Este artículo brinda algunos antecedentes muy generales sobre la idea matemática de topos . Este es un aspecto de la teoría de categorías y tiene fama de ser abstruso. El nivel de abstracción involucrado no puede reducirse más allá de cierto punto; pero por otro lado se puede dar contexto. Esto se debe en parte a términos de desarrollo histórico, pero también, hasta cierto punto, a una explicación de las diferentes actitudes hacia la teoría de categorías. [ cita necesaria ]
Durante la última parte de la década de 1950, se estaban reescribiendo los fundamentos de la geometría algebraica ; y es aquí donde se encuentran los orígenes del concepto de topos . En aquella época las conjeturas de Weil fueron una destacada motivación para la investigación. Como ahora sabemos, el camino hacia su prueba y otros avances pasa por la construcción de la cohomología étale .
En retrospectiva, se puede decir que la geometría algebraica había estado luchando con dos problemas durante mucho tiempo. La primera tenía que ver con sus puntos : en los días de la geometría proyectiva estaba claro que la ausencia de puntos "suficientes" en una variedad algebraica era una barrera para tener una buena teoría geométrica (en la que era algo así como una variedad compacta ). ). También estaba la dificultad, que quedó clara tan pronto como la topología tomó forma en la primera mitad del siglo XX, de que la topología de las variedades algebraicas tenía "demasiado pocos" conjuntos abiertos.
La cuestión de los puntos estaba cerca de resolverse en 1950; Alexander Grothendieck dio un paso radical (invocando el lema de Yoneda ) que lo eliminó, naturalmente a un costo: que cada variedad o esquema más general debería convertirse en un functor . Sin embargo , no fue posible agregar conjuntos abiertos. El camino a seguir era otro.
La definición de topos apareció por primera vez de manera un tanto indirecta, alrededor de 1960. Se consideraron los problemas generales de la llamada " descendencia " en geometría algebraica, en el mismo período en que el grupo fundamental se generalizó al entorno de la geometría algebraica (como un grupo profinito). ). A la luz de trabajos posteriores (c. 1970), el "descenso" es parte de la teoría de las comonadas ; Aquí podemos ver una manera en que la escuela de Grothendieck se bifurca en su enfoque de los teóricos de las categorías "puras", un tema que es importante para la comprensión de cómo se trató más tarde el concepto de topos.
Quizás había una ruta más directa disponible: el concepto de categoría abeliana había sido introducido por Grothendieck en su trabajo fundacional sobre álgebra homológica , para unificar categorías de haces de grupos abelianos y de módulos . Se supone que una categoría abeliana está cerrada bajo ciertas operaciones de la teoría de categorías; al utilizar este tipo de definición uno puede centrarse completamente en la estructura, sin decir nada en absoluto sobre la naturaleza de los objetos involucrados. Este tipo de definición se remonta, en una línea, al concepto de red de los años treinta. Era posible plantear, alrededor de 1957, una caracterización puramente teórica de categorías de haces de conjuntos , habiendo sido subsumido el caso de haces de grupos abelianos por el trabajo de Grothendieck (el artículo de Tôhoku ).
Esta definición de topos fue finalmente dada cinco años después, alrededor de 1962, por Grothendieck y Verdier (ver el seminario de Nicolas Bourbaki Analysis Situs de Verdier ). La caracterización fue mediante categorías 'con bastantes colimits ', y aplicada a lo que ahora se llama un topos de Grothendieck . La teoría se completó estableciendo que un topos de Grothendieck era una categoría de gavillas, donde ahora la palabra gavilla había adquirido un significado extendido, ya que involucraba una topología de Grothendieck .
La idea de una topología de Grothendieck (también conocida como sitio ) ha sido caracterizada por John Tate como un atrevido juego de palabras con los dos sentidos de la superficie de Riemann . [ cita necesaria ] Técnicamente hablando, permitió la construcción de la buscada cohomología étale (así como otras teorías refinadas como la cohomología plana y la cohomología cristalina ). En ese momento, alrededor de 1964, los avances impulsados por la geometría algebraica habían seguido en gran medida su curso. La discusión sobre el 'conjunto abierto' se había resumido efectivamente en la conclusión de que las variedades tenían un sitio suficientemente rico de conjuntos abiertos en cubiertas no ramificadas de sus conjuntos abiertos (ordinarios) de Zariski .
La definición actual de topos se remonta a William Lawvere y Myles Tierney . Si bien el momento es muy similar al descrito anteriormente, como cuestión histórica, la actitud es diferente y la definición es más inclusiva. Es decir, hay ejemplos de topos que no son un topos de Grothendieck . Es más, estos pueden ser de interés para varias disciplinas lógicas .
