Teoría general de conjuntos

Sistema de teoría matemática de conjuntos.

Teoría general de conjuntos ( GST ) es el nombre que le dio George Boolos (1998) a un fragmento de la teoría axiomática de conjuntos Z. GST es suficiente para todas las matemáticas que no requieren conjuntos infinitos , y es la teoría de conjuntos más débil conocida cuyos teoremas incluyen los axiomas de Peano .

Ontología

La ontología de GST es idéntica a la de ZFC y, por tanto, es completamente canónica. GST presenta una única noción ontológica primitiva , la de conjunto , y una única suposición ontológica, a saber, que todos los individuos en el universo del discurso (por lo tanto, todos los objetos matemáticos ) son conjuntos. Hay una única relación binaria primitiva , membresía de conjunto ; que el conjunto a es miembro del conjunto b se escribe a ∈ b (normalmente se lee " a es un elemento de b ").

Axiomas

Los axiomas simbólicos que aparecen a continuación son de Boolos (1998: 196) y rigen cómo se comportan e interactúan los conjuntos. Al igual que con Z , la lógica de fondo de GST es la lógica de primer orden con identidad . De hecho, GST es el fragmento de Z obtenido omitiendo los axiomas Unión , Conjunto de potencias , Conjuntos elementales (esencialmente Emparejamiento ) e Infinito y luego tomando un teorema de Z, Adjunción, como axioma. Las versiones en lenguaje natural de los axiomas están destinadas a ayudar a la intuición.

1) Axioma de Extensionalidad : Los conjuntos xey son el mismo conjunto si tienen los mismos miembros .

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z[z\in x\leftrightarrow z\in y]\rightarrow x=y].}$

Lo contrario de este axioma se deriva de la propiedad de sustitución de la igualdad.

2) Esquema axiomático de especificación (o separación o comprensión restringida ): si z es un conjunto y es cualquier propiedad que puede ser satisfecha por todos, algunos o ningún elemento de z , entonces existe un subconjunto y de z que contiene solo esos elementos. x en z que satisfacen la propiedad . La restricción a z es necesaria para evitar la paradoja de Russell y sus variantes. Más formalmente, sea cualquier fórmula en el lenguaje de GST en la que x puede aparecer libremente y y no. Entonces todos los casos del siguiente esquema son axiomas: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle \forall z\exists y\forall x[x\in y\leftrightarrow (x\in z\land \phi (x))].}$

3) Axioma de conjunción : si x e y son conjuntos, entonces existe un conjunto w , la conjunción de x e y , cuyos miembros son solo y y los miembros de x . ^[1]

${\displaystyle \forall x\forall y\exists w\forall z[z\in w\leftrightarrow (z\in x\lor z=y)].}$

La adjunción se refiere a una operación elemental en dos conjuntos y no tiene relación con el uso de ese término en otras matemáticas, incluida la teoría de categorías .

ST es GST con el esquema de axioma de especificación reemplazado por el axioma de conjunto vacío .

Discusión

Metamatemáticas

Tenga en cuenta que la especificación es un esquema axioma. La teoría dada por estos axiomas no es finitamente axiomatizable . Montague (1961) demostró que ZFC no es finitamente axiomatizable y su argumento se traslada al GST. Por tanto, cualquier axiomatización de GST debe incluir al menos un esquema de axioma . Con sus axiomas simples, GST también es inmune a las tres grandes antinomias de la teoría ingenua de conjuntos : la de Russell , la de Burali-Forti y la de Cantor .

GST es interpretable en álgebra de relaciones porque ninguna parte de ningún axioma de GST se encuentra en el alcance de más de tres cuantificadores . Ésta es la condición necesaria y suficiente dada en Tarski y Givant (1987).

aritmética de peano

Establecer φ( x ) en Separación en x ≠ x y asumir que el dominio no está vacío, asegura la existencia del conjunto vacío . La adjunción implica que si x es un conjunto, entonces también lo es . Dada la Adjunción , puede procederse a la construcción habitual de los ordinales sucesores del conjunto vacío , uno en el que los números naturales se definen como . Ver los axiomas de Peano . GST es mutuamente interpretable con la aritmética de Peano (por lo tanto, tiene la misma fuerza teórica de prueba que PA). ${\displaystyle S(x)=x\cup \{x\}}$ ${\displaystyle \varnothing ,\,S(\varnothing ),\,S(S(\varnothing )),\,\ldots ,}$

