valores en algún álgebra booleana completa fija .
Los modelos con valores booleanos fueron introducidos por Dana Scott , Robert M. Solovay y Petr Vopěnka en la década de 1960 para ayudar a comprender el método de forzamiento de Paul Cohen . También están relacionados con la semántica del álgebra de Heyting en la lógica intuicionista .
Arreglar un álgebra booleana completa B [1] y un lenguaje de primer orden L ; la firma de L consistirá en una colección de símbolos constantes, símbolos de función y símbolos de relación.
Un modelo de valor booleano para el lenguaje L consiste en un universo M , que es un conjunto de elementos (o nombres ), junto con interpretaciones para los símbolos. Específicamente, el modelo debe asignar a cada símbolo constante de L un elemento de M , y a cada símbolo de función n -aria f de L y a cada n -tupla ⟨ a 0 ,..., a n -1 ⟩ de elementos de M , el modelo debe asignar un elemento de M al término f ( a 0 ,..., a n -1 ).
La interpretación de las fórmulas atómicas de L es más complicada. A cada par a y b de elementos de M , el modelo debe asignar un valor de verdad ‖ a = b ‖ a la expresión a = b ; este valor de verdad se toma del álgebra de Boole B . De manera similar, para cada símbolo de relación n -ario R de L y cada n -tupla ⟨ a 0 ,..., a n -1 ⟩ de elementos de M , el modelo debe asignar un elemento de B como el valor de verdad ‖ R ( a 0 ,..., a n -1 ) ‖.
Los valores de verdad de las fórmulas atómicas se pueden utilizar para reconstruir los valores de verdad de fórmulas más complicadas, utilizando la estructura del álgebra de Boole. Para los conectivos proposicionales, esto es fácil; uno simplemente aplica los operadores booleanos correspondientes a los valores de verdad de las subfórmulas. Por ejemplo, si φ( x ) y ψ( y , z ) son fórmulas con una y dos variables libres , respectivamente, y si a , b , c son elementos del universo del modelo que se sustituirán por x , y y z , entonces el valor de verdad de
es simplemente
Se requiere la completitud del álgebra de Boole para definir valores de verdad para fórmulas cuantificadas. Si φ( x ) es una fórmula con variable libre x (y posiblemente otras variables libres que se suprimen), entonces
donde el lado derecho debe entenderse como el supremo en B del conjunto de todos los valores de verdad ||φ( a )|| cuando a abarca M .
El valor de verdad de una fórmula es un elemento del álgebra booleana completa B.
Dada una álgebra booleana completa B [1] existe un modelo con valor booleano denotado por V B , que es el análogo con valor booleano del universo de von Neumann V . (Estrictamente hablando, V B es una clase propia , por lo que necesitamos reinterpretar lo que significa ser un modelo de manera apropiada). De manera informal, los elementos de V B son "conjuntos con valor booleano". Dado un conjunto ordinario A , cada conjunto es o no es un miembro; pero dado un conjunto con valor booleano, cada conjunto tiene un cierto grado de pertenencia fijo en A .
Los elementos del conjunto de valor booleano, a su vez, son también conjuntos de valor booleano, cuyos elementos son también conjuntos de valor booleano, y así sucesivamente. Para obtener una definición no circular de conjunto de valor booleano, se definen inductivamente en una jerarquía similar a la jerarquía acumulativa . Para cada ordinal α de V , el conjunto V B α se define de la siguiente manera.
La clase V B se define como la unión de todos los conjuntos V B α .
También es posible relativizar toda esta construcción a un modelo transitivo M de ZF (o a veces a un fragmento de este). El modelo de valor booleano M B se obtiene aplicando la construcción anterior dentro de M . La restricción a los modelos transitivos no es grave, ya que el teorema de colapso de Mostowski implica que todo modelo "razonable" (bien fundado, extensional) es isomorfo a uno transitivo. (Si el modelo M no es transitivo, las cosas se complican, ya que la interpretación de M′ de lo que significa ser una "función" o un "ordinal" puede diferir de la interpretación "externa").
Una vez definidos los elementos de V B como se ha indicado anteriormente, es necesario definir relaciones de igualdad y pertenencia con valores B en V B . Aquí, una relación con valores B en V B es una función de V B × V B a B . Para evitar confusiones con la igualdad y pertenencia habituales, estas se denotan por ‖ x = y ‖ y ‖ x ∈ y ‖ para x e y en V B . Se definen de la siguiente manera:
Los símbolos Σ y Π denotan las operaciones de límite superior mínimo y límite inferior máximo, respectivamente, en el álgebra booleana completa B . A primera vista, las definiciones anteriores parecen ser circulares: ‖ ∈ ‖ depende de ‖ = ‖, que depende de ‖ ⊆ ‖, que depende de ‖ ∈ ‖. Sin embargo, un examen minucioso muestra que la definición de ‖ ∈ ‖ solo depende de ‖ ∈ ‖ para elementos de rango menor, por lo que ‖ ∈ ‖ y ‖ = ‖ son funciones bien definidas de V B × V B a B .
Se puede demostrar que las relaciones de valor B ‖ ∈ ‖ y ‖ = ‖ en V B hacen que V B sea un modelo de valor booleano de la teoría de conjuntos. Cada oración de la teoría de conjuntos de primer orden sin variables libres tiene un valor de verdad en B ; se debe demostrar que los axiomas de igualdad y todos los axiomas de la teoría de conjuntos ZF (escrita sin variables libres) tienen valor de verdad 1 (el elemento más grande de B ). Esta prueba es sencilla, pero es larga porque hay muchos axiomas diferentes que necesitan ser comprobados.
