Espacio de Moore (topología)

En matemáticas , más específicamente en topología de conjuntos de puntos , un espacio de Moore es un espacio de Hausdorff regular desarrollable . Es decir, un espacio topológico X es un espacio de Moore si se cumplen las siguientes condiciones:

• Dos puntos distintos cualesquiera pueden estar separados por vecindades , y cualquier conjunto cerrado y cualquier punto de su complemento pueden estar separados por vecindades. ( X es un espacio regular de Hausdorff ).
• Hay una colección contable de coberturas abiertas de X , tal que para cualquier conjunto cerrado C y cualquier punto p en su complemento existe una cobertura en la colección tal que cada vecindad de p en la cobertura es disjunta de C. ( X es un espacio desarrollable ).

Los espacios de Moore son generalmente interesantes en matemáticas porque pueden aplicarse para demostrar teoremas de metrización interesantes . El concepto de espacio de Moore fue formulado por RL Moore a principios del siglo XX.

Ejemplos y propiedades

1. Todo espacio metrizable , X , es un espacio de Moore. Si { A ^{( n )} _x } es la cubierta abierta de X (indexada por x en X ) por todas las bolas de radio 1/ n , entonces la colección de todas esas cubiertas abiertas cuando n varía sobre los enteros positivos es un desarrollo de X . Como todos los espacios metrizables son normales, todos los espacios métricos son espacios de Moore.
2. Los espacios de Moore se parecen mucho a los espacios regulares y se diferencian de los espacios normales en el sentido de que cada subespacio de un espacio de Moore es también un espacio de Moore.
3. La imagen de un espacio de Moore bajo un mapa abierto continuo e inyectivo es siempre un espacio de Moore. (La imagen de un espacio regular bajo un mapa abierto continuo e inyectivo siempre es regular).
4. Ambos ejemplos 2 y 3 sugieren que los espacios de Moore son similares a los espacios regulares.
5. Ni la línea de Sorgenfrey ni el plano de Sorgenfrey son espacios de Moore porque son normales y no contables en segundo lugar .
6. El plano de Moore (también conocido como espacio de Niemytski) es un ejemplo de espacio de Moore no metrizable.
7. Todo espacio de Moore normal , separable y metacompacto es metrizable. Este teorema se conoce como teorema de Traylor.
8. Todo espacio de Moore normal localmente compacto y localmente conectado es metrizable. Este teorema fue demostrado por Reed y Zenor.
9. Si , entonces todo espacio de Moore normal separable es metrizable . Este teorema se conoce como teorema de Jones. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}}$

Conjetura del espacio normal de Moore

Durante mucho tiempo, los topólogos intentaron demostrar la llamada conjetura del espacio normal de Moore: todo espacio normal de Moore es metrizable . Esto se inspiró en el hecho de que todos los espacios de Moore conocidos que no eran metrizables tampoco eran normales. Este habría sido un buen teorema de metrización . Al principio hubo algunos buenos resultados parciales; es decir, las propiedades 7, 8 y 9 como se indican en la sección anterior.

Con la propiedad 9, vemos que podemos eliminar la metacompacidad del teorema de Traylor, pero a costa de un supuesto de teoría de conjuntos. Otro ejemplo de esto es el teorema de Fleissner de que el axioma de constructibilidad implica que los espacios de Moore normales, localmente compactos, son metrizables.

Por otro lado, bajo la hipótesis del continuo (CH) y también bajo el axioma de Martin y no CH, existen varios ejemplos de espacios de Moore normales no metrizables. Nyikos demostró que, según el llamado PMEA (Axioma de extensión de medida del producto), que necesita un cardinal grande , todos los espacios normales de Moore son metrizables. Finalmente, se demostró más tarde que cualquier modelo de ZFC en el que se cumpla la conjetura implica la existencia de un modelo con un cardinal grande. Por lo tanto, esencialmente se necesitan cardenales grandes.

Jones (1937) dio un ejemplo de un espacio de Moore pseudonormal que no es metrizable, por lo que la conjetura no puede reforzarse de esta manera. El propio Moore demostró el teorema de que un espacio de Moore normal en términos de colecciones es metrizable, por lo que fortalecer la normalidad es otra forma de resolver el asunto.

Referencias

• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach , Contraejemplos en topología , Dover Books, 1995. ISBN  0-486-68735-X
• Jones, FB (1937), "Sobre los espacios normales y completamente normales" (PDF) , Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 43 (10): 671–677, doi : 10.1090/S0002-9904-1937-06622-5 , SEÑOR  1563615.
• Nyikos, Peter J. (2001), "Una historia del problema espacial normal de Moore", Manual de Historia de la Topología General, Hist. Topol., vol. 3, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, págs. 1179-1212, ISBN 9780792369707, SEÑOR  1900271.
• La definición original de RL Moore aparece aquí :

MR 0150722 (27 #709) Moore, RL Fundamentos de la teoría de conjuntos de puntos . Edición revisada. Publicaciones del coloquio de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas, vol. XIII Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, RI 1962 xi+419 págs. (Revisor: F. Burton Jones)

• La información histórica se puede encontrar aquí :

SEÑOR 0199840 (33 #7980) Jones, F. Burton "Metrización". Mensual Matemático Estadounidense 73 1966 571–576. (Revisor: RW Bagley)

• La información histórica se puede encontrar aquí :

MR 0203661 (34 #3510) Bing, RH "Conjeturas desafiantes". Mensual Matemático Estadounidense 74 1967 no. 1, parte II, 56–64;

• El teorema de Vickery se puede encontrar aquí :

MR 0001909 (1,317f) Vickery, CW "Axiomas para espacios de Moore y espacios métricos". Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas 46, (1940). 560–564

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