Intuitivamente hablando, los puntos de cada clase de equivalencia se identifican o "pegan" para formar un nuevo espacio topológico. Por ejemplo, identificar los puntos de una esfera que pertenecen al mismo diámetro produce el plano proyectivo como un espacio cociente.
La construcción de define una sobreyección canónica , como se analiza a continuación, es un mapeo de cociente, comúnmente llamado mapa de cociente canónico, o mapa de proyección canónica, asociado a
El espacio cociente inferior es el conjunto equipado con la topología del cociente , cuyos conjuntos abiertos son aquellos subconjuntos cuya preimagen es abierta . En otras palabras, está abierto en la topología del cociente si y sólo si está abierto en De manera similar, un subconjunto está cerrado si y sólo si está cerrado en
La topología del cociente es la topología final del conjunto del cociente, con respecto al mapa.
mapa de cociente
Un mapa es un mapa cociente (a veces llamado mapa de identificación [1] ) si es sobreyectivo y está equipado con la topología final inducida por. Esta última condición admite dos formulaciones más elementales: un subconjunto es abierto (cerrado) si y sólo si está abierto (o cerrado). Todo mapa de cocientes es continuo, pero no todo mapa continuo es un mapa de cocientes.
Conjuntos saturados
Un subconjunto de se llama saturado (con respecto a ) si tiene la forma de algún conjunto que es verdadero si y sólo si
La asignación establece una correspondencia uno a uno (cuya inversa es ) entre subconjuntos de y subconjuntos saturados de
Con Según esta terminología, una sobreyección es una aplicación de cociente si y solo si para cada subconjunto saturado de está abierto en si y solo si está abierto en
En particular, los subconjuntos abiertos de que no están saturados no tienen ningún impacto sobre si la función es una aplicación de cociente ( o, de hecho, continua: una función es continua si y sólo si, para cada tal saturado que está abierto en , el conjunto es abierto en ).
De hecho, si es una topología en y es cualquier mapa, entonces el conjunto de todos los subconjuntos saturados de forma una topología en Si también es un espacio topológico entonces es un mapa cociente (respectivamente, continuo ) si y sólo si lo mismo es cierto de
Caracterización del cociente espacial de fibras.
Dada una relación de equivalencia, on denota la clase de equivalencia de un punto por y let denota el conjunto de clases de equivalencia. El mapa que envía puntos a sus clases de equivalencia (es decir, está definido por para cada ) se llama mapa canónico . Es un mapa sobreyectivo y para todos si y sólo si en consecuencia, para todos En particular, esto muestra que el conjunto de clases de equivalencia es exactamente el conjunto de fibras del mapa canónico
Si es un espacio topológico entonces dando la topología del cociente inducido por la voluntad conviértalo en un espacio cociente y conviértalo en un mapa cociente. Hasta un homeomorfismo , esta construcción es representativa de todos los espacios cocientes; Ahora se explica el significado preciso de esto.
Sea una sobreyección entre espacios topológicos (aún no se supone que sea continuo o un mapa de cociente) y declare para todo eso si y solo si Entonces es una relación de equivalencia tal que para cada lo que implica que (definido por ) es un conjunto singleton ; denota el elemento único en por (por definición, ). La asignación define una biyección entre las fibras de y los puntos en
Defina el mapa como arriba (por ) y proporcione la topología del cociente inducida por (lo que forma un mapa de cocientes). Estos mapas están relacionados por:
De esto y del hecho de que es un mapa cociente, se deduce que es continuo si y sólo si esto es cierto de Además, es un mapa cociente si y sólo si es un homeomorfismo (o equivalentemente, si y sólo si ambos y su inversa son continuos).
Definiciones relacionadas
AEl mapa de cociente hereditario es un mapa sobreyectivocon la propiedad de que para cada subconjuntola restriccióntambién es un mapa de cociente. Existen mapas de cocientes que no son cocientes hereditarios.
