Teoría de conjuntos de Kripke-Platek

System of mathematical set theory

La teoría de conjuntos de Kripke-Platek ( KP ), pronunciada / ˈ k r ɪ p k i ˈ p l ɑː t ɛ k / , es una teoría de conjuntos axiomática desarrollada por Saul Kripke y Richard Platek. La teoría puede considerarse aproximadamente como la parte predicativa de ZFC y es considerablemente más débil que ella.

Axiomas

En su formulación, una fórmula Δ ₀ es aquella cuyos cuantificadores están acotados . Esto significa que cualquier cuantificación es la forma o (Ver la jerarquía de Lévy ). ${\displaystyle \forall u\in v}$ ${\displaystyle \exists u\in v.}$

• Axioma de extensionalidad : Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.
• Axioma de inducción : siendo φ( a ) una fórmula , si para todos los conjuntos x la suposición de que φ( y ) se cumple para todos los elementos y de x implica que φ( x ) se cumple, entonces φ( x ) se cumple para todos los conjuntos x .
• Axioma del conjunto vacío : existe un conjunto sin miembros, llamado conjunto vacío y denotado {}.
• Axioma de emparejamiento : si x , y son conjuntos, entonces también lo es { x , y }, un conjunto que contiene x e y como únicos elementos.
• Axioma de unión : Para cualquier conjunto x , existe un conjunto y tal que los elementos de y son precisamente los elementos de los elementos de x .
• Axioma de separación Δ ₀ : Dado cualquier conjunto y cualquier fórmula Δ _{0 φ (} x ), hay un subconjunto del conjunto original que contiene precisamente aquellos elementos x para los cuales φ ( x ) se cumple. (Este es un esquema de axioma ).
• Axioma de la colección Δ ₀ : dada cualquier fórmula Δ ₀ φ ( x , y ), si para cada conjunto x existe un conjunto y tal que φ ( x , y ) se cumple, entonces para todos los conjuntos X existe un conjunto Y tal que para cada x en X hay una y en Y tal que φ( x , y ) se cumple.

Algunos autores, aunque no todos, incluyen una

• Axioma del infinito

KP con infinito se denota por KPω. Estos axiomas conducen a estrechas conexiones entre KP, la teoría de la recursión generalizada y la teoría de los ordinales admisibles . KP puede estudiarse como una teoría de conjuntos constructiva eliminando la ley del tercero excluido , sin cambiar ningún axioma.

Conjunto vacio

Si se postula la existencia de cualquier conjunto , como en el axioma del infinito, entonces el axioma del conjunto vacío es redundante porque es igual al subconjunto . Además, la existencia de un miembro en el universo del discurso, es decir, ∃x(x=x), está implícita en ciertas formulaciones ^[1] de la lógica de primer orden , en cuyo caso el axioma de conjunto vacío se deriva del axioma de Δ ₀ -separación y, por tanto, es redundante. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \{x\in c\mid x\neq x\}}$

Comparación con la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

Como se señaló, los anteriores son más débiles que ZFC ya que excluyen el axioma del conjunto de potencias , la elección y, a veces, el infinito. Además, los axiomas de separación y recopilación aquí son más débiles que los axiomas correspondientes en ZFC porque las fórmulas φ utilizadas en estos se limitan únicamente a cuantificadores acotados.

El axioma de inducción en el contexto de KP es más fuerte que el axioma habitual de regularidad , que equivale a aplicar la inducción al complemento de un conjunto (la clase de todos los conjuntos que no están en el conjunto dado).

Definiciones relacionadas

• Un conjunto se considera admisible si es transitivo y es un modelo de la teoría de conjuntos de Kripke-Platek. ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle \langle A,\in \rangle }$
• Un número ordinal se llama ordinal admisible si es un conjunto admisible. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }}$
• ${\displaystyle L_{\alpha }}$se llama conjunto adaptable si es un modelo estándar de la teoría de conjuntos de KP sin el axioma de colección Δ ₀ .

Teoremas

Conjuntos admisibles

El ordinal α es un ordinal admisible si y sólo si α es un ordinal límite y no existe un γ  <  α para el cual hay un mapeo Σ ₁ (L _α ) de γ a α . Si M es un modelo estándar de KP, entonces el conjunto de ordinales en M es un ordinal admisible.

