conjunto aproximado

Aproximación de un conjunto matemático

En informática , un conjunto aproximado , descrito por primera vez por el informático polaco Zdzisław I. Pawlak , es una aproximación formal de un conjunto nítido (es decir, un conjunto convencional) en términos de un par de conjuntos que dan la aproximación inferior y superior de la conjunto original. En la versión estándar de la teoría aproximada de conjuntos (Pawlak 1991), los conjuntos de aproximación inferior y superior son conjuntos nítidos, pero en otras variaciones, los conjuntos de aproximación pueden ser conjuntos difusos .

Definiciones

La siguiente sección contiene una descripción general del marco básico de la teoría aproximada de conjuntos, tal como lo propuso originalmente Zdzisław I. Pawlak , junto con algunas de las definiciones clave. Se pueden encontrar propiedades más formales y límites de conjuntos aproximados en Pawlak (1991) y en las referencias citadas. La teoría inicial y básica de los conjuntos aproximados a veces se denomina "Conjuntos aproximados de Pawlak" o "conjuntos aproximados clásicos" , como un medio para distinguirla de extensiones y generalizaciones más recientes.

Marco del sistema de información

Sea un sistema de información ( sistema atributo-valor ), donde es un conjunto finito y no vacío de objetos (el universo) y es un conjunto finito y no vacío de atributos tal que para cada . es el conjunto de valores que puede tomar ese atributo. La tabla de información asigna un valor a cada atributo y objeto del universo . ${\displaystyle I=(\mathbb {U} ,\mathbb {A} )}$ ${\displaystyle \mathbb {U} }$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle I:\mathbb {U} \rightarrow V_{a}}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {A} }$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {U} }$

Con cualquiera existe una relación de equivalencia asociada : ${\displaystyle P\subseteq \mathbb {A} }$ ${\displaystyle \mathrm {IND} (P)}$

${\displaystyle \mathrm {IND} (P)=\left\{(x,y)\in \mathbb {U} ^{2}\mid \forall a\in P,a(x)=a(y)\right\}}$

La relación se llama relación de indiscernibilidad . La partición de es una familia de todas las clases de equivalencia de y se denota por (o ). ${\displaystyle \mathrm {IND} (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {U} }$ ${\displaystyle \mathrm {IND} (P)}$ ${\displaystyle \mathbb {U} /\mathrm {IND} (P)}$ ${\displaystyle \mathbb {U} /P}$

Si , entonces y son indiscernibles (o indistinguibles) por los atributos de . ${\displaystyle (x,y)\in \mathrm {IND} (P)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P}$

Se denotan las clases de equivalencia de la relación de indiscernibilidad . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$

Ejemplo: estructura de clases de equivalencia

Por ejemplo, considere la siguiente tabla de información:

Cuando se considera el conjunto completo de atributos , vemos que tenemos las siguientes siete clases de equivalencia: ${\displaystyle P=\{P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\{O_{1},O_{2}\}\\\{O_{3},O_{7},O_{10}\}\\\{O_{4}\}\\\{O_{5}\}\\\{O_{6}\}\\\{O_{8}\}\\\{O_{9}\}\end{cases}}}$

Por lo tanto, los dos objetos dentro de la primera clase de equivalencia, no se pueden distinguir entre sí según los atributos disponibles, y los tres objetos dentro de la segunda clase de equivalencia, no se pueden distinguir entre sí según los atributos disponibles. Los cinco objetos restantes son discernibles de todos los demás objetos. ${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}}$ ${\displaystyle \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$

Es evidente que diferentes selecciones de subconjuntos de atributos conducirán en general a diferentes clases de indiscernibilidad. Por ejemplo, si se selecciona el atributo solo, obtenemos la siguiente estructura de clases de equivalencia, mucho más burda: ${\displaystyle P=\{P_{1}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\{O_{1},O_{2}\}\\\{O_{3},O_{5},O_{7},O_{9},O_{10}\}\\\{O_{4},O_{6},O_{8}\}\end{cases}}}$

Definición de un conjunto aproximado

Sea un conjunto de objetivos que deseamos representar utilizando el subconjunto de atributos ; es decir, se nos dice que un conjunto arbitrario de objetos comprende una única clase y deseamos expresar esta clase (es decir, este subconjunto) utilizando las clases de equivalencia inducidas por el atributo subconjunto . En general, no se puede expresar exactamente porque el conjunto puede incluir y excluir objetos que son indistinguibles según sus atributos . ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {U} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

Por ejemplo, considere el conjunto de objetivos y deje que el subconjunto de atributos sea el conjunto completo de funciones disponibles. El conjunto no se puede expresar exactamente, porque en , los objetos son indiscernibles. Por tanto, no hay forma de representar ningún conjunto que incluya pero excluya objetos y . ${\displaystyle X=\{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}}$ ${\displaystyle P=\{P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [x]_{P},}$ ${\displaystyle \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O_{3}}$ ${\displaystyle O_{7}}$ ${\displaystyle O_{10}}$

Sin embargo, el conjunto de objetivos se puede aproximar utilizando solo la información contenida en él mediante la construcción de las aproximaciones inferior y superior de : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\underline {P}}X=\{x\mid [x]_{P}\subseteq X\}}$

${\displaystyle {\overline {P}}X=\{x\mid [x]_{P}\cap X\neq \emptyset \}}$

Aproximación inferior y región positiva.

La aproximación inferior , o región positiva , es la unión de todas las clases de equivalencia que están contenidas en (es decir, son subconjuntos de) el conjunto objetivo; en el ejemplo, la unión de las dos clases de equivalencia que están contenidas en el conjunto de objetivos. La aproximación inferior es el conjunto completo de objetos que pueden clasificarse positivamente (es decir, sin ambigüedades) como pertenecientes al conjunto objetivo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$ ${\displaystyle {\underline {P}}X=\{O_{1},O_{2}\}\cup \{O_{4}\}}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} /P}$ ${\displaystyle X}$

Aproximación superior y región negativa.