Los teóricos de conjuntos utilizan una técnica llamada forzamiento para obtener resultados de independencia y construir modelos de teoría de conjuntos para otros fines. El método fue desarrollado originalmente por Paul Cohen, pero se ha extendido mucho desde entonces. En una forma, el forzamiento "añade al universo" un subconjunto genérico de un conjunto parcial , que está diseñado para imponer propiedades interesantes al objeto recién añadido. El problema es que (para conjuntos parciales interesantes) se puede demostrar que simplemente no existe tal subconjunto genérico del conjunto parcial. Hay tres formas habituales de abordar esto:
Los modelos con valores booleanos se pueden utilizar para dar semántica al forzamiento sintáctico; el precio que se paga es que la semántica no es bivalente ("verdadera o falsa"), sino que asigna valores de verdad de alguna álgebra booleana completa. Dado un conjunto parcial forzado P , existe un álgebra booleana completa correspondiente B , a menudo obtenida como la colección de subconjuntos abiertos regulares de P , donde la topología en P se define declarando todos los conjuntos inferiores abiertos (y todos los conjuntos superiores cerrados). (A continuación se analizan otros enfoques para construir B ).
Ahora el orden en B (después de quitar el elemento cero) puede reemplazar a P para fines de forzamiento, y la relación de forzamiento puede interpretarse semánticamente diciendo que, para p un elemento de B y φ una fórmula del lenguaje de forzamiento,
donde ||φ|| es el valor de verdad de φ en V B .
Este enfoque logra asignar una semántica a la fuerza sobre V sin recurrir a objetos genéricos ficticios. Las desventajas son que la semántica no es bivalente y que la combinatoria de B suele ser más complicada que la del conjunto poset subyacente P.
Una interpretación del forzamiento comienza con un modelo transitivo contable M de la teoría de conjuntos ZF, un conjunto parcialmente ordenado P y un subconjunto "genérico" G de P , y construye un nuevo modelo de la teoría de conjuntos ZF a partir de estos objetos. (Las condiciones de que el modelo sea contable y transitivo simplifican algunos problemas técnicos, pero no son esenciales). La construcción de Cohen se puede llevar a cabo utilizando modelos con valores booleanos de la siguiente manera.
Ahora explicamos estos pasos con más detalle.
Para cualquier conjunto poset P existe un álgebra de Boole completa B y una función e de P a B + ( los elementos no nulos de B ) tal que la imagen es densa, e ( p )≤e ( q ) siempre que p≤q , y e ( p ) e ( q )=0 siempre que p y q sean incompatibles. Esta álgebra de Boole es única salvo isomorfismo. Puede construirse como el álgebra de conjuntos abiertos regulares en el espacio topológico de P ( con el conjunto subyacente P , y una base dada por los conjuntos Up de elementos q con q≤p ).
La función del conjunto posexpuesto P en el álgebra de Boole completa B no es inyectiva en general. La función es inyectiva si y solo si P tiene la siguiente propiedad: si todo r ≤ p es compatible con q , entonces p ≤ q .
El ultrafiltro U sobre B se define como el conjunto de elementos b de B que son mayores que algún elemento de (la imagen de) G. Dado un ultrafiltro U sobre un álgebra de Boole, obtenemos un homomorfismo a {verdadero, falso} al mapear U a verdadero y su complemento a falso. A la inversa, dado tal homomorfismo, la imagen inversa de verdadero es un ultrafiltro, por lo que los ultrafiltros son esencialmente lo mismo que los homomorfismos a {verdadero, falso}. (Los algebristas podrían preferir usar ideales maximales en lugar de ultrafiltros: el complemento de un ultrafiltro es un ideal maximal y, a la inversa, el complemento de un ideal maximal es un ultrafiltro).
Si g es un homomorfismo de un álgebra de Boole B a un álgebra de Boole C y M B es cualquier modelo de ZF (o de cualquier otra teoría) con valor B , podemos convertir M B en un modelo con valor C aplicando el homomorfismo g al valor de todas las fórmulas. En particular, si C es {verdadero, falso}, obtenemos un modelo con valor {verdadero, falso}. Esto es casi lo mismo que un modelo ordinario: de hecho, obtenemos un modelo ordinario sobre el conjunto de clases de equivalencia bajo || = || de un modelo con valor {verdadero, falso}. Por lo tanto, obtenemos un modelo ordinario de la teoría de conjuntos de ZF partiendo de M , un álgebra de Boole B y un ultrafiltro U sobre B . (El modelo de ZF construido de esta manera no es transitivo. En la práctica, se aplica el teorema de colapso de Mostowski para convertirlo en un modelo transitivo).
Hemos visto que el forzamiento se puede realizar utilizando modelos con valores booleanos, construyendo un álgebra booleana con ultrafiltro a partir de un conjunto parcial con un subconjunto genérico. También es posible hacer lo contrario: dada un álgebra booleana B , podemos formar un conjunto parcial P de todos los elementos distintos de cero de B , y un ultrafiltro genérico sobre B se restringe a un conjunto genérico sobre P . Por lo tanto, las técnicas de forzamiento y los modelos con valores booleanos son esencialmente equivalentes.