La definición de Lawvere y Tierney destaca el papel central en la teoría del topos del clasificador de subobjetos . En la categoría habitual de conjuntos, este es el conjunto de dos elementos de valores de verdad booleanos , verdadero y falso . Es casi tautólogo decir que los subconjuntos de un conjunto dado X son iguales (tan buenos como) las funciones en X para cualquier conjunto de dos elementos dado: fijar el 'primer' elemento y hacer que un subconjunto Y corresponda a la función envía Y allí y su complemento en X al otro elemento.
Ahora se pueden encontrar clasificadores de subobjetos en la teoría de gavillas . Aún tautológicamente, aunque ciertamente de manera más abstracta , para un espacio topológico X hay una descripción directa de un haz en X que desempeña el papel con respecto a todos los haces de conjuntos en X. Su conjunto de secciones sobre un conjunto abierto U de X es simplemente el conjunto de subconjuntos abiertos de U. El espacio asociado a una gavilla , por ello, es más difícil de describir.
Por lo tanto, Lawvere y Tierney formularon axiomas para un topos que suponía un clasificador de subobjetos y algunas condiciones límite ( al menos para hacer una categoría cartesiana cerrada ). Durante un tiempo, esta noción de topos se denominó "topos elemental".
Una vez que se formuló la idea de una conexión con la lógica, hubo varios desarrollos que "probaron" la nueva teoría:
Hubo cierta ironía en que al impulsar el programa de largo alcance de David Hilbert se encontrara un hogar natural para las ideas centrales de la lógica intuicionista : Hilbert había detestado la escuela de LEJ Brouwer . La existencia como existencia "local" en el sentido de la teoría de la gavilla, que ahora se conoce con el nombre de semántica de Kripke-Joyal , es una buena combinación. Por otro lado, los largos esfuerzos de Brouwer sobre las "especies", como llamó a la teoría intuicionista de los reales, presumiblemente están de alguna manera subsumidos y privados de un estatus más allá de lo histórico. Hay una teoría de los números reales en cada topos, por lo que nadie domina la teoría intuicionista.
El trabajo posterior sobre cohomología étale ha tendido a sugerir que no se requiere la teoría del topos general completa. Por otro lado, se utilizan otros sitios y el topos de Grothendieck ha ocupado su lugar dentro del álgebra homológica.
El programa de Lawvere debía escribir lógica de orden superior en términos de teoría de categorías. Que esto se puede hacer limpiamente lo demuestra el tratamiento del libro de Joachim Lambek y PJ Scott. Lo que resulta es esencialmente una teoría intuicionista (es decir, lógica constructiva ), cuyo contenido queda aclarado por la existencia de un topos libre . Se trata de una teoría de conjuntos, en un sentido amplio, pero también algo que pertenece al ámbito de la sintaxis pura . La estructura de su clasificador de subobjetos es la de un álgebra de Heyting . Para obtener una teoría de conjuntos más clásica, se pueden observar topos en los que además es un álgebra booleana , o especializarse aún más en aquellos con solo dos valores de verdad. En ese libro se habla de matemáticas constructivas ; pero, de hecho, esto puede leerse como informática fundamental (que no se menciona). Si uno quiere discutir operaciones de la teoría de conjuntos, como la formación de la imagen (rango) de una función, se garantiza que un topos podrá expresar esto de manera totalmente constructiva.
También produjo una derivación más accesible en la topología sin sentido , donde el concepto de localidad aísla algunas ideas encontradas al tratar a los topos como un desarrollo significativo del espacio topológico . El lema es "los puntos vienen después": esto cierra el círculo del debate en esta página. El punto de vista está recogido en Stone Spaces de Peter Johnstone , que un líder en el campo de la informática ha llamado "un tratado sobre extensionalidad ". Lo extensional se trata en matemáticas como algo ambiental: no es algo sobre lo que los matemáticos realmente esperan tener una teoría. Quizás esta sea la razón por la que la teoría del topos ha sido tratada como una rareza; va más allá de lo que permite la forma de pensar tradicionalmente geométrica. Las necesidades de teorías completamente intensionales, como el cálculo lambda sin tipo , se han satisfecho en la semántica denotacional . La teoría del Topos ha parecido durante mucho tiempo una posible "teoría maestra" en este ámbito.
El concepto de topos surgió en la geometría algebraica, como consecuencia de combinar el concepto de gavilla y cierre bajo operaciones categóricas . Desempeña un cierto papel definido en las teorías de cohomología. Una 'aplicación asesina' es la cohomología étale .
Los desarrollos posteriores asociados con la lógica son más interdisciplinarios. Incluyen ejemplos basados en la teoría de la homotopía ( clasificación de topos ). Implican vínculos entre la teoría de categorías y la lógica matemática, y también (como una discusión organizacional de alto nivel) entre la teoría de categorías y la informática teórica basada en la teoría de tipos . Si se acepta la visión general de Saunders Mac Lane sobre la ubicuidad de los conceptos, esto les da un estatus definido. Olivia Caramello fue pionera en el uso de topos como puentes unificadores en matemáticas en su libro de 2017. [1]