Módulo de convergencia

Término matemático

En el análisis real , una rama de las matemáticas , un módulo de convergencia es una función que indica la rapidez con la que converge una secuencia convergente . Estos módulos se emplean a menudo en el estudio del análisis computable y las matemáticas constructivas .

Si una secuencia de números reales converge a un número real , entonces, por definición, para cada real existe un número natural tal que si entonces . Un módulo de convergencia es esencialmente una función que, dado , devuelve un valor correspondiente de . ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i>N}$ ${\displaystyle \left|x-x_{i}\right|<\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$

Definición

Supongamos que es una sucesión convergente de números reales con límite . Hay dos formas de definir un módulo de convergencia como función de números naturales a números naturales: ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x}$

• Como una función tal que para todo , si entonces . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i>f(n)}$ ${\displaystyle \left|x-x_{i}\right|<1/n}$
• Como una función tal que para todo , si entonces . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i\geq j>g(n)}$ ${\displaystyle \left|x_{i}-x_{j}\right|<1/n}$

La última definición se emplea a menudo en contextos constructivos, donde el límite puede identificarse en realidad con la secuencia convergente. Algunos autores utilizan una definición alternativa que reemplaza por . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle 2^{-n}}$

Véase también

• Módulo de continuidad

Referencias

• Klaus Weihrauch (2000), Análisis computable .