Secuencia de elección

En matemáticas intuicionistas , una secuencia de elección es una formulación constructiva de una secuencia . Dado que la escuela intuicionista de matemáticas, tal como la formuló LEJ Brouwer , rechaza la idea de un infinito completo , para poder utilizar una secuencia (que es, en matemáticas clásicas, un objeto infinito), debemos tener una formulación de un objeto finito y construible. Objeto que puede servir para el mismo propósito que una secuencia. Así, Brouwer formuló la secuencia de elección, que se da como una construcción, más que como un objeto abstracto e infinito. ^[1]

Secuencias legales y sin ley

Se hace una distinción entre secuencias sin ley y secuencias que se ajustan a la ley . ^[2] Una secuencia parecida a una ley es aquella que se puede describir completamente; es una construcción completa, que se puede describir completamente. Por ejemplo, los números naturales pueden considerarse como una secuencia similar a una ley: la secuencia puede describirse de manera completamente constructiva mediante el elemento único 0 y una función sucesora . Dada esta formulación, sabemos que el enésimo elemento de la secuencia de números naturales será el número . De manera similar, una función que mapea números naturales a números naturales determina efectivamente el valor de cualquier argumento que tome y, por lo tanto, describe una secuencia similar a una ley. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i-1}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N} }$

Una secuencia sin ley (también libre ), por otra parte, es aquella que no está predeterminada. Debe considerarse como un procedimiento para generar valores para los argumentos 0, 1, 2, .... Es decir, una secuencia sin ley es un procedimiento para generar , , ... (los elementos de la secuencia ) tales que : ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$

• En cualquier momento dado de construcción de la secuencia , sólo se conoce un segmento inicial de la secuencia y no se imponen restricciones a los valores futuros de ; y ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$
• Se puede especificar, de antemano, un segmento inicial de . ${\displaystyle \langle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$

Tenga en cuenta que el primer punto anterior es ligeramente engañoso, ya que podemos especificar, por ejemplo, que los valores de una secuencia se extraigan exclusivamente del conjunto de números naturales; podemos especificar, a priori , el rango de la secuencia.

El ejemplo canónico de una secuencia sin ley es la serie de tiradas de un dado . Especificamos qué dado usar y, opcionalmente, especificamos de antemano los valores de las primeras tiradas (para ). Además, restringimos los valores de la secuencia para que estén en el conjunto . Esta especificación comprende el procedimiento para generar la secuencia sin ley en cuestión. Entonces, en ningún momento se conoce ningún valor futuro particular de la secuencia. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$

Axiomatización

Hay dos axiomas en particular que esperamos que se cumplan sobre las secuencias de elección como se describió anteriormente. Denotemos la relación "la secuencia comienza con la secuencia inicial " para la secuencia de elección y el segmento finito (más específicamente, probablemente será un número entero que codifica una secuencia inicial finita). ${\displaystyle \alpha \in n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Esperamos que lo siguiente, llamado el axioma de los datos abiertos , se cumpla para todas las secuencias sin ley:

$${\displaystyle A(\alpha )\rightarrow \exists n[\alpha \in n\,\land \,\forall \beta \in n[A(\beta )]]}$$

predicado de un solo lugarprocedimiento ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle A(\alpha )}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \beta }$

Se requiere otro axioma para las secuencias sin ley. El axioma de densidad , dado por:

$${\displaystyle \forall n\,\exists \alpha [\alpha \in n]}$$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$

Ver también

• Constructivismo (filosofía de las matemáticas)  : punto de vista matemático de que las pruebas de existencia deben ser constructivas

Notas

1. Troelstra 1982.
2. Linnebo y Shapiro 2020, pag. 3.

Referencias

• Dummett, Michael (1977). Elementos del intuicionismo . Prensa de la Universidad de Oxford.

• Cuatroman, Michael P. (1982). "Nociones de secuencia de elección" (PDF) . Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas . 110 : 91-105. doi :10.1016/S0049-237X(09)70125-9. ISBN 9780444864949.

• Jacquette, Dale (2002). Un compañero de la lógica filosófica . Publicación Blackwell. pag. 517.ISBN​ 9780631216711.

• Kreisel, Georg (1958). "Un comentario sobre las secuencias de libre elección y las pruebas de completitud topológica". Revista de Lógica Simbólica . 23 (4): 369–388. doi :10.2307/2964012. JSTOR  2964012.

• Linnebo, Øystein ; Shapiro, Stewart (23 de septiembre de 2020). "Secuencias de elección: un análisis modal y clásico" (PDF) . Universidad de Oslo y Universidad Estatal de Ohio . Consultado el 14 de abril de 2022 .

• Troelstra, Anne Sjerp (1977). Secuencias de elección. Un capítulo de matemáticas intuicionistas . Prensa de Clarendon.

• Troelstra, Anne Sjerp (1982). "Sobre el origen y desarrollo del concepto de secuencia de elección de Brouwer". Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas . 110 : 465–486. doi :10.1016/S0049-237X(09)70145-4. ISBN 9780444864949.

• Troelstra, Anne Sjerp (1983). "Análisis de secuencias de elección". Revista de Lógica Filosófica . 12 (2): 197–260. doi :10.1007/BF00247189. S2CID  26373820.

• Troelstra, Anne Sjerp ; Van Dalen, Dirk (1988a). Constructivismo en matemáticas: introducción, volumen 1 . Ciencia Elsevier. ISBN 9780444702661.

• Troelstra, Anne Sjerp ; Van Dalen, Dirk (1988b). Constructivismo en matemáticas: introducción, volumen 2 . Ciencia Elsevier. ISBN 9780444703583.