El hecho más notable acerca de la ST (y por tanto de la GST) es que estos pequeños fragmentos de la teoría de conjuntos dan lugar a unas metamatemáticas tan ricas. Mientras que ST es un pequeño fragmento de las conocidas teorías canónicas de conjuntos ZFC y NBG , ST interpreta la aritmética de Robinson (Q), de modo que ST hereda las metamatemáticas no triviales de Q. Por ejemplo, ST es esencialmente indecidible porque Q lo es, y todo consistente La teoría cuyos teoremas incluyen los axiomas ST también es esencialmente indecidible. ^[2] Esto incluye GST y todas las teorías de conjuntos axiomáticas en las que vale la pena pensar, suponiendo que sean consistentes. De hecho, la indecidibilidad de ST implica la indecidibilidad de la lógica de primer orden con una sola letra de predicado binario . ^[3]

Q también es incompleto en el sentido del teorema de incompletitud de Gödel . Cualquier teoría axiomatizable, como ST y GST, cuyos teoremas incluyan los axiomas Q, también es incompleta. Además, la coherencia del GST no puede demostrarse dentro del propio GST, a menos que el GST sea de hecho inconsistente.

Conjuntos infinitos

Dado cualquier modelo M de ZFC, la colección de conjuntos hereditariamente finitos en M satisfará los axiomas de GST. Por lo tanto, GST no puede probar la existencia ni siquiera de un conjunto infinito contable , es decir, de un conjunto cuya cardinalidad sea ℵ ₀ . Incluso si GST permitiera un conjunto contablemente infinito, GST no podría probar la existencia de un conjunto cuya cardinalidad sea , porque GST carece del axioma de conjunto potencia . Por lo tanto, GST no puede fundamentar el análisis y la geometría , y es demasiado débil para servir como base para las matemáticas . ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Historia

Boolos estaba interesado en GST sólo como un fragmento de Z que es lo suficientemente potente como para interpretar la aritmética de Peano . Nunca se detuvo en el GST, sólo lo mencionó brevemente en varios artículos que analizaban los sistemas Grundlagen y Grundgesetze de Frege y cómo podrían modificarse para eliminar la paradoja de Russell . El sistema Aξ' [δ ₀ ] en Tarski y Givant (1987: 223) es esencialmente GST con un esquema axiomático de inducción que reemplaza a la Especificación , y con la existencia de un conjunto vacío asumida explícitamente.

GST se denomina STZ en Burgess (2005), p. 223. ^[4] La teoría ST de Burgess ^[5] es GST con un conjunto vacío que reemplaza el esquema de axioma de especificación . Que las letras "ST" también aparezcan en "GST" es una coincidencia.

Notas a pie de página

1. La adjunción rara vez se menciona en la literatura. Las excepciones son Burgess (2005) passim y QIII en Tarski y Givant (1987: 223).
2. Burgess (2005), 2.2, pág. 91.
3. Tarski y col. (1953), pág. 34.
4. El axioma del conjunto vacío en STZ es redundante, porque la existencia del conjunto vacío se puede derivar del esquema de axioma de la Especificación.
5. Llamado S 'en Tarski et al. (1953: 34).

Referencias

• George Boolos (1999) Lógica, Lógica y Lógica . Universidad de Harvard. Prensa.
• Burgess, John, 2005. Arreglando a Frege . Universidad de Princeton. Prensa.
• Richard Montague (1961) "Cierre semántico y axiomatizabilidad no finita" en Métodos infinistas . Varsovia: 45-69.
• Alfred Tarski , Andrzej Mostowski y Raphael Robinson (1953) Teorías indecidibles . Holanda del Norte.
• Tarski, A. y Givant, Steven (1987) Una formalización de la teoría de conjuntos sin variables . Providence RI: Publicaciones del coloquio AMS, v.41.

enlaces externos

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : teoría de conjuntos, por Thomas Jech.