En filosofía de las matemáticas , el constructivismo afirma que es necesario encontrar (o "construir") un ejemplo específico de un objeto matemático para poder demostrar que existe un ejemplo. Por el contrario, en matemáticas clásicas , uno puede probar la existencia de un objeto matemático sin "encontrar" ese objeto explícitamente, asumiendo su inexistencia y luego derivando una contradicción de esa suposición. Tal prueba por contradicción podría considerarse no constructiva y un constructivista podría rechazarla. El punto de vista constructivo implica una interpretación verificativa del cuantificador existencial , que está en desacuerdo con su interpretación clásica.
Hay muchas formas de constructivismo. [1] Estos incluyen el programa de intuicionismo fundado por Brouwer , el finitismo de Hilbert y Bernays , las matemáticas constructivas recursivas de Shanin y Markov , y el programa de análisis constructivo de Bishop . [2] El constructivismo también incluye el estudio de teorías constructivas de conjuntos como CZF y el estudio de la teoría del topos .
El constructivismo a menudo se identifica con el intuicionismo, aunque el intuicionismo es sólo un programa constructivista. El intuicionismo sostiene que los fundamentos de las matemáticas se encuentran en la intuición individual del matemático, haciendo así de las matemáticas una actividad intrínsecamente subjetiva. [3] Otras formas de constructivismo no se basan en este punto de vista de la intuición y son compatibles con un punto de vista objetivo sobre las matemáticas.
Gran parte de las matemáticas constructivas utilizan la lógica intuicionista , que es esencialmente lógica clásica sin la ley del tercero excluido . Esta ley establece que, para cualquier proposición, o esa proposición es verdadera o su negación lo es. Esto no quiere decir que se niegue por completo la ley del tercero excluido; Los casos especiales de la ley serán demostrables. Lo que pasa es que la ley general no se asume como un axioma . La ley de no contradicción (que establece que enunciados contradictorios no pueden ser ambos verdaderos al mismo tiempo) sigue siendo válida.
Por ejemplo, en aritmética de Heyting , se puede demostrar que para cualquier proposición p que no contenga cuantificadores , es un teorema (donde x , y , z ... son las variables libres en la proposición p ). En este sentido, las proposiciones restringidas a lo finito todavía se consideran verdaderas o falsas, como lo son en las matemáticas clásicas, pero esta bivalencia no se extiende a las proposiciones que se refieren a conjuntos infinitos .
De hecho, LEJ Brouwer , fundador de la escuela intuicionista, consideraba que la ley del tercero excluido se abstraía de la experiencia finita y luego se aplicaba al infinito sin justificación . Por ejemplo, la conjetura de Goldbach es la afirmación de que todo número par (mayor que 2) es la suma de dos números primos . Es posible comprobar si un número par en particular es o no la suma de dos primos (por ejemplo, mediante una búsqueda exhaustiva), de modo que cualquiera de ellos sea la suma de dos primos o no lo sea. Y hasta ahora, cada uno de ellos probado ha sido, de hecho, la suma de dos primos.
Pero no hay prueba conocida de que todos sean así, ni prueba conocida de que no todos lo sean; ni siquiera se sabe si debe existir una prueba o una refutación de la conjetura de Goldbach (la conjetura puede ser indecidible en la teoría de conjuntos tradicional ZF). Así, para Brouwer, no estamos justificados al afirmar que "o la conjetura de Goldbach es cierta o no lo es". Y aunque la conjetura pueda resolverse algún día, el argumento se aplica a problemas similares no resueltos; Para Brouwer, la ley del tercero excluido equivalía a suponer que todo problema matemático tiene una solución.
Con la omisión de la ley del tercero excluido como axioma, el sistema lógico restante tiene una propiedad de existencia que la lógica clásica no tiene: siempre que se prueba de manera constructiva, entonces de hecho se prueba de manera constructiva para (al menos) un particular , a menudo llamado un testigo. Así, la prueba de la existencia de un objeto matemático está ligada a la posibilidad de su construcción.
En el análisis real clásico , una forma de definir un número real es como una clase de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales .
En matemáticas constructivas, una forma de construir un número real es como una función ƒ que toma un entero positivo y genera un racional ƒ ( n ), junto con una función g que toma un entero positivo n y genera un entero positivo g ( n ) . tal que
de modo que a medida que n aumenta, los valores de ƒ ( n ) se acercan cada vez más. Podemos usar ƒ y g juntos para calcular una aproximación racional lo más cercana que queramos al número real que representan.
Según esta definición, una representación simple del número real e es:
Esta definición corresponde a la definición clásica que utiliza secuencias de Cauchy, excepto con un giro constructivo: para una secuencia de Cauchy clásica, se requiere que, para cualquier distancia dada, exista (en un sentido clásico) un miembro en la secuencia después del cual todos los miembros están más cerca que esa distancia. En la versión constructiva, se requiere que, para cualquier distancia dada, sea posible especificar un punto en la secuencia donde esto suceda (esta especificación requerida a menudo se denomina módulo de convergencia ). De hecho, la interpretación constructiva estándar del enunciado matemático
es precisamente la existencia de la función que calcula el módulo de convergencia. Así, la diferencia entre las dos definiciones de números reales puede considerarse como la diferencia en la interpretación del enunciado "para todos... existe..."
Esto entonces abre la pregunta de qué tipo de función de un conjunto contable a un conjunto contable, como f y g arriba, se puede realmente construir. Las diferentes versiones del constructivismo divergen en este punto. Las construcciones pueden definirse de manera tan amplia como secuencias de libre elección , que es la visión intuicionista, o tan estrictamente como algoritmos (o más técnicamente, funciones computables ), o incluso dejarlas sin especificar. Si, por ejemplo, se adopta la visión algorítmica, entonces los reales tal como se construyen aquí son esencialmente lo que clásicamente se llamaría números computables .
Tomar la interpretación algorítmica anterior parecería estar en desacuerdo con las nociones clásicas de cardinalidad . Al enumerar algoritmos, podemos demostrar que los números computables son clásicamente contables. Y, sin embargo, el argumento diagonal de Cantor aquí muestra que los números reales tienen una cardinalidad incontable. Identificar los números reales con los números computables sería entonces una contradicción. Además, el argumento de la diagonal parece perfectamente constructivo.
De hecho, el argumento de la diagonal de Cantor se puede presentar de manera constructiva, en el sentido de que dada una biyección entre los números naturales y los números reales, se construye un número real que no está en el rango de funciones y, por lo tanto, se establece una contradicción. Se pueden enumerar algoritmos para construir una función T , sobre la cual inicialmente asumimos que es una función de los números naturales a los reales. Pero, a cada algoritmo, puede corresponder o no un número real, ya que el algoritmo puede no satisfacer las restricciones, o incluso no ser terminante ( T es una función parcial ), por lo que esto no produce la biyección requerida. En resumen, quien adopta la opinión de que los números reales son (individualmente) efectivamente computables interpreta que el resultado de Cantor muestra que los números reales (colectivamente) no son recursivamente enumerables .
Aún así, uno podría esperar que, dado que T es una función parcial de los números naturales a los números reales, los números reales no son más que contables. Y, dado que todo número natural puede representarse trivialmente como un número real, los números reales son nada menos que contables. Por tanto, son exactamente contables. Sin embargo, este razonamiento no es constructivo, ya que todavía no construye la biyección requerida. El teorema clásico que demuestra la existencia de una biyección en tales circunstancias, a saber, el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder , no es constructivo. Recientemente se ha demostrado que el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder implica la ley del tercero excluido , por lo que no puede haber una prueba constructiva del teorema. [4]
El estatus del axioma de elección en matemáticas constructivas se complica por los diferentes enfoques de los diferentes programas constructivistas. Un significado trivial de "constructivo", utilizado informalmente por los matemáticos, es "demostrable en la teoría de conjuntos ZF sin el axioma de elección". Sin embargo, los defensores de formas más limitadas de matemáticas constructivas afirmarían que ZF en sí no es un sistema constructivo.
