En la teoría de conjuntos axiomáticos , el axioma del conjunto vacío , [1] [2] también llamado axioma del conjunto nulo [3] y axioma de existencia , [4] [5] es un enunciado que afirma la existencia de un conjunto sin elementos. [3] Es un axioma de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek y la variante de la teoría general de conjuntos que Burgess (2005) llama "ST", y una verdad demostrable en la teoría de conjuntos de Zermelo y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , con o sin el axioma de elección . [6]
En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma se lee:
O, alternativamente, . [7]
En palabras:
Podemos utilizar el axioma de extensionalidad para demostrar que sólo existe un conjunto vacío. Puesto que es único, podemos nombrarlo. Se llama conjunto vacío (denotado por { } o ∅). El axioma, enunciado en lenguaje natural, es en esencia:
Esta fórmula es un teorema y se considera verdadera en todas las versiones de la teoría de conjuntos. La única controversia es sobre cómo debe justificarse: convirtiéndola en un axioma; derivándola de un axioma de existencia de conjuntos (o lógica) y del axioma de separación; derivándola del axioma de infinito; o algún otro método.
En algunas formulaciones de ZF, el axioma de conjunto vacío se repite en realidad en el axioma de infinito . Sin embargo, hay otras formulaciones de ese axioma que no presuponen la existencia de un conjunto vacío. Los axiomas de ZF también pueden escribirse utilizando un símbolo constante que represente al conjunto vacío; entonces, el axioma de infinito utiliza este símbolo sin requerir que esté vacío, mientras que el axioma de conjunto vacío es necesario para afirmar que, de hecho, está vacío.
Además, a veces se consideran teorías de conjuntos en las que no hay conjuntos infinitos, y entonces todavía puede requerirse el axioma del conjunto vacío. Sin embargo, cualquier axioma de la teoría de conjuntos o de la lógica que implique la existencia de cualquier conjunto implicará la existencia del conjunto vacío, si se tiene el esquema axiomático de separación . Esto es cierto, ya que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto que consiste en aquellos elementos que satisfacen una fórmula contradictoria.
En muchas formulaciones de la lógica de predicados de primer orden, siempre se garantiza la existencia de al menos un objeto. Si la axiomatización de la teoría de conjuntos se formula en un sistema lógico de este tipo con el esquema axiomático de separación como axiomas, y si la teoría no hace distinción entre conjuntos y otros tipos de objetos (lo que es válido para ZF, KP y teorías similares), entonces la existencia del conjunto vacío es un teorema.
Si la separación no se postula como un esquema axiomático, sino que se deriva como un esquema teorémico a partir del esquema de reemplazo (como se hace a veces), la situación es más complicada y depende de la formulación exacta del esquema de reemplazo. La formulación utilizada en el artículo sobre el esquema axiomático de reemplazo solo permite construir la imagen F [ a ] cuando a está contenido en el dominio de la función de clase F ; entonces la derivación de la separación requiere el axioma de conjunto vacío. Por otra parte, la restricción de totalidad de F a menudo se omite del esquema de reemplazo, en cuyo caso implica el esquema de separación sin utilizar el axioma de conjunto vacío (o cualquier otro axioma).