Ejemplos
Pegado . Los topólogos hablan de unir puntos. If es un espacio topológico, pegar los puntos e in significa considerar el espacio cociente obtenido de la relación de equivalencia si y sólo si o (o ).
Considere el cuadrado unitario y la relación de equivalencia ~ generada por el requisito de que todos los puntos límite sean equivalentes, identificando así todos los puntos límite en una sola clase de equivalencia. Entonces es homeomorfo a la esfera.
Espacio de conjunción . De manera más general, supongamosque es un espacio yun subespacio deUno. Se pueden identificar todos los puntos enuna única clase de equivalencia y dejar los puntos fuera delequivalente solo para ellos mismos. El espacio cociente resultante se denota.La 2-esfera es entonces homeomorfa a un disco cerrado con su límite identificado en un solo punto:
Una generalización del ejemplo anterior es la siguiente: Supongamos que un grupo topológico actúa continuamente en un espacio. Se puede formar una relación de equivalencia diciendo que los puntos son equivalentes si y sólo si se encuentran en la misma órbita . El espacio cociente bajo esta relación se llama espacio de órbita , denotado en el ejemplo anterior que actúa por traslación. El espacio orbital es homeomorfo a
Nota : La notación es algo ambigua. Si se entiende que es un grupo que actúa mediante la suma, entonces el cociente es el círculo. Sin embargo, si se piensa como un subespacio topológico de (que se identifica como un solo punto), entonces el cociente (que es identificable con el conjunto ) es un conjunto infinitamente numerable de círculos unidos en un solo punto.
El siguiente ejemplo muestra que, en general, no es cierto que si es un mapa cociente, entonces cada secuencia convergente (respectivamente, cada red convergente ) en tiene una elevación (por ) a una secuencia convergente (o red convergente ) en Let y Let y let. ser el mapa cociente para que y para cada El mapa definido por está bien definido (porque ) y un homeomorfismo . Sea y sea cualquier secuencia (o más generalmente, cualquier red) valorada en tal que en Entonces la secuencia converge a en pero no existe ninguna elevación convergente de esta secuencia por el mapa del cociente (es decir, no hay ninguna secuencia en ese ambos convergen a algunos y satisfacen a todos ). Este contraejemplo se puede generalizar a redes dejando ser cualquier conjunto dirigido y convirtiéndolo en una red declarando que para cualquier se cumple si y solo si tanto (1) como (2) si entonces la red indexada se define haciendo igual e igual a no tiene elevación (por ) a una red indexada convergente en
Propiedades
Los mapas de cocientes se caracterizan entre los mapas sobreyectivos por la siguiente propiedad: si es cualquier espacio topológico y es cualquier función, entonces es continuo si y solo si es continuo.
El espacio cociente junto con el mapa cociente se caracteriza por la siguiente propiedad universal : si es un mapa continuo tal que implica para todos entonces existe un mapa continuo único tal que En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta:
Se dice que desciende al cociente para expresar esto, es decir que se factoriza a través del espacio del cociente. Los mapas continuos definidos en son, por tanto, precisamente aquellos mapas que surgen de mapas continuos definidos en que respetan la relación de equivalencia (en el sentido de que envían elementos equivalentes a la misma imagen). Este criterio se utiliza abundantemente al estudiar espacios cocientes.
Dada una sobreyección continua, es útil tener criterios mediante los cuales se pueda determinar si es un mapa de cocientes. Dos criterios suficientes son que sea abierto o cerrado . Tenga en cuenta que estas condiciones sólo son suficientes , no necesarias . Es fácil construir ejemplos de aplicaciones de cocientes que no sean ni abiertas ni cerradas. Para grupos topológicos, el mapa de cocientes está abierto.
En general, los espacios cocientes se comportan mal con respecto a los axiomas de separación. Las propiedades de separación de no necesitan ser heredadas y pueden tener propiedades de separación no compartidas por
es un espacio T1 si y sólo si cada clase de equivalencia de está cerrada en
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