En las teorías intuicionistas de la teoría de tipos (especialmente la aritmética de tipos superiores), se permiten muchas formas del axioma de elección. Por ejemplo, el axioma AC 11 se puede parafrasear para decir que para cualquier relación R en el conjunto de números reales, si se ha demostrado que para cada número real x existe un número real y tal que R ( x , y ) se cumple, entonces en realidad existe una función F tal que R ( x , F ( x )) es válida para todos los números reales. Se aceptan principios de elección similares para todos los tipos finitos. La motivación para aceptar estos principios aparentemente no constructivos es la comprensión intuicionista de la prueba de que "para cada número real x existe un número real y tal que R ( x , y ) se cumple". Según la interpretación de BHK , esta prueba en sí misma es esencialmente la función F deseada. Los principios de elección que aceptan los intuicionistas no implican la ley del tercero excluido .
Sin embargo, en ciertos sistemas de axiomas de la teoría constructiva de conjuntos, el axioma de elección sí implica la ley del tercero excluido (en presencia de otros axiomas), como lo muestra el teorema de Diaconescu-Goodman-Myhill . Algunas teorías de conjuntos constructivas incluyen formas más débiles del axioma de elección, como el axioma de elección dependiente en la teoría de conjuntos de Myhill.
La teoría de la medida clásica es fundamentalmente no constructiva, ya que la definición clásica de medida de Lebesgue no describe de ninguna manera cómo calcular la medida de un conjunto o la integral de una función. De hecho, si uno piensa en una función simplemente como una regla que "ingresa un número real y genera un número real", entonces no puede haber ningún algoritmo para calcular la integral de una función, ya que cualquier algoritmo sólo sería capaz de llamar a un número finito de valores de la función a la vez, y un número finito de valores no son suficientes para calcular la integral con una precisión no trivial. La solución a este enigma, realizada por primera vez en Bishop (1967), es considerar sólo funciones escritas como el límite puntual de funciones continuas (con módulo de continuidad conocido), con información sobre la tasa de convergencia. Una ventaja de la teoría de la medida constructivizante es que si se puede demostrar que un conjunto es constructivamente de medida total, entonces existe un algoritmo para encontrar un punto en ese conjunto (ver nuevamente Bishop (1967)). Por ejemplo, este método se puede utilizar para construir un número real que sea normal a cada base. [ cita necesaria ]
Tradicionalmente, algunos matemáticos han mostrado sospechas, si no antagonismo, hacia el constructivismo matemático, en gran parte debido a las limitaciones que creían que planteaba para el análisis constructivo. Estos puntos de vista fueron expresados enérgicamente por David Hilbert en 1928, cuando escribió en Grundlagen der Mathematik : "Tomar del matemático el principio del tercero excluido sería lo mismo, digamos, que prohibir el telescopio al astrónomo o al boxeador el uso de sus puños". [5]
Errett Bishop , en su obra de 1967 Fundamentos del análisis constructivo , [2] trabajó para disipar estos temores desarrollando una gran cantidad de análisis tradicional en un marco constructivo.
Aunque la mayoría de los matemáticos no aceptan la tesis constructivista de que sólo las matemáticas basadas en métodos constructivos son sólidas, los métodos constructivos son cada vez más interesantes por motivos no ideológicos. Por ejemplo, las pruebas constructivas en el análisis pueden garantizar la extracción de testigos, de tal manera que trabajar dentro de las limitaciones de los métodos constructivos puede hacer que encontrar testigos de las teorías sea más fácil que utilizar los métodos clásicos. También se han encontrado aplicaciones para las matemáticas constructivas en los cálculos lambda mecanografiados , la teoría del topos y la lógica categórica , que son materias notables en matemáticas fundamentales e informática . En álgebra, para entidades como topoi y álgebras de Hopf , la estructura sustenta un lenguaje interno que es una teoría constructiva; trabajar dentro de las limitaciones de ese lenguaje es a menudo más intuitivo y flexible que trabajar externamente por medios como el razonamiento sobre el conjunto de posibles álgebras concretas y sus homomorfismos .
El físico Lee Smolin escribe en Three Roads to Quantum Gravity que la teoría del topos es "la forma correcta de lógica para la cosmología" (página 30) y "En sus primeras formas se la llamó 'lógica intuicionista'" (página 31). "En este tipo de lógica, las afirmaciones que un observador puede hacer sobre el universo se dividen en al menos tres grupos: aquellas que podemos juzgar como verdaderas, aquellas que podemos juzgar como falsas y aquellas cuya verdad no podemos decidir en un momento determinado. la actualidad" (página 28).
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