La aproximación superior es la unión de todas las clases de equivalencia que tienen una intersección no vacía con el conjunto de objetivos; en el ejemplo, la unión de las tres clases de equivalencia que tienen una intersección no vacía con el conjunto de objetivos. La aproximación superior es el conjunto completo de objetos que no pueden clasificarse positivamente (es decir, sin ambigüedades) como pertenecientes al complemento ( ) del conjunto objetivo . En otras palabras, la aproximación superior es el conjunto completo de objetos que posiblemente sean miembros del conjunto objetivo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}X=\{O_{1},O_{2}\}\cup \{O_{4}\}\cup \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} /P}$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Por lo tanto, el conjunto representa la región negativa , que contiene el conjunto de objetos que pueden descartarse definitivamente como miembros del conjunto objetivo. ${\displaystyle \mathbb {U} -{\overline {P}}X}$

Región fronteriza

La región límite , dada por la diferencia de conjuntos , consta de aquellos objetos que no pueden incluirse ni descartarse como miembros del conjunto objetivo . ${\displaystyle {\overline {P}}X-{\underline {P}}X}$ ${\displaystyle X}$

En resumen, la aproximación inferior de un conjunto objetivo es una aproximación conservadora que consta únicamente de aquellos objetos que pueden identificarse positivamente como miembros del conjunto. (Estos objetos no tienen "clones" indiscernibles que estén excluidos del conjunto de objetivos). La aproximación superior es una aproximación liberal que incluye todos los objetos que podrían ser miembros del conjunto de objetivos. (Algunos objetos en la aproximación superior pueden no ser miembros del conjunto objetivo). Desde la perspectiva de , la aproximación inferior contiene objetos que son miembros del conjunto objetivo con certeza (probabilidad = 1), mientras que la aproximación superior contiene objetos que son miembros del conjunto objetivo. miembros del conjunto objetivo con probabilidad distinta de cero (probabilidad > 0). ${\displaystyle \mathbb {U} /P}$

El conjunto aproximado

La tupla compuesta por la aproximación inferior y superior se denomina conjunto aproximado ; por lo tanto, un conjunto aproximado se compone de dos conjuntos nítidos, uno que representa un límite inferior del conjunto objetivo y el otro que representa un límite superior del conjunto objetivo . ${\displaystyle \langle {\underline {P}}X,{\overline {P}}X\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

La precisión de la representación aproximada del conjunto puede obtenerse (Pawlak 1991) de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \alpha _{P}(X)={\frac {\left|{\underline {P}}X\right|}{\left|{\overline {P}}X\right|}}}$

Es decir, la precisión de la representación del conjunto aproximado de , , , es la relación entre el número de objetos que se pueden colocar positivamente y el número de objetos que posiblemente se pueden colocar ; esto proporciona una medida de qué tan cerca está el conjunto aproximado. se aproxima al objetivo fijado. Claramente, cuando las aproximaciones superior e inferior son iguales (es decir, la región límite está vacía), entonces , y la aproximación es perfecta; en el otro extremo, siempre que la aproximación inferior esté vacía, la precisión es cero (independientemente del tamaño de la aproximación superior). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{P}(X)}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha _{P}(X)\leq 1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{P}(X)=1}$

Análisis objetivo

La teoría de conjuntos aproximados es uno de los muchos métodos que se pueden emplear para analizar sistemas inciertos (incluidos los vagos), aunque menos común que los métodos más tradicionales de probabilidad , estadística , entropía y teoría de Dempster-Shafer . Sin embargo, una diferencia clave, y una fortaleza única, del uso de la teoría clásica de conjuntos aproximados es que proporciona una forma objetiva de análisis (Pawlak et al. 1995). A diferencia de otros métodos, como los mencionados anteriormente, el análisis de conjuntos aproximado clásico no requiere información adicional, parámetros externos, modelos, funciones, grados o interpretaciones subjetivas para determinar la pertenencia al conjunto; en cambio, sólo utiliza la información presentada dentro de los datos dados (Düntsch y Gediga 1995). ). Adaptaciones más recientes de la teoría de conjuntos aproximados, como los conjuntos aproximados basados ​​en la dominancia, la teoría de la decisión y los conjuntos aproximados difusos, han introducido más subjetividad en el análisis.

Definibilidad

En general, las aproximaciones superior e inferior no son iguales; en tales casos, decimos que el conjunto de objetivos no es definible o se puede definir de manera aproximada en el conjunto de atributos . Cuando las aproximaciones superior e inferior son iguales (es decir, el límite está vacío), entonces el conjunto de objetivos se puede definir en el conjunto de atributos . Podemos distinguir los siguientes casos especiales de indefinibilidad: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {P}}X={\underline {P}}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

• El conjunto no se puede definir internamente si y . Esto significa que en el conjunto de atributos , no hay objetos que podamos estar seguros de que pertenecen al conjunto objetivo , pero hay objetos que podemos excluir definitivamente del conjunto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\underline {P}}X=\emptyset }$ ${\displaystyle {\overline {P}}X\neq \mathbb {U} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• El conjunto no se puede definir externamente si y . Esto significa que en el conjunto de atributos , hay objetos que podemos estar seguros de que pertenecen al conjunto objetivo , pero no hay objetos que podamos excluir definitivamente del conjunto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\underline {P}}X\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\overline {P}}X=\mathbb {U} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Set es totalmente indefinible si y . Esto significa que en el conjunto de atributos , no hay objetos que podamos estar seguros de que pertenecen al conjunto objetivo , y no hay objetos que podamos excluir definitivamente del conjunto . Por lo tanto, en el conjunto de atributos , no podemos decidir si algún objeto es o no miembro de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\underline {P}}X=\emptyset }$ ${\displaystyle {\overline {P}}X=\mathbb {U} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$

Reducir y núcleo

Una pregunta interesante es si hay atributos en el sistema de información (tabla atributo-valor) que sean más importantes que otros atributos para el conocimiento representado en la estructura de clases de equivalencia. A menudo nos preguntamos si existe un subconjunto de atributos que puedan, por sí solos, caracterizar completamente el conocimiento de la base de datos; un conjunto de atributos de este tipo se denomina reducción .

