En teoría de categorías , un clasificador de subobjetos es un objeto especial Ω de una categoría tal que, intuitivamente, los subobjetos de cualquier objeto X en la categoría corresponden a los morfismos de X a Ω. En ejemplos típicos, ese morfismo asigna "verdadero" a los elementos del subobjeto y "falso" a los otros elementos de X. Por lo tanto, un clasificador de subobjeto también se conoce como "objeto de valor de verdad" y el concepto se usa ampliamente en el descripción categórica de la lógica. Sin embargo, tenga en cuenta que los clasificadores de subobjetos suelen ser mucho más complicados que los valores de verdad de lógica binaria simple {verdadero, falso}.
A modo de ejemplo, el conjunto Ω = {0,1} es un clasificador de subobjetos en la categoría de conjuntos y funciones: a cada subconjunto A de S definido por la función de inclusión j : A → S podemos asignarle la función χ A de S a Ω que asigna precisamente los elementos de A a 1 (ver función característica ). Cada función de S a Ω surge de esta manera precisamente de un subconjunto A.
Para ser más claro, considere un subconjunto A de S ( A ⊆ S ), donde S es un conjunto. La noción de ser un subconjunto se puede expresar matemáticamente utilizando la llamada función característica χ A : S → {0,1}, que se define de la siguiente manera:
(Aquí interpretamos 1 como verdadero y 0 como falso). La función de la función característica es determinar qué elementos pertenecen al subconjunto A. De hecho, χ A es cierta precisamente sobre los elementos de A.
De esta manera, la colección de todos los subconjuntos de S y la colección de todas las aplicaciones desde S hasta Ω = {0,1} son isomorfas .
Para categorizar esta noción, recordemos que, en la teoría de categorías, un subobjeto es en realidad un par que consta de un objeto y una flecha mónica (interpretada como la inclusión en otro objeto). En consecuencia, verdadero se refiere al elemento 1, que se selecciona con la flecha: verdadero : {0} → {0, 1} que asigna 0 a 1. El subconjunto A de S ahora se puede definir como el retroceso de verdadero a lo largo de la característica función χ A , que se muestra en el siguiente diagrama:
Definido de esa manera, χ es un morfismo Sub C ( S ) → Hom C (S, Ω). Por definición, Ω es un clasificador de subobjetos si este morfismo es un isomorfismo.
Para la definición general, comenzamos con una categoría C que tiene un objeto terminal , que denotamos por 1. El objeto Ω de C es un clasificador de subobjeto para C si existe un morfismo.
con la siguiente propiedad:
El morfismo χ j se denomina entonces morfismo de clasificación para el subobjeto representado por j .
La categoría de haces de conjuntos en un espacio topológico X tiene un clasificador de subobjetos Ω que se puede describir de la siguiente manera: Para cualquier conjunto abierto U de X , Ω( U ) es el conjunto de todos los subconjuntos abiertos de U. El objeto terminal es la gavilla 1 que asigna el singleton {*} a cada conjunto abierto U de X. El morfismo η:1 → Ω viene dado por la familia de aplicaciones η U : 1( U ) → Ω( U ) definida por η U (*)= U para todo conjunto abierto U de X . Dada una gavilla F en X y una subgavilla j : G → F , el morfismo de clasificación χ j : F → Ω viene dado por la familia de aplicaciones χ j,U : F ( U ) → Ω( U ), donde χ j,U ( x ) es la unión de todos los conjuntos abiertos V de U tales que la restricción de x a V (en el sentido de gavillas) está contenida en j V ( G ( V )).
En términos generales, una afirmación dentro de este topos es variablemente verdadera o falsa, y su valor de verdad desde el punto de vista de un subconjunto abierto U es el subconjunto abierto de U donde la afirmación es verdadera.
Dada una categoría pequeña , la categoría de presheaves (es decir, la categoría de functor que consta de todos los funtores contravariantes de a ) tiene un clasificador de subobjeto dado por el funtor que envía any al conjunto de tamices en . Los morfismos de clasificación se construyen de manera bastante similar a los del ejemplo anterior de haces de conjuntos.
Ambos ejemplos anteriores están subsumidos por el siguiente hecho general: todo topos elemental , definido como una categoría con límites finitos y objetos de poder , necesariamente tiene un clasificador de subobjetos. [1] Los dos ejemplos anteriores son topoi de Grothendieck , y cada topo de Grothendieck es un topo elemental.
Un cuasitopos tiene un objeto que es casi un clasificador de subobjetos; sólo clasifica subobjetos fuertes.