Los productos cartesianos existen.

Teorema: Si A y B son conjuntos, entonces hay un conjunto A × B que consta de todos los pares ordenados ( a , b ) de elementos a de A y b de B.

Prueba:

El conjunto singleton con miembro a , escrito { a }, es lo mismo que el par desordenado { a , a }, según el axioma de extensionalidad .

El singleton, el conjunto { a , b } y luego también el par ordenado

${\displaystyle (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}}$

todos existen por emparejamiento . Una posible fórmula Δ ₀ que expresa que p representa el par ( a , b ) viene dada por la larga ${\displaystyle \psi (a,b,p)}$

${\displaystyle \exists r\in p\,{\big (}a\in r\,\land \,\forall x\in r\,(x=a){\big )}}$

${\displaystyle \land \,\exists s\in p\,{\big (}a\in s\,\land \,b\in s\,\land \,\forall x\in s\,(x=a\,\lor \,x=b){\big )}}$

${\displaystyle \land \,\forall t\in p\,{\Big (}{\big (}a\in t\,\land \,\forall x\in t\,(x=a){\big )}\,\lor \,{\big (}a\in t\land b\in t\land \forall x\in t\,(x=a\,\lor \,x=b){\big )}{\Big )}.}$

Lo que sigue son dos pasos de recopilación de conjuntos, seguidos de una restricción mediante separación. Todos los resultados también se expresan utilizando notación de generador de conjuntos.

En primer lugar, dado y recopilando con respecto a , algún superconjunto de existe por colección . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times \{b\}=\{(a,b)\mid a\in A\}}$

La fórmula Δ ₀

${\displaystyle \exists a\in A\,\psi (a,b,p)}$

concede que sólo él mismo existe por separación . ${\displaystyle A\times \{b\}}$

Si debería representar esta colección de pares , entonces una fórmula Δ ₀ que la caracteriza es ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\times \{b\}}$

${\displaystyle \forall a\in A\,\exists p\in P\,\psi (a,b,p)\,\land \,\forall p\in P\,\exists a\in A\,\psi (a,b,p)\,.}$

Dado y recopilando con respecto a , algún superconjunto de existe por colección . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$

Si se antepone esa última fórmula, se encuentra que el conjunto en sí existe por separación . ${\displaystyle \exists b\in B}$ ${\displaystyle \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$

Finalmente, el deseado

${\displaystyle A\times B:=\bigcup \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$

existe por unión . QED

metalógico

La fuerza de consistencia de KPω viene dada por el ordinal de Bachmann-Howard . KP no logra demostrar algunos teoremas comunes en la teoría de conjuntos, como el lema del colapso de Mostowski . ^[2]

Ver también

• Universo construible
• Ordinal admisible
• Conjunto contable hereditariamente
• Teoría de conjuntos de Kripke-Platek con urelementos

Referencias

1. Poizat, Bruno (2000). Un curso de teoría de modelos: una introducción a la lógica matemática contemporánea . Saltador. ISBN 0-387-98655-3., nota al final del §2.3 en la página 27: "Aquellos que no permiten relaciones en un universo vacío consideran (∃x)x=x y sus consecuencias como tesis; nosotros, sin embargo, no compartimos este aborrecimiento, con tan poca lógica suelo, de un vacío."
2. P. Odifreddi, Teoría clásica de la recursión (1989) p.421. Holanda Septentrional, 0-444-87295-7

Bibliografía

• Devlin, Keith J. (1984). Constructibilidad . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 0-387-13258-9.
• Gostanian, Richard (1980). "Modelos construibles de subsistemas de ZF". Revista de Lógica Simbólica . 45 (2). Asociación de Lógica Simbólica : 237. doi : 10.2307/2273185. JSTOR  2273185.
• Kripke, S. (1964), "Recursión transfinita en ordinales admisibles", Journal of Symbolic Logic , 29 : 161–162, doi : 10.2307/2271646, JSTOR  2271646
• Platek, Richard Alan (1966), Fundamentos de la teoría de la recursividad , Tesis (Ph.D.) – Universidad de Stanford , MR  2615453