Formalmente, una reducción es un subconjunto de atributos tales que ${\displaystyle \mathrm {RED} \subseteq P}$

• ${\displaystyle [x]_{\mathrm {RED} }}$= , es decir, las clases de equivalencia inducidas por el conjunto de atributos reducido son las mismas que la estructura de clases de equivalencia inducida por el conjunto de atributos completo . ${\displaystyle [x]_{P}}$ ${\displaystyle \mathrm {RED} }$ ${\displaystyle P}$
• el conjunto de atributos es mínimo , en el sentido de que para cualquier atributo ; en otras palabras, ningún atributo puede eliminarse del conjunto sin cambiar las clases de equivalencia . ${\displaystyle \mathrm {RED} }$ ${\displaystyle [x]_{(\mathrm {RED} -\{a\})}\neq [x]_{P}}$ ${\displaystyle a\in \mathrm {RED} }$ ${\displaystyle \mathrm {RED} }$ ${\displaystyle [x]_{P}}$

Se puede considerar una reducción como un conjunto suficiente de características, es decir, suficiente para representar la estructura de categorías. En la tabla de ejemplo anterior, el conjunto de atributos es una reducción: el sistema de información proyectado solo sobre estos atributos posee la misma estructura de clases de equivalencia que la expresada por el conjunto de atributos completo: ${\displaystyle \{P_{3},P_{4},P_{5}\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\{O_{1},O_{2}\}\\\{O_{3},O_{7},O_{10}\}\\\{O_{4}\}\\\{O_{5}\}\\\{O_{6}\}\\\{O_{8}\}\\\{O_{9}\}\end{cases}}}$

El conjunto de atributos es una reducción porque la eliminación de cualquiera de estos atributos provoca un colapso de la estructura de clases de equivalencia, con el resultado de que . ${\displaystyle \{P_{3},P_{4},P_{5}\}}$ ${\displaystyle [x]_{\mathrm {RED} }\neq [x]_{P}}$

La reducción de un sistema de información no es única : puede haber muchos subconjuntos de atributos que preservan la estructura de clases de equivalencia (es decir, el conocimiento) expresada en el sistema de información. En el sistema de información de ejemplo anterior, otra reducción es , lo que produce la misma estructura de clases de equivalencia que . ${\displaystyle \{P_{1},P_{2},P_{5}\}}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$

El conjunto de atributos que es común a todos los reductos se llama núcleo : el núcleo es el conjunto de atributos que posee cada reducto y, por lo tanto, consta de atributos que no pueden eliminarse del sistema de información sin causar el colapso de la clase de equivalencia. estructura. El núcleo puede considerarse como el conjunto de atributos necesarios , es decir, necesarios para que se represente la estructura de categorías. En el ejemplo, el único atributo de este tipo es ; cualquiera de los otros atributos se puede eliminar individualmente sin dañar la estructura de clases de equivalencia y, por lo tanto, todos ellos son prescindibles . Sin embargo, la eliminación por sí sola cambia la estructura de clases de equivalencia y, por tanto, es el atributo indispensable de este sistema de información y, por tanto, el núcleo. ${\displaystyle \{P_{5}\}}$ ${\displaystyle \{P_{5}\}}$ ${\displaystyle \{P_{5}\}}$

Es posible que el núcleo esté vacío, lo que significa que no hay ningún atributo indispensable: cualquier atributo individual en dicho sistema de información puede eliminarse sin alterar la estructura de clases de equivalencia. En tales casos, no existe ningún atributo esencial o necesario que se requiera para representar la estructura de clases.

Dependencia de atributos

Uno de los aspectos más importantes del análisis de bases de datos o de la adquisición de datos es el descubrimiento de dependencias de atributos; es decir, deseamos descubrir qué variables están fuertemente relacionadas con qué otras variables. Generalmente, son estas fuertes relaciones las que justificarán una mayor investigación y las que, en última instancia, serán útiles en el modelado predictivo.

En la teoría aproximada de conjuntos, la noción de dependencia se define de manera muy simple. Tomemos dos conjuntos (separados) de atributos, set y set , y preguntemos qué grado de dependencia existe entre ellos. Cada conjunto de atributos induce una estructura de clases de equivalencia (indiscernibilidad), las clases de equivalencia inducidas por dada por y las clases de equivalencia inducidas por dada por . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [x]_{P}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle [x]_{Q}}$

Sea , ¿dónde está una clase de equivalencia dada a partir de la estructura de clases de equivalencia inducida por el conjunto de atributos ? Entonces, la dependencia del conjunto de atributos respecto del conjunto de atributos , está dada por ${\displaystyle [x]_{Q}=\{Q_{1},Q_{2},Q_{3},\dots ,Q_{N}\}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \gamma _{P}(Q)}$

${\displaystyle \gamma _{P}(Q)={\frac {\sum _{i=1}^{N}\left|{\underline {P}}Q_{i}\right|}{\left|\mathbb {U} \right|}}\leq 1}$

Es decir, para cada clase de equivalencia en , sumamos el tamaño de su aproximación inferior por los atributos en , es decir, . Esta aproximación (como arriba, para un conjunto arbitrario ) es el número de objetos que en un conjunto de atributos pueden identificarse positivamente como pertenecientes al conjunto objetivo . Sumado a todas las clases de equivalencia en , el numerador anterior representa el número total de objetos que, según el conjunto de atributos , se pueden categorizar positivamente de acuerdo con la clasificación inducida por los atributos . Por lo tanto, la relación de dependencia expresa la proporción (dentro del universo entero) de tales objetos clasificables. La dependencia "puede interpretarse como una proporción de tales objetos en el sistema de información para los cuales es suficiente conocer los valores de los atributos en para determinar los valores de los atributos en ". ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle [x]_{Q}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\underline {P}}Q_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle [x]_{Q}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \gamma _{P}(Q)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Otra forma intuitiva de considerar la dependencia es tomar la partición inducida por como clase objetivo y considerarla como el conjunto de atributos que deseamos usar para "reconstruir" la clase objetivo . Si se puede reconstruir completamente , entonces depende totalmente de ; si da como resultado una reconstrucción pobre y quizás aleatoria de , entonces no depende en absoluto. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Así, esta medida de dependencia expresa el grado de dependencia funcional (es decir, determinista) de un conjunto de atributos entre sí ; no es simétrico. La relación de esta noción de dependencia de atributos con nociones más tradicionales de teoría de la información (es decir, entrópicas) de dependencia de atributos se ha discutido en varias fuentes (p. ej., Pawlak, Wong y Ziarko 1988; Yao y Yao 2002; Wong, Ziarko , y Ye 1986, Quafafou y Boussouf 2000). ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Extracción de reglas

Las representaciones de categorías analizadas anteriormente son todas de naturaleza extensional ; es decir, una categoría o clase compleja es simplemente la suma de todos sus miembros. Representar una categoría es, entonces, simplemente poder enumerar o identificar todos los objetos pertenecientes a esa categoría. Sin embargo, las representaciones de categorías extensionales tienen un uso práctico muy limitado, porque no proporcionan información para decidir si objetos nuevos (nunca antes vistos) son miembros de la categoría.

Lo que generalmente se desea es una descripción intencional de la categoría, una representación de la categoría basada en un conjunto de reglas que describen el alcance de la categoría. La elección de tales reglas no es única y ahí radica la cuestión del sesgo inductivo . Consulte Espacio de versión y Selección de modelo para obtener más información sobre este tema.

Existen algunos métodos de extracción de reglas. Partiremos de un procedimiento de extracción de reglas basado en Ziarko y Shan (1995).

Matrices de decisión

Digamos que deseamos encontrar el conjunto mínimo de reglas consistentes ( implicaciones lógicas ) que caracterizan nuestro sistema muestral. Para un conjunto de atributos de condición y un atributo de decisión , estas reglas deben tener la forma , o, detalladamente, ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{1},P_{2},P_{3},\dots ,P_{n}\}}$ ${\displaystyle Q,Q\notin {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle P_{i}^{a}P_{j}^{b}\dots P_{k}^{c}\to Q^{d}}$

${\displaystyle (P_{i}=a)\land (P_{j}=b)\land \dots \land (P_{k}=c)\to (Q=d)}$

donde son valores legítimos de los dominios de sus respectivos atributos. Esta es una forma típica de las reglas de asociación , y el número de elementos en los que coinciden la condición/antecedente se denomina soporte de la regla. El método para extraer tales reglas dado en Ziarko y Shan (1995) es formar una matriz de decisión correspondiente a cada valor individual del atributo de decisión . De manera informal, la matriz de decisión para el valor del atributo de decisión enumera todos los pares atributo-valor que difieren entre los objetos que tienen y . ${\displaystyle \{a,b,c,\dots \}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q=d}$ ${\displaystyle Q\neq d}$

Esto se explica mejor con un ejemplo (que también evita mucha notación). Considere la tabla anterior, y sean la variable de decisión (es decir, la variable en el lado derecho de las implicaciones) y sean las variables de condición (en el lado izquierdo de las implicaciones). Observamos que la variable de decisión toma dos valores diferentes, a saber . Tratamos cada caso por separado. ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle \{P_{1},P_{2},P_{3}\}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$

Primero, miramos el caso y lo dividimos en objetos que tienen y aquellos que tienen . (Tenga en cuenta que los objetos con en este caso son simplemente los objetos que tienen , pero en general incluirían todos los objetos que tienen cualquier valor distinto de , y puede haber varias clases de objetos de este tipo (por ejemplo, aquellos que tienen ).) En este En este caso, los objetos que tienen son mientras que los objetos que tienen son . La matriz de decisión para enumera todas las diferencias entre los objetos que tienen y los que tienen ; es decir, la matriz de decisión enumera todas las diferencias entre y . Ponemos los objetos "positivos" ( ) como filas y los objetos "negativos" como columnas. ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {U} }$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle P_{4}\neq 1}$ ${\displaystyle P_{4}\neq 1}$ ${\displaystyle P_{4}=2}$ ${\displaystyle P_{4}\neq 1}$ ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle P_{4}=2,3,4,etc.}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{7},O_{10}\}}$ ${\displaystyle P_{4}\neq 1}$ ${\displaystyle \{O_{4},O_{5},O_{6},O_{8},O_{9}\}}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle P_{4}\neq 1}$ ${\displaystyle \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{7},O_{10}\}}$ ${\displaystyle \{O_{4},O_{5},O_{6},O_{8},O_{9}\}}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle P_{4}\neq 1}$

Para leer esta matriz de decisión, observe, por ejemplo, la intersección de fila y columna , que se muestra en la celda. Esto significa que con respecto al valor de decisión , el objeto difiere del objeto en los atributos y , y los valores particulares de estos atributos para el objeto positivo son y . Esto nos dice que la clasificación correcta de como perteneciente a una clase de decisión se basa en atributos y ; aunque uno u otro pueda ser prescindible, sabemos que al menos uno de estos atributos es prescindible . ${\displaystyle O_{3}}$ ${\displaystyle O_{6}}$ ${\displaystyle P_{1}^{2},P_{3}^{0}}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle O_{3}}$ ${\displaystyle O_{6}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle O_{3}}$ ${\displaystyle P_{1}=2}$ ${\displaystyle P_{3}=0}$ ${\displaystyle O_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{3}}$

A continuación, a partir de cada matriz de decisión formamos un conjunto de expresiones booleanas , una expresión para cada fila de la matriz. Los elementos dentro de cada celda se agregan de forma disyuntiva y, luego, las celdas individuales se agregan de forma conjuntiva. Así, para la tabla anterior tenemos las siguientes cinco expresiones booleanas:

${\displaystyle {\begin{cases}(P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\\(P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\\(P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\\(P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\\(P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\end{cases}}}$

Cada afirmación aquí es esencialmente una regla muy específica (probablemente demasiado específica) que rige la pertenencia a una clase del objeto correspondiente. Por ejemplo, la última declaración, correspondiente al objeto , establece que se debe cumplir todo lo siguiente: ${\displaystyle P_{4}=1}$ ${\displaystyle O_{10}}$

1. Debe tener el valor 2, el valor 0 o ambos. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{3}}$
2. ${\displaystyle P_{2}}$debe tener valor 0.
3. Debe tener el valor 2, el valor 0 o ambos. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{3}}$
4. Debe tener el valor 2, o debe tener el valor 0, o debe tener el valor 0, o cualquier combinación de los mismos. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{3}}$
5. ${\displaystyle P_{2}}$debe tener valor 0.

Está claro que aquí hay una gran cantidad de redundancia y el siguiente paso es simplificar utilizando el álgebra booleana tradicional . La declaración correspondiente a los objetos se simplifica a , lo que produce la implicación ${\displaystyle (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2})}$ ${\displaystyle \{O_{1},O_{2}\}}$ ${\displaystyle P_{1}^{1}\lor P_{2}^{2}}$

${\displaystyle (P_{1}=1)\lor (P_{2}=2)\to (P_{4}=1)}$

Asimismo, el enunciado correspondiente a objetos se simplifica a . Esto nos da la implicación ${\displaystyle (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{3}^{0})\land (P_{1}^{2}\lor P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0})\land (P_{2}^{0})}$ ${\displaystyle \{O_{3},O_{7},O_{10}\}}$ ${\displaystyle P_{1}^{2}P_{2}^{0}\lor P_{3}^{0}P_{2}^{0}}$

${\displaystyle (P_{1}=2\land P_{2}=0)\lor (P_{3}=0\land P_{2}=0)\to (P_{4}=1)}$

Las implicaciones anteriores también se pueden escribir como el siguiente conjunto de reglas:

${\displaystyle {\begin{cases}(P_{1}=1)\to (P_{4}=1)\\(P_{2}=2)\to (P_{4}=1)\\(P_{1}=2)\land (P_{2}=0)\to (P_{4}=1)\\(P_{3}=0)\land (P_{2}=0)\to (P_{4}=1)\end{cases}}}$

Se puede observar que cada una de las dos primeras reglas tiene un soporte de 1 (es decir, el antecedente coincide con dos objetos), mientras que cada una de las dos últimas reglas tiene un soporte de 2. Para terminar de escribir el conjunto de reglas para este sistema de conocimiento, Se debe seguir el mismo procedimiento anterior (comenzando por escribir una nueva matriz de decisión) para el caso de , generando así un nuevo conjunto de implicaciones para ese valor de decisión (es decir, un conjunto de implicaciones con como consecuente). En general, el procedimiento se repetirá para cada valor posible de la variable de decisión. ${\displaystyle P_{4}=2}$ ${\displaystyle P_{4}=2}$

Sistema de inducción de reglas LERS

El sistema de datos LERS (Aprendizaje a partir de ejemplos basados ​​en conjuntos aproximados) de Grzymala-Busse (1997) puede inducir reglas a partir de datos inconsistentes, es decir, datos con objetos en conflicto. Dos objetos están en conflicto cuando se caracterizan por los mismos valores de todos los atributos, pero pertenecen a conceptos (clases) diferentes. LERS utiliza la teoría aproximada de conjuntos para calcular aproximaciones inferiores y superiores de conceptos involucrados en conflictos con otros conceptos.

Las reglas inducidas a partir de la aproximación inferior del concepto ciertamente describen el concepto, de ahí que tales reglas se llamen ciertas . Por otro lado, las reglas inducidas a partir de la aproximación superior del concepto describen el concepto posiblemente , por lo que estas reglas se denominan posibles . Para la inducción de reglas, LERS utiliza tres algoritmos: LEM1, LEM2 e IRIM.

El algoritmo LEM2 de LERS se utiliza con frecuencia para la inducción de reglas y se utiliza no sólo en LERS sino también en otros sistemas, por ejemplo, en RSES (Bazan et al. (2004). LEM2 explora el espacio de búsqueda de pares atributo-valor . Su entrada El conjunto de datos es una aproximación inferior o superior de un concepto, por lo que su conjunto de datos de entrada siempre es consistente. En general, LEM2 calcula una cobertura local y luego la convierte en un conjunto de reglas. Citaremos algunas definiciones para describir el algoritmo LEM2.

El algoritmo LEM2 se basa en la idea de un bloque de par atributo-valor. Sea una aproximación superior o inferior no vacía de un concepto representado por un par de valor de decisión . El conjunto depende de un conjunto de pares atributo-valor si y sólo si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (d,w)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t=(a,v)}$

${\displaystyle \emptyset \neq [T]=\bigcap _{t\in T}[t]\subseteq X.}$

Set es un complejo mínimo de si y solo si depende de y no existe un subconjunto adecuado de tal que dependa de . Sea una colección no vacía de conjuntos no vacíos de pares atributo-valor. Entonces es una cobertura local de si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle X}$

cada miembro de es un complejo mínimo de , ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \bigcup _{t\in \mathbb {T} }[T]=X,}$

${\displaystyle \mathbb {T} }$es mínimo, es decir, tiene el menor número posible de miembros. ${\displaystyle \mathbb {T} }$

Para nuestro sistema de información de muestra, LEM2 inducirá las siguientes reglas:

${\displaystyle {\begin{cases}(P_{1},1)\to (P_{4},1)\\(P_{5},0)\to (P_{4},1)\\(P_{1},0)\to (P_{4},2)\\(P_{2},1)\to (P_{4},2)\end{cases}}}$

Se pueden encontrar otros métodos de aprendizaje de reglas, por ejemplo, en Pawlak (1991), Stefanowski (1998), Bazan et al. (2004), etc.

