En matemáticas , la idea de descendencia amplía la idea intuitiva de "pegar" en la topología . Dado que el pegamento de los topólogos es el uso de relaciones de equivalencia en espacios topológicos , la teoría comienza con algunas ideas sobre identificación.
El caso de la construcción de haces vectoriales a partir de datos sobre una unión disjunta de espacios topológicos es un sencillo punto de partida.
Supongamos que X es un espacio topológico cubierto por conjuntos abiertos X i . Sea Y la unión disjunta de X i , de modo que exista un mapeo natural
Pensamos en Y como "arriba" de X , con la proyección Xi "abajo" sobre X. Con este lenguaje, la descendencia implica un paquete vectorial en Y (es decir, un paquete dado en cada X i ), y nuestra preocupación es "pegar" esos paquetes Vi , para hacer un solo paquete V en X. Lo que queremos decir es que V debería, cuando se restringe a X i , devolver Vi , hasta un isomorfismo del paquete.
Los datos necesarios son entonces estos: en cada superposición
intersección de X i y X j , requeriremos asignaciones
a utilizar para identificar V i y V j allí, fibra por fibra. Además, fij debe satisfacer condiciones basadas en las propiedades reflexivas, simétricas y transitivas de una relación de equivalencia (condiciones de pegado). Por ejemplo, la composición
para la transitividad (y elegir la notación adecuada). Los f ii deberían ser mapas de identidad y, por lo tanto, la simetría se convierte (de modo que es un isomorfismo a nivel de fibra).
De hecho, estas son condiciones estándar en la teoría de haces de fibras (ver mapa de transición ). Una aplicación importante a tener en cuenta es el cambio de fibra : si las fij son todo lo que necesita para hacer un paquete, entonces hay muchas maneras de hacer un paquete asociado . Es decir, podemos tomar esencialmente el mismo fij , actuando sobre varias fibras.
Otro punto importante es la relación con la regla de la cadena : la discusión sobre la forma de construir campos tensoriales se puede resumir como "una vez que aprendes a descender el paquete tangente , para lo cual la transitividad es la regla de la cadena jacobiana , el resto es simplemente". Naturalidad de las construcciones tensoriales.
Para acercarnos a la teoría abstracta necesitamos interpretar la unión disjunta de la
no fue
el producto de fibra (aquí un ecualizador ) de dos copias de la proyección p. Los paquetes en X ij que debemos controlar son V ′ y V ", los retrocesos a la fibra de V a través de los dos mapas de proyección diferentes a X.
Por lo tanto, al pasar a un nivel más abstracto se puede eliminar el lado combinatorio (es decir, omitir los índices) y obtener algo que tenga sentido para p y no para la forma especial de cobertura con la que comenzamos. Esto permite entonces un enfoque de la teoría de categorías : lo que queda por hacer es reexpresar las condiciones de pegado.
Las ideas se desarrollaron en el período 1955-1965 (que fue aproximadamente el momento en que se cumplieron los requisitos de la topología algebraica pero no los de la geometría algebraica ). Desde el punto de vista de la teoría de categorías abstractas , el trabajo de Comonadas de Beck fue un resumen de esas ideas; ver teorema de monadicidad de Beck .
Las dificultades de la geometría algebraica para pasar al cociente son agudas. La urgencia (para decirlo así) del problema para los geómetras explica el título del seminario TDTE de Grothendieck de 1959 sobre teoremas de descenso y técnicas de existencia (ver FGA ) que conecta la cuestión de descenso con la cuestión del funtor representable en geometría algebraica en en general y el problema de los módulos en particular.
Dejar . Cada gavilla F sobre X da lugar a datos de descendencia:
donde satisface la condición de cociclo: [1]
El descenso plenamente fiel dice: es plenamente fiel. La teoría del descenso indica las condiciones para las cuales existe un descenso plenamente fiel.
Otras posibles fuentes incluyen:
