Espacio normal por colección

Propiedad de los espacios topológicos más fuerte que la normalidad

En matemáticas, un espacio topológico se denomina normal por colección si para cada familia discreta F _i ( i ∈ I ) de subconjuntos cerrados de existe una familia disjunta por pares de conjuntos abiertos U _i ( i ∈ I ), tal que F _i ⊆ U _i . Aquí, una familia de subconjuntos de se denomina discreta cuando cada punto de tiene un entorno que interseca a lo sumo uno de los conjuntos de . Una definición equivalente ^{[1] de normal por colección exige que los} U _i ( i ∈ I ) anteriores formen por sí mismos una familia discreta, que es más fuerte que la disjunta por pares. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

_Algunos autores asumen que también es un espacio T1 como parte de la definición, pero aquí no se hace tal suposición. ${\displaystyle X}$

La propiedad tiene una fuerza intermedia entre la paracompacidad y la normalidad , y aparece en los teoremas de metrización .

Propiedades

• Un espacio normal por colección es un espacio de Hausdorff por colección .
• Un espacio normal por colección es normal .
• Un espacio paracompacto de Hausdorff es normal en conjunto. ^[2] En particular, todo espacio metrizable es normal en conjunto. Nota: La condición de Hausdorff es necesaria aquí, ya que, por ejemplo, un conjunto infinito con la topología cofinita es compacto , por lo tanto paracompacto, y T ₁ , pero ni siquiera es normal.
  
• Todo espacio numerable compacto normal (y, por lo tanto, todo espacio compacto normal) es normal en cuanto a colección.
  Demostración : utilicemos el hecho de que en un espacio numerable compacto cualquier familia discreta de subconjuntos no vacíos es finita.
• Un conjunto F σ en un espacio normal por conjuntos también es normal por conjuntos en la topología de subespacios . En particular, esto se cumple para subconjuntos cerrados.
• ElEl teorema de metrización de Moore establece que unespacio de Mooreesmetrizable.

Espacio normal hereditario por colección

Un espacio topológico X se denomina hereditariamente normal por colección si cada subespacio de X con la topología de subespacio es normal por colección.

De la misma manera que los espacios normales hereditarios pueden caracterizarse en términos de conjuntos separados , existe una caracterización equivalente para los espacios normales hereditarios por colección. Una familia de subconjuntos de X se denomina familia separada si para cada i , tenemos , donde cl denota el operador de clausura en X , en otras palabras, si la familia de es discreta en su unión. Las siguientes condiciones son equivalentes: ^[3] ${\displaystyle F_{i}(i\in I)}$ ${\textstyle F_{i}\cap \operatorname {cl} (\bigcup _{j\neq i}F_{j})=\emptyset }$ ${\displaystyle F_{i}}$

1. X es hereditariamente una colección normal.
2. Todo subespacio abierto de X es normal en su conjunto.
3. Para cada familia separada de subconjuntos de X , existe una familia disjunta por pares de conjuntos abiertos , tal que . ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}(i\in I)}$ ${\displaystyle F_{i}\subseteq U_{i}}$

Ejemplos de espacios normales hereditarios por colección

• Todo espacio topológico ordenado linealmente (LOTS) ^[4]
• Todo espacio ordenado generalizado (GO-espacio)
• Todo espacio metrizable . Esto se deduce del hecho de que los espacios metrizables son conjuntos normales y que ser metrizable es una propiedad hereditaria.
• Todo espacio monótonamente normal ^[5]

Notas

1. Engelking, Teorema 5.1.17, muestra la equivalencia entre las dos definiciones (bajo el supuesto de T ₁ , pero la prueba no utiliza la propiedad T _{1 ).}
2. Engelking 1989, Teorema 5.1.18.
3. Engelking 1989, Problema 5.5.1.
4. Steen, Lynn A. (1970). "Una prueba directa de que un espacio ordenado linealmente es hereditariamente normal en conjunto". Proc. Amer. Math. Soc. 24 : 727–728. doi : 10.1090/S0002-9939-1970-0257985-7 .
5. Heath, RW; Lutzer, DJ; Zenor, PL (abril de 1973). "Espacios monótonamente normales" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 178 : 481–493. doi : 10.2307/1996713 . JSTOR  1996713.

Referencias

• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.