Datos incompletos

La teoría de conjuntos aproximados es útil para la inducción de reglas a partir de conjuntos de datos incompletos. Usando este enfoque podemos distinguir entre tres tipos de valores de atributos faltantes: valores perdidos (los valores que se registraron pero que actualmente no están disponibles), valores de conceptos de atributos (estos valores de atributos faltantes pueden ser reemplazados por cualquier valor de atributo limitado al mismo concepto) y condiciones de "no importa" (los valores originales eran irrelevantes). Un concepto ( clase ) es un conjunto de todos los objetos clasificados (o diagnosticados) de la misma manera.

Se estudiaron exhaustivamente dos conjuntos de datos especiales con valores de atributos faltantes: en el primer caso, se perdieron todos los valores de atributos faltantes (Stefanowski y Tsoukias, 2001), en el segundo caso, todos los valores de atributos faltantes eran condiciones de "no importa" (Kryszkiewicz, 1999).

En la interpretación de valores de concepto-atributo de un valor de atributo faltante, el valor de atributo faltante puede ser reemplazado por cualquier valor del dominio de atributo restringido al concepto al que pertenece el objeto con un valor de atributo faltante (Grzymala-Busse y Grzymala-Busse, 2007 ). Por ejemplo, si para un paciente falta el valor de un atributo Temperatura, este paciente está enfermo con gripe y todos los pacientes restantes enfermos con gripe tienen valores altos o muy altos para Temperatura cuando se utiliza la interpretación del valor del atributo faltante como el valor del concepto de atributo, reemplazaremos el valor del atributo que falta con alto y muy alto. Además, la relación característica (ver, por ejemplo, Grzymala-Busse y Grzymala-Busse, 2007) permite procesar conjuntos de datos con los tres tipos de valores de atributos faltantes al mismo tiempo: pérdida, condiciones de "no me importa" y condiciones de atributo. -Valores conceptuales.

Aplicaciones

Los métodos aproximados se pueden aplicar como componente de soluciones híbridas en aprendizaje automático y minería de datos . Se ha descubierto que son particularmente útiles para la inducción de reglas y la selección de características ( reducción de dimensionalidad que preserva la semántica ). Los métodos de análisis de datos basados ​​en conjuntos aproximados se han aplicado con éxito en bioinformática , economía y finanzas, medicina, multimedia, minería web y de textos , procesamiento de señales e imágenes, ingeniería de software , robótica e ingeniería (por ejemplo, sistemas de energía e ingeniería de control ). Recientemente, las tres regiones de conjuntos aproximados se interpretan como regiones de aceptación, rechazo y aplazamiento. Esto conduce a un enfoque de toma de decisiones de tres vías con el modelo que potencialmente puede conducir a aplicaciones futuras interesantes.

Historia

La idea de conjunto aproximado fue propuesta por Pawlak (1981) como una nueva herramienta matemática para tratar conceptos vagos. Comer, Grzymala-Busse, Iwinski, Nieminen, Novotny, Pawlak, Obtulowicz y Pomykala han estudiado las propiedades algebraicas de conjuntos aproximados. P. Pagliani, I. Duntsch, MK Chakraborty, M. Banerjee y A. Mani han desarrollado diferentes semánticas algebraicas; D. Cattaneo y A. Mani, en particular, los han ampliado a conjuntos aproximados más generalizados. Se pueden utilizar conjuntos aproximados para representar ambigüedad , vaguedad e incertidumbre general .

Extensiones y generalizaciones

Desde el desarrollo de conjuntos aproximados, las extensiones y generalizaciones han seguido evolucionando. Los desarrollos iniciales se centraron en la relación (tanto en similitudes como en diferencias) con los conjuntos difusos . Si bien alguna literatura sostiene que estos conceptos son diferentes, otra literatura considera que los conjuntos aproximados son una generalización de los conjuntos difusos, representados a través de conjuntos aproximados difusos o conjuntos difusos aproximados. Pawlak (1995) consideró que los conjuntos difusos y aproximados deberían tratarse como complementarios entre sí, abordando diferentes aspectos de incertidumbre y vaguedad.

Tres extensiones notables de los conjuntos preliminares clásicos son:

• El enfoque de conjuntos aproximados basado en la dominancia (DRSA) es una extensión de la teoría de conjuntos aproximados para el análisis de decisiones multicriterio (MCDA), introducida por Greco, Matarazzo y Słowiński (2001). El principal cambio en esta extensión de los conjuntos aproximados clásicos es la sustitución de la relación de indiscernibilidad por una relación de dominancia , que permite al formalismo abordar inconsistencias típicas en la consideración de criterios y clases de decisión ordenadas por preferencias.
• Los conjuntos aproximados de teoría de la decisión (DTRS) son una extensión probabilística de la teoría de conjuntos aproximados introducida por Yao, Wong y Lingras (1990). Utiliza un procedimiento de decisión bayesiano para la toma de decisiones de riesgo mínimo. Los elementos se incluyen en las aproximaciones inferior y superior en función de si su probabilidad condicional está por encima de los umbrales y . Estos umbrales superior e inferior determinan la inclusión de regiones para los elementos. Este modelo es único y poderoso ya que los propios umbrales se calculan a partir de un conjunto de seis funciones de pérdida que representan riesgos de clasificación. ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \beta }$
• Los conjuntos aproximados de teoría de juegos (GTRS) son una extensión del conjunto aproximado basada en la teoría de juegos que fue introducida por Herbert y Yao (2011). Utiliza un entorno de teoría de juegos para optimizar ciertos criterios de clasificación o toma de decisiones basados ​​en conjuntos aproximados con el fin de obtener tamaños de región efectivos.

Membresía difícil

Los conjuntos aproximados también se pueden definir, como una generalización, empleando una función de membresía aproximada en lugar de una aproximación objetiva. La función de membresía aproximada expresa una probabilidad condicional que pertenece a determinado . Esto se puede interpretar como un grado que pertenece a en términos de información sobre expresado por . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$

La membresía aproximada se diferencia principalmente de la membresía difusa en que la membresía de la unión y la intersección de conjuntos no pueden, en general, calcularse a partir de su membresía constituyente como es el caso de los conjuntos difusos. En esto, la membresía aproximada es una generalización de la membresía difusa. Además, la función de membresía aproximada se basa más en la probabilidad que los conceptos convencionales de la función de membresía difusa.

Otras generalizaciones

Se han introducido, estudiado y aplicado varias generalizaciones de conjuntos aproximados para la resolución de problemas. Estas son algunas de estas generalizaciones:

• multiseries aproximadas (Grzymala-Busse, 1987)
• Los conjuntos aproximados difusos amplían el concepto de conjunto aproximado mediante el uso de clases de equivalencia difusa (Nakamura, 1988).
• Teoría de conjuntos aproximados alfa (α-RST): una generalización de la teoría de conjuntos aproximados que permite la aproximación mediante el uso de conceptos difusos (Quafafou, 2000)
• conjuntos intuicionistas aproximados y difusos (Cornelis, De Cock y Kerre, 2003)
• conjuntos difusos aproximados generalizados (Feng, 2010)
• conjuntos difusos intuicionistas aproximados (Thomas y Nair, 2011)
• conjuntos difusos ásperos suaves y conjuntos ásperos borrosos suaves (Meng, Zhang y Qin, 2011)
• conjuntos aproximados compuestos (Zhang, Li y Chen, 2014)

Ver también

• Semántica algebraica
• Teoría de conjuntos alternativa
• Computadora analógica
• Lógica de descripción
• Lógica difusa
• Teoría de conjuntos difusos
• Computación granular
• Conjuntos cercanos
• Hibridación difusa aproximada
• Conjuntos y sistemas difusos tipo 2
• Conjuntos aproximados de teoría de decisiones
• Espacio de versión
• Enfoque de conjunto aproximado basado en dominancia

Referencias

• Pawlak, Zdzisław (1982). "Conjuntos aproximados". Revista Internacional de Programación Paralela . 11 (5): 341–356. doi :10.1007/BF01001956. S2CID  9240608.
• Bazán, Jan; Szczuka, Marcin; Wojna, Arkadiusz; Wojnarski, Marcin (2004). "Sobre la evolución del sistema de exploración preliminar". Conjuntos aproximados y tendencias actuales en informática . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 3066, págs. 592–601. CiteSeerX  10.1.1.60.3957 . doi :10.1007/978-3-540-25929-9_73. ISBN 978-3-540-22117-3.
• Dubois, D.; Prade, H. (1990). "Conjuntos difusos y conjuntos difusos". Revista Internacional de Sistemas Generales . 17 (2–3): 191–209. doi :10.1080/03081079008935107.
• Herbert, JP; Yao, JT (2011). "Conjuntos aproximados de teoría de juegos". Fundamentos de la informática . 108 (3–4): 267–286. doi :10.3233/FI-2011-423.
• Greco, Salvatore; Matarazzo, Benedetto; Słowiński, romano (2001). "Teoría de conjuntos aproximados para el análisis de decisiones multicriterio". Revista europea de investigación operativa . 129 (1): 1–47. doi :10.1016/S0377-2217(00)00167-3. S2CID  12045346.
• Grzymala-Busse, Jerzy (1997). "Una nueva versión del sistema de inducción de reglas LERS". Fundamentos de la informática . 31 : 27–39. doi :10.3233/FI-1997-3113.
• Grzymala-Busse, Jerzy; Grzymala-Busse, Witold (2007). "Una comparación experimental de tres enfoques aproximados para los valores de atributos faltantes". Transacciones sobre conjuntos preliminares, vol. VI . Apuntes de conferencias sobre informática. págs. 31–50. doi :10.1007/978-3-540-71200-8_3. ISBN 978-3-540-71198-8.
• Kryszkiewicz, Marzena (1999). "Reglas en sistemas incompletos". Ciencias de la Información . 113 (3–4): 271–292. doi :10.1016/S0020-0255(98)10065-8.
• Pawlak, Zdzisław Rough Sets Research Report PAS 431, Instituto de Ciencias de la Computación, Academia Polaca de Ciencias (1981)
• Pawlak, Zdzisław; Wong, SKM; Ziarko, Wojciech (1988). "Conjuntos aproximados: enfoque probabilístico versus determinista". Revista Internacional de Estudios Hombre-Máquina . 29 : 81–95. doi :10.1016/S0020-7373(88)80032-4.
• Pawlak, Zdzisław (1991). Conjuntos aproximados: aspectos teóricos del razonamiento sobre datos . Dordrecht: Editorial académica Kluwer. ISBN 978-0-7923-1472-1.
• Slezak, Dominik; Wróblewski, Jakub; Eastwood, Victoria; Synak, Piotr (2008). "Brighthouse: un almacén de datos analíticos para consultas ad hoc" (PDF) . Actas del Fondo de Dotación VLDB . 1 (2): 1337-1345. doi :10.14778/1454159.1454174.
• Stefanowski, Jerzy (1998). "Sobre enfoques basados ​​en conjuntos aproximados para la inducción de reglas de decisión". En Polkowski, Lech; Skowron, Andrzej (eds.). Conjuntos aproximados en el descubrimiento del conocimiento 1: metodología y aplicaciones . Heidelberg: Physica-Verlag. págs. 500–529.
• Stefanowski, Jerzy; Tsoukias, Alexis (2001). "Tablas de información incompletas y clasificación aproximada". Inteligencia Computacional . 17 (3): 545–566. doi : 10.1111/0824-7935.00162 . S2CID  22795201.
• Wong, SKM; Ziarko, Wojciech; Sí, R. Li (1986). "Comparación de métodos estadísticos y aproximados en el aprendizaje inductivo". Revista Internacional de Estudios Hombre-Máquina . 24 : 53–72. doi :10.1016/S0020-7373(86)80033-5.
• Yao, JT; Yao, YY (2002). "Inducción de reglas de clasificación mediante computación granular". Actas de la Tercera Conferencia Internacional sobre Conjuntos aproximados y tendencias actuales en informática (TSCTC'02) . Londres, Reino Unido: Springer-Verlag. págs. 331–338. doi :10.1007/3-540-45813-1_43.
• Ziarko, Wojciech (1998). "Conjuntos aproximados como metodología para la minería de datos". Conjuntos aproximados en el descubrimiento del conocimiento 1: metodología y aplicaciones . Heidelberg: Physica-Verlag. págs. 554–576.
• Ziarko, Wojciech; Shan, Ning (1995). "Descubrir relaciones, dependencias y reglas de atributos mediante el uso de conjuntos aproximados". Actas de la 28.ª Conferencia Internacional Anual de Hawaii sobre Ciencias de Sistemas (HICSS'95) . Hawai. págs. 293–299.
• Pawlak, Zdzisław (1999). "Reglas de decisión, regla de Bayes y conjuntos aproximados". Nueva dirección en conjuntos preliminares, minería de datos y computación granular suave : 1–9. doi :10.1007/978-3-540-48061-7_1.
• Pawlak, Zdzisław (1981). Relaciones difíciles, informes . vol. 435(3):205–218}. Instituto de Ciencias de la Computación.
• Orlowska, E. (1987). "Razonamiento sobre conceptos vagos". Boletín de la Academia Polaca de Ciencias . 35 : 643–652.
• Polkowski, L. (2002). "Conjuntos aproximados: fundamentos matemáticos". Avances en Soft Computing .
• Skowron, A. (1996). "Escenografía aproximada y conceptos vagos". Fundamentos informáticos : 417–431.
• Burgin M. (1990). Teoría de conjuntos nombrados como base fundamental para las matemáticas, en Estructuras en teorías matemáticas: Informes del simposio internacional de San Sebastián, 25 al 29 de septiembre de 1990 (http://www.blogg.org/blog-30140-date-2005- 10-26.html)
• Burgin, M. (2004). Fundamentos unificados de matemáticas, Preprint Mathematics LO/0403186, p39. (edición electrónica: https://arxiv.org/ftp/math/papers/0403/0403186.pdf)
• Burgin, M. (2011), Teoría de conjuntos con nombre, Desarrollos de investigación en matemáticas, Nova Science Pub Inc, ISBN 978-1-61122-788-8 
• Cornelis, C., De Cock, M. y Kerre, E. (2003) Conjuntos aproximados intuicionistas difusos: en la encrucijada del conocimiento imperfecto, Expert Systems, 20:5, págs.
• Düntsch, I. y Gediga, G. (1995) Análisis aproximado de dependencia en estudios de evaluación: una aplicación en el estudio de ataques cardíacos repetidos. Universidad de Ulster, Informes de investigación en informática n.º 10
• Feng F. (2010). Conjuntos difusos aproximados generalizados basados ​​en conjuntos blandos, Soft Computing, 14:9, págs. 899–911
• Grzymala-Busse, J. (1987). Aprendiendo de ejemplos basados ​​en conjuntos múltiples aproximados, en Actas del 2º Simposio Internacional sobre Metodologías para Sistemas Inteligentes, págs. Charlotte, Carolina del Norte, Estados Unidos
• Meng, D., Zhang, X. y Qin, K. (2011). Conjuntos difusos suaves y difusos, Computadoras y matemáticas con aplicaciones, 62:12, páginas 4635–4645
• Quafafou M. (2000). α-RST: una generalización de la teoría aproximada de conjuntos, Ciencias de la información, 124:1–4, páginas 301–316.
• Quafafou M. y Boussouf M. (2000). Selección de características basada en conjuntos aproximados generalizados. Análisis inteligente de datos de la revista, 4:1 pp3 – 17
• Nakamura, A. (1988) Conjuntos aproximados difusos, 'Notas sobre la lógica de valores múltiples en Japón', 9:1, págs.1–8
• Pawlak, Z., Grzymala-Busse, J., Slowinski, R. Ziarko, W. (1995). Conjuntos aproximados. Comunicaciones de la ACM, 38:11, págs. 88–95
• Thomas, K. y Nair, L. (2011). Conjuntos difusos intuicionistas aproximados en una red, Foro Internacional de Matemáticas, 6:27, páginas 1327-1335
• Zhang J., Li T., Chen H. (2014). Conjuntos aproximados compuestos para minería de datos dinámica, Ciencias de la información, 257, págs. 81–100
• Zhang J., Wong JS, Pan Y, Li T. (2015). Un método basado en matrices paralelas para calcular aproximaciones en sistemas de información incompletos, IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 27(2): 326-339
• Chen H., Li T., Luo C., Horng SJ., Wang G. (2015). Un enfoque de conjunto aproximado de teoría de decisiones para la minería de datos dinámica. Transacciones IEEE en sistemas difusos, 23(6): 1958-1970
• Chen H., Li T., Luo C., Horng SJ., Wang G. (2014). Un método aproximado basado en conjuntos para actualizar reglas de decisión sobre el engrosamiento y refinamiento de los valores de atributos, IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 26(12): 2886-2899
• Chen H., Li T., Ruan D., Lin J., Hu C, (2013) Un enfoque incremental basado en un conjunto aproximado para actualizar aproximaciones en entornos de mantenimiento dinámico. Transacciones IEEE sobre conocimiento e ingeniería de datos, 25 (2): 274-284

Otras lecturas

• Gianpiero Cattaneo y Davide Ciucci, "Las álgebras de Heyting Wajsberg como entorno abstracto que vincula conjuntos difusos y aproximados" en JJ Alpigini et al. (Eds.): RSCTC 2002, LNAI 2475, págs. 77–84, 2002. doi :10.1007/3-540-45813-1_10

enlaces externos

• La sociedad internacional de escenarios rudos
• Tutorial de configuración preliminar
• Conjuntos aproximados: un tutorial rápido
• Sistema de exploración preliminar
• Conjuntos preliminares en el almacenamiento de datos